数列递推关系与求和问题专题讲义-2025届高三数学一轮主题单元复习

新高考一轮主题单元复习（整合教材、高考、复习资料） 专题：数列递推关系与求和问题 一.观察法求通项与分组法求和 例1.(P41习题4.3T6) 求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式： 1，11，111，1111，11111，…． 【答案】 ，. 【分析】利用 中 实现1,11,111,1111,1111……，从1位数到n位数. 【解析】设该数列为 ，其前n项和为 ,因为 所以该数列的一个通项公式为， 【通透一类1】怎样观察得出数列通项公式? 举一反三1:（课本P9习题4.1T5（玩数学））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数， 你能求出三角形数的通项公式吗? 【解析】法一:三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10， 第五个数1+2+3+4+5=15，第六个数1+2+3+4+5+6=21. 第n个数. 法二:累加法求通项 【通透一类2】说说累加法求通项的类型、操作方法、注意事项 【通透一类3】哪些情况下用分组法求和? 一般地，如果是等差数列，是等比数列，求数列或的前项和时，可采用分组求和法求解. 二.构造法求通项法与裂项相消法求和 例2.(课本P41习题4.3T8)改编) 若数列的首项，且满足， (1)求数列的通项公式及前10项的和． (2),求的前n项和 【解析】(1)，， 是首项为，公比为2的等比数列， ，即， . (2) 【通透一类1】如何识别”构造法”? （其中为常数，）的递推式，可变形为，其中，须注意才能构造出等比数列. 【通透一类2】破解裂项相消求和的关键点是什么?裂项相消法求和有哪些常见的类型? I.破解裂项相消求和的关键点 （1）定通项：根据已知条件求出数列的通项公式. （2）巧裂项：根据通项公式的特征进行准确裂项，把数列的每一项，表示为两项之差的形式. （3）消项求和：通过累加抵消掉中间的项，达到消项的目的，准确求和. II.裂项求和常见的几种变换 常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ； （5） 等差数列中，，，则 ； （6） （7） III.注意：（1）裂项原则：一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止. （2）消项规律：消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项. IV.深度学习:裂项相消法求和一定是差的形式吗? 【举一反三】,若，求的前项和． 【解析】所以，所以. 三.项和递推、累加(乘)法、公式法求通项公式与错位相减法求和 (课本P40习题4.3T3(2)改编)． （1）数列的通项公式． （2）求和：． 【解析】（1）当时，故． 当时，整理得所以． （2）由（1）知 当时： 当时：记 化简得： 综上所述： 【通透一类1】“项和”递推式：遇到“项”与“和”之间的递推式，需要关注以下两种常用解题思路： ①转化为项项关系.适用情境：给出涉及与的递推式；解题要点：先写出对应的下一个等式（将递推式中的都变为n-1即得），再利用将之转化为“项”与“项”之间的递推式，再活用构造等差或等比数列求解. ②转化为和和关系.适用情境：给出涉及与的递推式；解题要点：借助或将之转化为“和”与“和”之间的递推式，再活用构造等差或等比数列，先求. 【通透一类2】遇到形如型的递推关系式，可利用对应的恒等式巧求通项，其实质就是“累加法”；遇到形如型的递推关系式，可利用对应的恒等式巧求通项，其实质就是“累乘法”.破解此类题的关键点如下： ①准确化简.当时，首先要准确写出恒等式中各加项（或各因式），然后利用相关数列知识（或指数、对数运算法则）加以化简. ②考虑全面. 注意检验分析，当时是否满足前述一般情形（即当时的情形）. 【通透一类3】在应用错位相减法求和时,谨防解题“4失误”：(i)若等比数列的公比为参数,应分公比和两种情况求解. (ii)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号． (iii)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和． （iV）求和的最终结果化为的形式 4. 形如的递推式与分类讨论求和（包括并项法） 例4(课本P41习题4.3T7)在数列的首项为 ，且满足． （1）求证：是等比数列． （2）求数列的前n项和． 【解析】（1）由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，所以， 所以， 当为偶数时，可得； 当为奇数时，可得， 综上可得，. 【通透一类1】形如的递推式，两边同时除以，可转化为型进行求解． 【通透一类2】你能总结常见的哪些情况需分类讨论求和？ 数列中等比数列的公比不明确、等差数列的通项加绝对值、数列的奇偶项等求和会引起分类讨论.破解此类题的关键如下： ①等比数列的公比不明确, 应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． ②奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式． ③等差数列乘(－1) ,可分项数为奇数和偶数时,用并项法求和. ④等差数列各项加上绝对值后求和，可按绝对值进行分类．g 5、 取倒数求通项与数列求和、解不等式综合 例5(课本P41习题4.3T11) 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 【解析】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得，所以 设数列的前项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为. 【通透一类1】取倒数求通项的递推关系有什么特征？ 跟踪训练：1.