第27章 相似 学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（人教版）

全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·31　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　第二十七章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列图形中,是相似图形的一组是 (　 　 ) A 　 　 　 　 　 B 　 　 　 　 　 C 　 　 　 　 　 D 2. 下面四组线段中,成比例的是 (　 　 ) A. a= 2,b= 3,c= 4,d= 5　 B. a= 1,b= 2,c= 2,d= 4　 C. a= 4,b= 6,c= 5,d= 10　 D. a= 2 ,b= 3 ,c= 3,d= 2 3. 已知一个三角形的三边长分别为 2,3,4,与其相似的另一个三角形的周长为 36,则它的最长边的长为 (　 　 ) A. 8　 B. 12　 C. 16　 D. 20 4. 如图,在四边形 ABCD 中,已知∠ADC = ∠BAC,那么补充下列条件后不能判定△ADC 和△BAC 相似 的是 (　 　 ) A. CA 平分∠BCD　 B. ∠DAC= ∠ABC C. AC2 =BC·CD　 D. AD AB =DC AC 第 4 题图 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 5. 在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点坐标分别是 O(0,0),A(8,0),B(8,6),C(0,6) . 已知矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 位似,位似中心是原点 O,且矩形 OA1B1C1 的面积等于矩形 OABC 面积的 1 2 , 则点 B1 的坐标为 (　 　 ) A. (4,3) B. (4,3)或( -4,-3) C. (4 3 ,3 3 ) D. (4 2 ,3 2 )或( -4 2 ,-3 2 ) 6. 如图,在△ABC 中,∠ABC= 90°,AB= 6 cm,BC = 8 cm,动点 P 从点 A 沿线段 AB 向点 B 移动,动点 Q 从点 B 沿线段 BC 向点 C 移动,两点同时开始移动,点 P 的速度为 1 cm / s,点 Q 的速度为 2 cm / s,当点 Q 到达点 C 时两点同时停止运动. 当 PQ∥AC 时,运动的时间是 (　 　 ) A. 2 s B. 2. 4 s C. 3 s D. 1 s 或 3 s 7. 如图,在▱ABCD 中,Q 是 CD 上的点,AQ 交 BD 于点 P,交 BC 的延长线于点 R. 若 DQ ∶ CQ= 4 ∶ 1,则 AP ∶ PR 等于 (　 　 ) A. 5 ∶ 4 B. 4 ∶ 5 C. 3 ∶ 4 D. 5 ∶ 8 8. 如图,在△ABC 中,点 D,E,F 分别在 AB,AC,BC 边上,DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式中错误的是 (　 　 ) A. AE EC =BF FC B. AD BF = AB BC C. EF AB =DE BC D. CE CF =EA BF 第 8 题图 　 　 第 9 题图 　 　 第 10 题图 9. (新考法·跨学科)小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔 O,物体 AB 在幕布上形成倒立的实像 CD(点 A,B 的对应点分别是点 C,D) . 若物体 AB 的高为 6 cm,实像 CD 的高为 3 cm,则小孔 O 到 BC 的距离 OE 为 (　 　 ) A. 2 cm　 B. 1. 5 cm　 C. 1 cm　 D. 2. 5 cm 10. 如图,△ABC 和△ADP 均为等边三角形,点 P 在边 AC 上,连接 BP 并延长交 CD 于点 E,连接 AE. 下 列结论中错误的是 (　 　 ) A. ∠BED= 120° B. PA·PC=PB·PE C. △BPC∽△DEP D. △ABE∽△DCA 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11. 如图,四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′,则∠A= °. 第 11 题图 　 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 12. 如图,△ABC∽△CBD,AB= 4,BD= 6,则 BC= . 