2024-2025学年上学期高二年级12月阶段性检测试题数学（空间向量～等差数列）（人教A版2019）

2024-2025学年第一学期高二年级12月阶段性模拟检测试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 2．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 4．设等差数列的前项和为，若，则等于（    ） A．9 B．11 C．13 D．25 5．已知，直线是双曲线的一条渐近线，则点到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（     ） A． B． C．1 D． 7．点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 8．在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线，，则（ ） A．直线恒过定点，直线恒过定点 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 10．已知{an}为等差数列，，则（   ） A．{an}的公差为-2 B．{an}的通项公式为an=313n C．{an}的前n项和为 D．{|an|}的前50项和为2565 11．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（    ） A．若的纵坐标为2，则 B．若直线过点，则的最小值为4 C．若，则直线恒过定点 D．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，，，则的坐标为 . 13．过点且以向量为方向向量的直线方程为 ；过点且与向量垂直的直线方程为 ． 14．已知为不超过的最大整数，例如，，，设等差数列的前项和为且，记，则数列的前100项和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．已知圆C经过点A(-1,0),8(0,3)，圆心C在第一象限，线段AB的垂直平分线交圆C 于点D,E,且DE =2． （1）求直线DE的方程； （2）求圆C的方程； （3）过点（0,4）作圆C的切线，求切线的斜率. 17．如图，在直三棱柱中， 分别为的中点，点Q在线段上． (1)当时，证明：B，N，M，Q四点共面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为时，求的长度． 18．记为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求的最小值，以及此时的值. 19．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左顶点为，满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高二年级12月阶段性模拟检测试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 2．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 4．设等差数列的前项和为，若，则等于（    ） A．9 B．11 C．13 D．25 5．已知，直线是双曲线的一条渐近线，则点到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（     ） A． B． C．1 D． 7．点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 8．在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线，，则（ ） A．直线恒过定点，直线恒过定点 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 10．已知{an}为等差数列，，则（   ） A．{an}的公差为-2 B．{an}的通项公式为an=313n C．{an}的前n项和为 D．{|an|}的前50项和为2565 11．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（    ） A．若的纵坐标为2，则 B．若直线过点，则的最小值为4 C．若，则直线恒过定点 D．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，，，则的坐标为 . 13．过点且以向量为方向向量的直线方程为 ；过点且与向量垂直的直线方程为 ． 14．已知为不超过的最大整数，例如，，，设等差数列的前项和为且，记，则数列的前100项和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．已知圆C经过点A(-1,0),8(0,3)，圆心C在第一象限，线段AB的垂直平分线交圆C 于点D,E,且DE =2． （1）求直线DE的方程； （2）求圆C的方程； （3）过点（0,4）作圆C的切线，求切线的斜率. 17．如图，在直三棱柱中， 分别为的中点，点Q在线段上． (1)当时，证明：B，N，M，Q四点共面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为时，求的长度． 18．记为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求的最小值，以及此时的值. 19．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左顶点为，满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$考堆标记 2024-2025学年第一学期高二12月阶段性检测模数试题数学答题卡 16015分) 姓名: 斑ō *B 口口口 □口 1□□ 口 : 口2 口口 ) 1 口□ □ 主现题必用5毫来黑色签字笔填写. [口口口 1口 口四 1. 出智 不得使用改,立. 口 [□ 3. 不得在分内写,抹 口 阳 4. 摇持卡面洁洁,不要折,不要数 阳(1(口 阳1 1 1口 1口口口 口1 一. 单选题(40分 1][BC] ,ACCC 5ABCCC 7AC 1[A回 4A6ADC:ECD 二. 多选题(18分) 1o ADn AC 三.填空题(15分) 17(15分) 国.答题(77分 151 2 请在各题到的答题区域内作答,题出达的答来无第1言(可 请在各题时的答题[内作答,题出的答来无效第题(共 1817分) 19017) 2 在各题的答题[内答题由的答来无效第3题共 △, 请在各题时的答题[内作答,题出的答来无效第4页(共可 2024-2025学年第一学期高二年级12月阶段性检测试题 数学（空间向量～等差数列） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 【答案】B 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 2．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算法则计算即可. 【详解】 ． 故选：C． 3．已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 4．设等差数列的前项和为，若，则等于（    ） A．9 B．11 C．13 D．25 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】设公差为，， 因为， ， 所以， 故选:B. 5．已知，直线是双曲线的一条渐近线，则点到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出渐近线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】不妨设双曲线的一条渐近线直线为， 故点到直线的距离为. 故选：B 6．已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据直线的方程，求得直线所过的定点，直线被圆C截得的弦长最短时有，则，解出方程即可. 【详解】因为直线：， 方程可化为， 令，解得， 故直线过定点， 且在圆C:内，又, 故当直线被圆C截得的弦长最短时, 有， 则， 解得， 故选：B. 7．点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆定义得到，结合等差数列，余弦定理得到关于的齐次式，解方程求出离心率 【详解】设，由椭圆的定义得：， ∵的三条边成等差数列， ∴，联立， 解得：， 由余弦定理得：， 将代入可得， ， 整理得：，由，得， 解得：或（舍去）， 故选：D． 8．