（2024年高考全国甲卷数学（理））记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. （2）, 所以 故 所以 ，. 2.（2020浙江20）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，． （Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：． 【解析】（I）依题意，而，即，由于，∴解得，∴．∴，故，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．∴． ∴，故（）． ∴ ． （II）依题意设，由于， ∴， 故 ． ． 由于，∴，∴，即． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考一轮主题单元复习（整合教材、高考、复习资料） 专题：数列递推关系与求和问题 一.观察法求通项与分组法求和 例1.(P41习题4.3T6) 求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式： 1，11，111，1111，11111，…． 【通透一类1】怎样观察得出数列通项公式? 举一反三1:课本P9习题4.1T5（玩数学）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数， 你能求出三角形数的通项公式吗? 【通透一类2】说说累加法求通项的类型、操作方法、注意事项 【通透一类3】哪些情况下用分组法求和? 一般地，如果是等差数列，是等比数列，求数列或的前项和时，可采用分组求和法求解. 二.构造法求通项法与裂项相消法求和 例2.(课本P41习题4.3T8)改编) 若数列的首项，且满足， (1)求数列的通项公式及前10项的和． (2),求的前n项和 【通透一类1】如何识别”构造法”? （其中为常数，）的递推式，可变形为，其中，须注意才能构造出等比数列. 【通透一类2】破解裂项相消求和的关键点是什么?裂项相消法求和有哪些常见的类型? I.破解裂项相消求和的关键点 （1）定通项：根据已知条件求出数列的通项公式. （2）巧裂项：根据通项公式的特征进行准确裂项，把数列的每一项，表示为两项之差的形式. （3）消项求和：通过累加抵消掉中间的项，达到消项的目的，准确求和. II.裂项求和常见的几种变换 常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ； （5） 等差数列中，，，则 ； （6） （7） III.注意：（1）裂项原则：一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止. （2）消项规律：消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项. IV.深度学习:裂项相消法求和一定是差的形式吗? 【举一反三】,若，求的前项和． 三.项和递推、累加(乘)法、公式法求通项公式与错位相减法求和 (课本P40习题4.3T3(2)改编)． （1）数列的通项公式． （2）求和：． 【通透一类1】“项和”递推式：遇到“项”与“和”之间的递推式，需要关注以下两种常用解题思路： ①转化为项项关系.适用情境：给出涉及与的递推式；解题要点：先写出对应的下一个等式（将递推式中的都变为n-1即得），再利用将之转化为“项”与“项”之间的递推式，再活用构造等差或等比数列求解. ②转化为和和关系.适用情境：给出涉及与的递推式；解题要点：借助或将之转化为“和”与“和”之间的递推式，再活用构造等差或等比数列，先求. 【通透一类2】遇到形如型的递推关系式，可利用对应的恒等式巧求通项，其实质就是“累加法”；遇到形如型的递推关系式，可利用对应的恒等式巧求通项，其实质就是“累乘法”.破解此类题的关键点如下： ①准确化简.当时，首先要准确写出恒等式中各加项（或各因式），然后利用相关数列知识（或指数、对数运算法则）加以化简. ②考虑全面. 注意检验分析，当时是否满足前述一般情形（即当时的情形）. 【通透一类3】在应用错位相减法求和时,谨防解题“4失误”：(i)若等比数列的公比为参数,应分公比和两种情况求解. (ii)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号． (iii)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和． （iV）求和的最终结果化为的形式 4. 形如的递推式与分类讨论求和（包括并项法） 例4(课本P41习题4.3T7)在数列的首项为 ，且满足． （1）求证：是等比数列． （2）求数列的前n项和． 【通透一类1】形如的递推式，两边同时除以，可转化为型进行求解． 【通透一类2】你能总结常见的哪些情况需分类讨论求和？ 数列中等比数列的公比不明确、等差数列的通项加绝对值、数列的奇偶项等求和会引起分类讨论.破解此类题的关键如下： ①等比数列的公比不明确, 应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． ②奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式． ③等差数列乘(－1) ,可分项数为奇数和偶数时,用并项法求和. ④等差数列各项加上绝对值后求和，可按绝对值进行分类．g 5、 取倒数求通项与数列求和、解不等式综合 例5(课本P41习题4.3T11) 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 【通透一类1】取倒数求通项的递推关系有什么特征？ 跟踪训练：1.（2024年高考全国甲卷数学（理））记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 2.（2020浙江20）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，． （Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$