13. (新考法·数学文化)古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题:“今有井径五尺,不知其深,立五 尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何?”它的意思是如图,AB =DE = 5 尺,BF = 0. 4 尺, 问井深 BD 是多少? 设井深 BD 为 x 尺,根据题意可列方程　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (不需要化简) 14. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(1,0),点 D 的坐标为(3,0) . 若△ABC 与△DEF 是位似 图形,则AC DF 的值是 . 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 图 1 　 图 2 第 16 题图 15. 如图,AB⊥BD,DE⊥BD,AB = 6,DE = 4,BD = 14,点 C 在 BD 上移动,当△ABC 与△CDE 相似时,BC 的值为　 　 　 　 　 　 . 16. 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,AB= 8,BC= 6,D 是 AB 上一点,且 AD= 2,过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E,将△ADE 绕点 A 顺时针旋转到图 2 的位置,则图 2 中BD CE 的值为　 　 　 　 . 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、解答题(46 分) 17. (6 分)(新素养·运算能力)已知线段 x,y. (1)当x +3y x-y = 3 2 时,求 x y 的值; (2)当x +3y x-y = x y 时,求 x y 的值. 18. (6 分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的各顶点坐标为 A( -1,1),B(2,3),C(0,3) . 现以坐标原 点为位似中心,相似比为 2 3 ,作△ABC 的位似图形△A′B′C′,并分别写出△A′B′C′的顶点 A′,B′,C′的 坐标. 19. (6 分)如图,DB,EC 是圆的两条弦,延长 DB,EC 交于圆外一点 A,连接 CD,BE. (1)求证:△ACD∽△ABE; (2)若 AB= 5,AC= 6,AD= 12,求 AE 的长. 20. (6 分)如图,已知 AB∥CD,AD,BC 相交于点 E,AB= 6,BE= 4,BC= 9,连接 AC. (1)求线段 CD 的长; (2)如果 AE= 3,求线段 AC 的长. 21. (6 分)(新考法·阅读理解)请阅读以下材料,完成相应的任务. 角平分线分线段成比例定理: 如图 1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,则AB AC =BD CD . 下面是这个定理的部分证明过程. 证明:如图 2,过点 C 作 CE∥DA,交 BA 的延长线于点 E. 任务一:请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分; 任务二:如图 3,在△ABC 中,E 是 BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,EF∥AD 交 AC 于点 F. 若 AB= 11,AC= 15,直接写出线段 CF 的长. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 22. (8 分)如图,小明同学为了测量教学楼的高度 OE,先在操场上点 A 处放一面镜子,从点 A 处后退 1 m 到点 B 处,恰好在镜子中看到楼的顶部 E 点;再将镜子向后移动 4 m 放在点 C 处,从点 C 处向 后退 1. 5 m 到点 D 处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E 点,测得小明的眼睛距地面的高度 FB, GD 为 1. 5 m,点 O,A,B,C,D 在同一水平线上,镜子可看成一个点. 求教学楼的高度 OE. 23. (8 分)(新素养·推理能力)如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,CD 是 AB 边上的高,BE 平分∠ABC. BE 分别与 AC,CD 相交于点 E,F. (1)求证:△AEB∽△CFB; (2)求证:AE CE = AB CB ; (3)若 CE= 5,EF= 2 5 ,BD= 6. 