4.1数列的概念（第2课时 数列的递推公式）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 第2课时　数列的递推公式 4.1数列的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.(逻辑推理) 2.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.(数学运算) 学习目标 知识来源于实践,同时还要应用于生活,用其来解决一些实际问题.观察如图所示的钢管堆放示意图,你能够发现上下层之间的关系吗?我们能否用数列的形式写出上下层之间的关系?这种关系不同于我们学习过的数列的通项公式,而是今天我们要学习的数列的“递推公式”. 情景导入 例3 如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个 数列的项? 如果是，是第几项? 课本例题 例4.图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中4个大三 角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数 列的一个通项公式。 解：在以上4个图中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27， 即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是. 课本例题 追问1：换个角度观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗? 追问2：你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗? 追问3：你能用表达式表示这个关系吗? 追问4：以上表达式中的 n 从何值开始取? 追问5： 能否表示出这个数列的所有项? 像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. l 数列的递推公式注意事项： (1)两个条件： ①已知数列的第1项(或前几项)； ②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系 可以用一个公式来表示． 具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式． (2)结论： 思考：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 通项公式 递推公式 区别 联系 表示an与n之间的关系 表示an与它的前一项an-1 (或前几项)之间的关系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式. 数列的前n项和公式 探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题． 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. 数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+an，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式. 解析 课本例题 规律方法 利用递推关系求解数列的项的方法 递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的关系. 对于通项公式，已知 n 的值即可得到相应的项， 而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项. 若项数很大，则应考虑数列是否具有规律. 1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 35 课本练习 2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项: 课本练习 课本练习 课本练习 易错点1　忽略数列与函数的区别而致错 解析 A 错因分析 解析 C 易错点2　已知Sn求an时，不要忽视n＝1 解析 解析 易错点3　对递推公式变形时忽略n的取值变化而致错 解析 易错点4　求解与数列有关的恒成立问题时要注意n的取值 解析 答案 C 随堂检测 2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(　　) A.0 B. C.2 D.5 答案 B 解析 由题意,得a2=ma3+1, 即3=5m+1, 解得m= . 3.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(　　) A.an=an-1+2(n≥2) B.an=2an-1(n≥2) C.a1=2,an=an-1+2(n≥2) D.a1=2,an=2an-1(n≥2) 答案 C 解析 A,B中没有说明第一项,无法递推;D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意. 4.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6=(　　) A.7 B.11 C.16 D.17 答案 C 解析 ∵a1=1,an-an-1=n-1,∴a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,a6-a5=5, ∴a6-a1=1+2+3+4+5,∴a6=16. 5.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3,则a3=　　　.  答案 5 解析 由Sn=n2+3可知a3=S3-S2=32+3-(22+3)=5. 1.写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： (1)素数按从小到大的顺序排列成的数列； (2)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列． 【解析】解：(1)素数从小到大依次是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29， 绘出图象，如图， 习题4.1 (2)φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，φ(5)=4，φ(6)=2，φ(7)=6，φ(8)=4，φ(9)=6，φ(10)=4，依次为1，1，2，2，4，2，6，4，6，4， 绘出图象，如图， ___ 30 2.根据下列条件，写出数列{an}的前5项： (1)an= ； (2)an=(-1)n+1(n2+1)； (3)a1= ，an=4an-1+1(n≥2)； (4)a1=- ，an=1- (n≥2)． 【解析】解：(1)由题意，a1=1，a2= a3= ，a4= ，a5= ； (2)a1=(-1)2×(12+1)=2，a2=(-1)3×(22+1)=-5，a3=(-1)4×(32+1)=10， a4=(-1)5×(42+1)=-17，a5=(-1)6×(52+1)=26； (3)a1= ，a2=4× +1=3，a3=4×3+1=13，a4=4×13+1=53，a5=4×53+1=213； (4)a1=- ，a2=1-(-4)=5，a3=1- = ，a4=1- =- ，a5=1-(-4)=5． 31 3.观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式： (1)　　，-4，9，　　，25，　　，49； (2)1， ，　　， ， ，　　， ； (3)1， ，　　，2， ，　　， ； (4) ， ，　　， ， ，　　． 