在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】 建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】 如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量，则，得， 故可设，，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：，，. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线，，则（ ） A．直线恒过定点，直线恒过定点 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 【答案】ACD 【分析】根据直线过定点的求法、两直线平行和垂直的位置关系、直线图象与系数之间的关系依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，方程可整理为：， 令，解得：，直线恒过定点； 令方程中的，解得：，直线恒过定点，A正确； 对于B，若，则，解得：，B错误； 对于C，若，则，解得：，C正确； 对于D，直线方程可整理为：， 若不经过第二象限，则，解得：，D正确. 故选：ACD. 10．已知{an}为等差数列，，则（   ） A．{an}的公差为-2 B．{an}的通项公式为an=313n C．{an}的前n项和为 D．{|an|}的前50项和为2565 【答案】BCD 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式逐一判断即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为， 所以由， 所以选项A不正确，由， 所以，所以选项B正确； {an}的前n项和为，所以选项C正确； 设{|an|}的前50项和为， 由， 所以 ， 因此选项D正确， 故选：BCD 11．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（    ） A．若的纵坐标为2，则 B．若直线过点，则的最小值为4 C．若，则直线恒过定点 D．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】BC 【分析】由点纵坐标可得点坐标，即可判断选项A错误；设直线方程，与抛物线方程联立，利用表示，即可得到选项B正确；设直线方程，与抛物线方程联立，计算，利用可得选项C正确；利用条件计算点坐标，求出线段长计算周长可得选项D错误. 【详解】由题意得，，，准线方程. A. 由的纵坐标为2得，，故，选项A错误. B. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，当时，，选项B正确. C. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，解得， ∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确. D.如图，设点在第四象限. 由题意得，，则. 由准线方程为得，，故，， ∴， ∴四边形的周长为，选项D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，，，则的坐标为 . 【答案】 【分析】直接利用向量的运算法则计算即可. 【详解】向量，，，则. 故答案为：. 13．过点且以向量为方向向量的直线方程为 ；过点且与向量垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】第一空由直线的方向向量得到斜率，再由点斜式得到直线方程；第二空由直线的法向量与斜率关系得到斜率，再由点斜式得到直线方程； 【详解】第一空：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即． 第二空：依题意知，所求直线与向量垂直，所以直线的斜率满足，解得，所以直线的方程为，即． 故答案为：； 14．已知为不超过的最大整数，例如，，，设等差数列的前项和为且，记，则数列的前100项和为 . 【答案】480 【分析】求出，则得到，再利用的定义即可求出答案. 【详解】由题意得，所以， ，所以， 所以公差，所以，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的前100项和为. 故答案为：480. 【点睛】关键点睛：本题的关键是求出，再利用取整函数的定义对分类讨论，最后计算出答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列及其前项和的基本量的计算求出即可得解； （2）分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又， 所以， 解得， 所以. （2）由（1）知， 当时，，所以； 当时，， 所以当时，， 当时，. 综上，. 16．已知圆C经过点A(-1,0),8(0,3)，圆心C在第一象限，线段AB的垂直平分线交圆C 于点D,E,且DE =2． （1）求直线DE的方程； （2）求圆C的方程； （3）过点（0,4）作圆C的切线，求切线的斜率. 【答案】（1）（2）（3）或 【详解】试题分析：（1）根据题目中的条件，线线垂直得到，再代入一个点即可得到直线方程；（2）根据题意知为圆的直径，由点点距得到，求解即可；（3）根据圆心到直线的距离为半径，设出直线方程，求解即可． 解析： （1）因为，所以．又的中点在直线上， 故直线的方程为，即． （2）由题意知为圆的直径，设圆心，则，解得或．故圆心为或（舍）． 所以圆的方程为． （3）由题意知切线的斜率存在，设为，则切线方程为，即， 由，得或. 点睛：这个题目考查了直线和圆的位置关系．一般解决直线和圆的位置关系的题目，联立的情况较少，考虑数形结合的情况较多，常用的方法有：垂径定理的应用；直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径等． 17．如图，在直三棱柱中， 分别为的中点，点Q在线段上． (1)当时，证明：B，N，M，Q四点共面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为时，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，通过证明三向量共面，即可证得结论； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式列出方程，求解即得. 【详解】（1） 如图，因三棱柱是直三棱柱，且，故可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 又由分别为的中点，且，则得： , 于是，,易得：， 因则, 故三向量共面，即B，N，M，Q四点共面. （2） 由题意及（1）可得： 易得平面平面，故平面的法向量可取为； 不妨设，则，, 设平面的一个法向量为， 则故可取. 设平面与平面的夹角为，则， 解得，或（舍去）. 即的长度为. 18．记为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求的最小值，以及此时的值. 【答案】(1). (2)的最小值及对应均为4. 【分析】（1）设公差，由已知结合等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，写出通项公式即可. （2）由的前n项和公式，根据的非负性质，易知最小值出现在零点附近的自然数处，代入相应值计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为, 由题意，，解得， ∴. （2）由（1）知，， 由的零点为和， ∴的最小值是靠近零点处的函数值，又， ∴当时，取得最小值为 19．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左顶点为，满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据得，即可求得离心率； （2）设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理表示出三角形的面积，利用基本不等式求解面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为. 由得， 整理得. 又因为，所以，. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知，，. 设直线的方程为. 联立，消去可得. 设，. 则，. 所以， 所以. 又因， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即面积的最大值为. 【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的关系解决三角形面积的最值问题，利用韦达定理处理根的问题，利用基本不等式求解最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$