求 AD 的长. · 32·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级 全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·73　 · 【解析】(1)∵ D,F 分别是 AB 的三等分点,∴ AD AB = 1 3 . ∵ DE∥BC. ∴ △ADE∽△ABC. ∴ DE BC =AD AB = 1 3 ,即 2 BC = 1 3 . 解得 BC= 6. 故答案为 6. (2)∵ D,F 分别是 AB 的三等分点, ∴ AD ∶ AF ∶ AB= 1 ∶ 2 ∶ 3. ∵ DE∥FG∥BC,∴ △ADE∽△AFG∽△ABC. ∴ S△ADE ∶ S△AFG ∶ S△ABC = 1 ∶ 4 ∶ 9. 故答案为 1 ∶ 4 ∶ 9. 18.解:(1)∵ △CBD∽△ACD,∴ ∠CDB= ∠ADC. ∵ ∠CDB+∠ADC= 180°,∴ ∠ADC= 90°. (2)∵ △CBD∽△ACD,∴ ∠ACD= ∠B. ∵ ∠A= ∠A,∴ △ACD∽△ABC. ∴ AC AB =AD AC . ∴ 4 AD+6 =AD 4 . ∴ AD= 2(负根已舍弃) . ∴ CD= AC2 -AD2 = 42 -22 = 2 3 . 19.解:(1)∵ ∠BCE= ∠ACD, ∴ ∠BCE+∠ACE= ∠ACD+∠ACE. ∴ ∠ACB= ∠DCE. ∵ ∠B= ∠CED,∴ △ABC∽△DEC. (2)由(1),得△ABC∽△DEC, ∵ S△ABC ∶ S△DEC = 4 ∶ 9,∴ S△ABC S△DEC = 4 9 = (BCEC ) 2 . ∵ BC= 12,∴ EC= 18. 考点五　 相似三角形的应用 20. A 21. C　 【解析】 ∵ AM = 2CM,BN = 2CN,∴ CM CA = 1 3 ,CN CB = 1 3 . ∴ CM CA = CN CB . ∵ ∠MCN = ∠ACB,∴ △CMN∽△CAB. ∴ MN AB =CM CA = 1 3 . ∵ MN = 12,∴ 12 AB = 1 3 . ∴ AB = 36. ∴ A, B 间的距离为 36 m. 故选 C. 22. A　 【解析】根据题意,得△ABP∽△CDP,即CD AB =PD PB ,故 CD=PD PB ×AB = 52 2 ×1. 5 = 39(米) . 那么该大厦的高度是 39 米. 故选 A. 23. 6 24.解:根据题意,得 CD=BG= 2 米,∠CEF= ∠CBA= 90°. ∵ ∠FCE= ∠ACB,∴ △CEF∽△CBA. ∴ CE CB =CF CA ,即0. 8 32 = 1 CA . 解得 CA= 40. ∴ AB= CA2 -BC2 = 402 -322 = 24(米) . ∴ AG=AB+BG= 24+2 = 26(米) . ∴ 会议中心 AG 的高度为 26 米. 考点六　 位似 25. D 26. B　 【解析】∵ 以点 O 为位似中心,将△ABC 放大得到 △DEF,AD=OA,∴ AB ∶ DE =OA ∶ OD = 1 ∶ 2. ∴ △ABC 与△DEF 的面积之比为 1 ∶ 4. ∴ a b = 1 4 . ∴ a a+b = 1 5 . 故 选 B. 27. (4,2) 28. 1 2 m, 1 2 m( ) 　 n, 12 n( ) 　 2m　 【解析】∵ 点 A(m,m), B(2n,n),而位似中心为原点,相似比为 1 2 ,∴ 点 A′ 1 2 m, 1 2 m( ) ,B′ n, 12 n( ) ; 点 A 到 原 点 O 的 距 离 为 m2 +m2 = 2m. 29.解:如图,△ABC 和△A′B′C′即为所求作. 第二十七章学业水平测试 1. B 2. B　 【解析】A. 2×5≠3×4,故选项错误;B. 1×4 = 2×2,故 选项正确;C. 4 × 10≠5 × 6,故选项错误;D. 3 × 3≠ 2 × 2 ,故选项错误. 故选 B. 3. C　 【解析】∵ 一个三角形的三边长分别为 2,3,4,与其 相似的另一个三角形的周长为 36, ∴ 相似比为(2+3+4) ∶ 36 = 1 ∶ 4. ∴ 另一个三角形的最长边的长为 4×4 = 16. 故选 C. 4. C　 【解析】在△ADC 和△BAC 中,∠ADC = ∠BAC,若 △ADC∽△BAC,需满足的条件有①∠DAC = ∠ABC 或 CA 是∠BCD 的平分线(两角对应相等,两三角形相似); ②AD AB =DC AC (两边成比例且夹角相等,两三角形相似) . 