【解析】解：(1)观察已知数据可知，第一个空填1，第二个空填-16， 第三个空填-36， 数列的一个通项公式为 ； (2)观察已知数据可知，第一个空填 ，第二个空填 ， 数列的一个通项公式为 ； 32 (3)观察已知数据可知，第一个空填 ，第二个空填 ， 数列的一个通项公式为an= ； (4)观察已知数据可知，第一个空填 = ，第二个空填 = ， 数列的一个通项公式为 ； 3.观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式： (1)　　，-4，9，　　，25，　　，49； (2)1， ，　　， ， ，　　， ； (3)1， ，　　，2， ，　　， ； (4) ， ，　　， ， ，　　． 33 5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项． 6.假设某银行的活期存款年利率为0.35%，某人存入10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存．如果不考虑利息税及利率的变化，用an表示第n年到期时的存款余额，求a1，a2，a3及an． 【解析】解：由题意这10万元1年后连本带利变为10(1+0.35%)=10×1.0035， 2年后连本带利变为10×1.00352， 3年后连本带利变为10×1.00353， … 故到第n年连本带利变为10×1.0035n． 37 7.已知函数f(x)= )，设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N*)． (1)求证：an≥ ． (2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 【解析】解：(1)证明：根据题意，an=f(n)= =1- ， 又由n∈N*，则2n≥2， 故an≥1- = ； (2){an}是递增数列； 理由如下：数列{an}中，an=1- ，则an-1=1- ， an-an-1=(1- )-(1- )= - = ＞0， 故{an}是递增数列． 38 课堂小结 1.递推公式：（1）初始值；（2）递推关系式 （1）已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式 （2） 已知数列的递推公式，用累加法求通项公式 （3） 已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一．我们把数 列从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列的前项和， 记作，即： 于是我们有 显然， 例1.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn(λ∈R)．若{an}为递增数列，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，2) C．(－∞，1) D．(－∞，0) ∵数列{an}是递增数列，且数列{an}的通项公式为an＝n2－λn(λ∈R)， ∴an＋1－an＝(n＋1)2－λ(n＋1)－(n2－λn)＝2n＋1－λ＞0恒成立．∵2n＋1－λ的最小值是2×1＋1－λ＝3－λ＞0，∴λ＜3，即实数λ的取值范围是(－∞，3)．故选A. 【变式】数列{an}的通项公式为an＝n＋eq \f(a,n).若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为　(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，2) D．[1，＋∞) 由数列{an}单调递增，可得an＋1＞an，即n＋1＋eq \f(a,n＋1)＞n＋eq \f(a,n)，整理得a＜n2＋n，即a＜n2＋n恒成立．因为f(n)＝n2＋n在n∈N*时的最小值为2，所以a＜2. 故选C. an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5，n＝1,2n＋2，n≥2，n∈N*)) 例2．[河北邢台2021高二月考]数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，则它的 通项公式为__________________． 由数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，当n＝1时， a1＝S1＝5； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n＋1－[(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝2n＋2. 当n＝1时，不满足上式，∴an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n＋2，n≥2，n∈N*.)) 2n－1 【变式】若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1，则an＝________． ∵数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1. 又当n＝1时，a1＝1满足上式，因此数列{an}的通项公式为an＝2n－1.　 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(n2,（n－1）2)，n≥2，n∈N*)) 例3.已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)， 则an＝___________________________. 当n＝1时，a1＝1.因为a1a2a3…an＝n2(n∈N*)， 所以当n≥2时，a1a2a3…an－1＝(n－1)2， 两式相除得an＝eq \f(n2,（n－1）2)(n≥2，n∈N*)．所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(n2,（n－1）2)，n≥2，n∈N*.)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(25,3))) 例4．已知数列{an}的通项公式为an＝5n＋1，数列{cn}的通项公式为cn＝an＋λ(－2)n.若数列{cn}是递增数列， 则实数λ的取值范围是___________________________．　 因为数列{cn}是递增数列，所以cn＋1>cn在n∈N*时恒成立，即an＋1＋λ(－2)n＋1>an＋λ(－2)n，5n＋1＋1＋λ(－2)n＋1>5n＋1＋λ(－2)n，所以4×5n>3λ(－2)n.当n为奇数时，4×5n>－3λ·2n，－eq \f(3,4)λ<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))) eq \s\up12(n)，则－eq \f(3,4)λ<eq \f(5,2)，即λ>－eq \f(10,3)；当n为偶数时，4×5n>3λ·2n，eq \f(3,4)λ<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))) eq \s\up12(n)，则eq \f(3,4)λ<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))) eq \s\up12(2)，λ<eq \f(25,3).综上所述，实数λ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(25,3))). 1.已知数列{an},a1=1,an+1=an+,则该数列的第3项等于(　　) A.1 B. C. D. 解析 a2=a1+=1,a3=a2+. 6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+(n∈N*),求数列{an}的通项公式. 解 由题意显然an>0, ∵an+1=an+,∴=1+, ∴,…,, 以上各式相乘得, 又a1=1,∴an=. $$