故 选 C. 5. D　 【解析】∵ 矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 位似,矩形 OA1B1C1 的面 积 等 于 矩 形 OABC 面 积 的 1 2 , ∴ 矩 形 OA1B1C1 与矩 形 OABC 的 相 似 比 为 1 ∶ 2 . ∵ 矩 形 OA1B1C1 与矩形 OABC 位似,位似中心是原点 O,点 B 的 坐标 为 ( 8, 6), ∴ 点 B1 的 坐 标 为 8× 2 2 ,6× 2 2( ) 或 -8× 2 2 ,-6× 2 2( ) ,即(4 2,3 2 ) 或( - 4 2,- 3 2 ) . 故 选 D. 6. B　 【解析】设运动时间为 t s,∵ PQ∥AC,∴ BP BA = BQ BC . ∵ AP = t cm,BQ= 2t cm,AB= 6 cm,BC= 8 cm,∴ BP=(6- t)cm. ∴ 6 -t 6 = 2t 8 . ∴ t= 2. 4. 故选 B. 7. B　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥ BC. ∴ △ADQ ∽ △RCQ. ∴ AD RC = DQ CQ ,即AD RC = 4. ∴ RC = 1 4 AD.同理,△ADP∽△RBP,则AD RB = AP RP ,即 AD AD+RC = AP PR , ∴ AD AD+ 1 4 AD = AP PR = 4 5 ,即 AP ∶ PR= 4 ∶ 5. 故选 B. 8. C　 【解析】 A. ∵ EF∥AB,∴ AE EC = BF FC ,故本选项正确; B. ∵ DE∥BC,∴ AD AB =DE BC . ∵ EF∥AB,∴ 四边形 BFED 为 平行四边形. ∴ DE = BF. ∴ AD AB = BF BC . ∴ AD BF = AB BC . 故本选 项正确;C. ∵ EF∥AB,∴ EF AB = CF BC . ∵ CF≠DE,∴ EF AB ≠ DE BC . 故本选项错误;D. ∵ EF∥AB,∴ CE EA =CF BF . ∴ CE CF = EA BF . 故本选项正确. 故选 C. 9. A 　 【解析】 根据题意,得 AB ⊥ BC,OE ⊥ BC,DC ⊥ BC. ∴ ∠ABC = ∠OEC = ∠OEB = ∠DCB = 90°. ∵ ∠ACB = ∠OCE, ∴ △ACB ∽ △OCE. ∴ OE AB = CE CB . ∵ ∠OBE = ∠DBC, ∴ △BOE ∽ △BDC. ∴ OE DC = BE BC . ∴ OE AB +OE DC =CE BC +BE BC =CE+BE BC =BC BC = 1. ∵ AB = 6 cm,CD = 3 cm,∴ OE 6 +OE 3 = 1. 解得 OE= 2. ∴ 小孔 O 到 BC 的距离 OE 为 2 cm. 故选 A. 10. C　 【解析】∵ △ABC 和△ADP 均为等边三角形, ∴ AB = AC = BC, AD = DP = AP, ∠CAB = ∠ABC = ∠ACB = ∠DAP = ∠ADP = ∠APD = 60°. 在 △DAC 和 △PAB 中, AD=AP, ∠DAC= ∠PAB, AC=AB, ì î í ïï ïï ∴ △DAC≌△PAB(SAS) . ∴ ∠DCA= ∠PBA. ∵ ∠CEP + ∠EPC + ∠DCA = 180°, ∠PAB + ∠APB + ∠PBA = 180°, ∠EPC = ∠APB, ∴ ∠CEP = ∠PAB = 60°. ∴ ∠BED = 180° - ∠CEP = 120°. 故 选 项 A 正 确; ∵ ∠EPC = ∠APB, ∠DCA = ∠PBA, ∴ △EPC ∽ △APB. ∴ PE PA = PC PB . ∴ PA·PC = PB·PE. 故选项 B 正 确;∵ ∠DEP = 120°, ∠BPC = ∠CAB + ∠PBA = 60° + ∠PBA,0°≤∠PBA≤60°,∴ 只有当∠PBA = 60°,即点 P,C 重合时,∠BPC= ∠DEP,∠DCA= ∠PBA, 此时△BPC∽ △DEP,其他情况不成立. 故选项 C 错 误;∵ PE PA =PC PB ,∴ PE PC =PA PB . ∵ ∠EPA= ∠CPB,∴ △EPA∽△CPB. ∴ ∠AEP= ∠BCP= 60°. ∵ ∠DCA= ∠PBA,∠AEP= ∠DAC, ∴ △DCA∽△ABE. 故选项 D 正确. 故选 C. 11. 110 12. 2 6 　 【解析】∵ △ABC∽△CBD,∴ AB BC =BC BD . ∵ AB= 4,BD= 6,∴ BC2 =AB·BD= 24. ∵ BC>0,∴ BC= 2 6 . 13. 0. 4 5 = 5 5+x 　 【解析】 ∵ 四边形 BCED 是矩形,∴ BF∥ DE. ∴ △AFB∽△AED. ∴ BF DE = AB AD . ∴ 0. 4 5 = 5 5+x . 14. 1 3 　 【解析】∵ 点 A 的坐标为(1,0),点 D 的坐标为(3, 0),∴ OA = 1,OD = 3. ∴ OA OD = 1 3 . ∵ △ABC 与△DEF 是 位似 图 形, ∴ AC∥DF. ∴ △OAC ∽ △ODF. ∴ AC DF = OA OD = 1 3 . 15. 2 或 8. 4 或 12 　 【解析 】 ∵ AB ⊥ BD, DE ⊥ BD, ∴ ∠B = ∠D = 90°. 当 △ABC ∽ △EDC 时, BC DC = AB ED . ∵ AB= 6,DE = 4,BD = 14,∴ DC = BD-BC. ∴ BC 14-BC = 6 4 . ∴ BC= 8. 4;当△ABC∽△CDE 时,BC DE = AB CD . ∵ AB = 6,DE = 4,BD = 14,∴ CD = BD - BC. ∴ BC 4 = 6 14-BC . ∴ BC= 2 或 12. 综上所述,当 BC 的值为 2 或 8. 4 或 12 时,△ABC 与△CDE 相似. 16. 4 5 　 【解析】∵ ∠ABC= 90°,AB= 8,BC= 6, ∴ AC= AB2 +BC2 = 82 +62 = 10. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC. ∴ AD AB =AE AC . ∴ AD AE =AB AC . ∵ 将△ADE 绕点 A 顺时针旋转到图 2 的位置, ∴ ∠DAB= ∠EAC. ∴ △ADB∽△AEC. ∴ BD CE =AB AC = 8 10 = 4 5 . 17.解:(1)由x +3y x-y = 3 2 ,得 2(x+3y)= 3(x-y) . 去括号,得 2x+6y= 3x-3y. 移项、合并同类项,得 9y= x. ∴ x y = 9. (2)由x +3y x-y = x y ,得 xy+3y2 = x2 -xy. 整理,得 3y2 +2xy-x2 = 0. ∴ (3y-x)(y+x)= 0. ∴ 3y-x= 0 或 y+x= 0. ∴ x y = 3 或 x y = -1(不符合题意,舍去) . ∴ x y = 3. 18. 解:△A′ B′ C′如图所示,点 A′,B′,C′的坐标分别为 - 2 3 , 2 3( ) , 4 3 ,2( ) , ( 0, 2 ) 或 23 ,- 2 3( ) , - 4 3 ,-2( ) , (0,-2) . 19. (1)证明:∵ ∠D 和∠E 是 BC ( 所对的圆周角, ∴ ∠D= ∠E. ∵ ∠A= ∠A,∴ △ACD∽△ABE. (2)解:∵ △ACD∽△ABE,∴ AC AB =AD AE . ∵ AB= 5,AC= 6,AD= 12, ∴ AE=AB·AD AC = 5×12 6 = 10. ∴ AE 的长为 10. 20.解:(1)∵ AB∥CD,∴ ∠B= ∠BCD, ∠D= ∠BAD. ∴ △ABE∽△DCE. ∴ AB DC =BE CE . ∵ AB= 6,BE= 4,BC= 9,∴ CE=BC-BE= 5. ∴ 6 DC = 4 5 . ∴ CD= 15 2 . (2)∵ AE= 3,△ABE∽△DCE, ∴ AE DE =BE CE . ∴ 3 DE = 4 5 . ∴ DE= 15 4 . ∵ AB BC = 6 9 = 2 3 ,CE DC = 5 15 2 = 2 3 ,∴ AB BC =CE DC . ∴ AB EC =BC CD . ∵ AB∥DC,∴ ∠ECD= ∠ABC. ∴ △ABC∽△ECD. ∴ AB AC =EC ED . ∴ 6 AC = 5 15 4 . ∴ AC= 9 2 . 21. 任务一:证明:∵ CE∥AD, ∴ AB AE = BD CD , ∠2 = ∠ACE, ∠1 = ∠E. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠1 = ∠2. ∴ ∠ACE= ∠E. ∴ AC=AE. ∴ AB AC =BD CD . 任务二:解:∵ AD 是△ABC 的角平分线,∴ AB AC =BD CD . ∵ AB= 11,AC= 15,∴ BD CD = 11 15 . 设 BD= 11a,则 CD= 15a. ∴ BC= 26a. ∵ E 是 BC 的中点,∴ CE= 1 2 BC= 13a. ∵ EF∥AD,∴ CF ∶ AC=CE ∶ CD, 即 CF ∶ 15 = 13a ∶ 15a. 解得 CF= 13. 22.解:由已知,得 AB = 1 m,CD = 1. 5 m,AC = 4 m,FB = GD = 1. 5 m, ∠AOE = ∠ABF = ∠CDG = 90°, ∠BAF = ∠OAE,∠DCG= ∠OCE. ∵ ∠BAF= ∠OAE,∠ABF= ∠AOE, ∴ △BAF∽△OAE. ∴ FB AB =EO AO ,即1. 5 1 =EO AO . ∴ OE= 1. 5AO. ∵ ∠DCG= ∠OCE,∠CDG= ∠COE, ∴ △GDC∽△EOC. ∴ GD CD =EO CO ,即1. 5 1. 5 = EO AO+4 . ∴ OE=AO+4. 又∵ OE= 1. 5AO, ∴ 1. 5AO=AO+4. ∴ OA= 8 m,OE= 12 m. ∴ 教学楼的高度 OE 为 12 m. 23. (1)证明:∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠ACD+∠BCD= 90°. ∵ CD 是边 AB 上的高,∴ ∠ADC= 90°. ∴ ∠A+∠ACD= 90°. ∴ ∠A= ∠BCD. ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE= ∠CBF. ∴ △AEB∽△CFB. (2)证明:由(1)知,∠ABE= ∠CBE,∠A= ∠BCD, ∴ ∠CFE= ∠BCD+∠CBE= ∠A+∠ABE. ∵ ∠CEF= ∠A+∠ABE,∴ ∠CEF= ∠CFE. ∴ CE=CF. ∵ △AEB∽△CFB,∴ AE CF = AB CB . ∴ AE CE = AB CB . (3)解:如图,过点 C 作 CH⊥EF 于点 H. ∵ CE=CF,CH⊥EF,∴ EH=FH= 1 2 EF= 5 . ∴ CH= EC2 -EH2 = 52 -( 5 ) 2 = 2 5 . ∵ CH⊥EF,∴ ∠CHF= 90°. ∵ CD 是△ABC 的高,∴ ∠BDF= 90°. ∴ ∠BDF= ∠CHF. ∵ ∠BFD= ∠CFH,∴ △BFD∽△CFH. ∴ DF HF =BD CH ,即DF 5 = 6 2 5 . ∴ DF= 3. ∵ CF=CE= 5,∴ CD=CF+DF= 8. ∵ ∠A= ∠BCD,∠ADC= ∠CDB= 90°, ∴ △ACD∽△CBD. ∴ AD CD =CD BD ,即AD 8 = 8 6 . ∴ AD= 32 3 . 第二十八、二十九章考点梳理与复习 考点一　 锐角三角函数 1. D 2. C　 【解析】在△ABC 中,∠C = 90°,设∠A,∠B,∠C 所 对的边分别为 a,b,c,因此有 sin A= a c ,sin B= b c ,cos A= b c ,tan A= a b ,故 A 不符合题意,C 符合题意,D 不符合 题意;由 sin B= b c 可得 b= sin B×c,故 B 不符合题意. 故 选 C. 3. C 4. 6 考点二　 特殊角的三角函数值 5. B　 6. C 7. 105°　 【解析】∵ sin A- 1 2 + 2 2 -cos B( ) 2 = 0,∴ sin A- 1 2 = 0, 2 2 -cos B = 0. ∴ sin A = 1 2 ,cos B = 2 2 . ∴ ∠A = 30°,∠B= 45°. ∴ ∠C= 180°-∠A-∠B= 105°. 8.解:(1)原式= 1+ 1 2 -2× 1 2 = 1+ 1 2 -1 = 1 2 . (2)原式= 1 2 + 2 2 - 3 3 × 3 2 = 1 2 + 2 2 - 1 2 = 2 2 . 考点三　 解直角三角形 9.解:∵ ∠B= 60°,∠BAD= 75°, ∴ ∠D= 180°-60°-75° = 45°. ∵ AC 是高,∴ ∠ACB= ∠ACD= 90°. ∴ sin D= sin 45° = AC AD = 2 2 . ∴ AD= 2AC. ∵ sin B= sin 60° =AC AB = 3 2 ,AB= 30, ∴ AC= 15 3 . ∴ AD= 2 ×15 3 = 15 6 . 10.解:如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,设 AD 为 x. 在 Rt△ABD 中,sin B= 1 3 =AD AB , ∴ AB= 3AD= 3x. ∴ BD= AB2 -AD2 = (3x) 2 -x2 = 2 2 x. 在 Rt△ACD 中,tan C= 2 2 = AD CD , ∴ CD= 2AD= 2 x. ∵ BD+CD=BC, ∴ 2 2 x+ 2 x= 3 2 . 解得 x= 1. ∴ AD= 1,CD= 2 . 在 Rt △ACD 中, 由勾股定理, 得 AC = AD2 +CD2 = 12 + 2( ) 2 = 3 . 考点四　 解直角三角形的应用 11. C　 【解析】∵ 船只 C 在港口 A 北偏东 30°方向,驱逐舰 B 在港口 A 处北偏东 60°方向,∴ ∠CAB = 60° - 30° = 30°. ∵ 驱逐舰 B 在可疑船只 C 的南偏东 30°的方向 上,∴ ∠ACB = 30° + 30° = 60°. ∴ ∠ABC = 180° - 30° - 60° = 90°. ∵ sin∠ACB = AB AC , AB = 10 km, ∴ AC = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 74·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级