专题05 函数定义域值域解析式（易错培优竞赛精练）-2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一函数定义域值域解析式易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校函数定义域值域解析式易错题精选 题组二：名校函数定义域值域解析式培优压轴试题精选 题组三：名校函数定义域值域解析式培优新定义试题精选 题组四：函数定义域值域解析式全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校函数定义域值域解析式易错题精选 1．设，，，若，且，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．设函数，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 6．设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”.若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数当时，函数的值域为，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 10．已知的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 12．定义在上的函数满足，，，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 13．已知函数为的定义域为，当时，；当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数的定义域为，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 16．是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 17．，若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 19．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 20．对于每一对实数，，函数满足函数方程，如果，那么满足的的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 题组二：名校函数定义域值域解析式培优压轴试题精选 1．已知，设函数：满足，则这样的函数个数共有（   ） A． B． C． D． 2．记关于的代数式为，它满足以下关系：①；②；③；④，则（    ） A． B． C． D． 3．存在函数满足：都有（    ） A． B． C． D． 4．已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）设，定义：，，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，如=-2， 称为高斯函数， 记，则下列说法正确的是（    ） A． B．的值域为 C．不等式 的解集为 D．所有满足的点组成的区域的面积和为2024 8．（多选题）已知函数的定义域为，若，则（    ） A． B． C． D． 9．定义 若函数 则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 10．我们用表示实数x到离它最近的整数的距离，例如，，，则的最大值是 ；对于函数，若满足，则有 种可能的值. 11．已知，，，若函数f：的值域是B且对任意x，，，都有，则满足如上条件的函数的个数为 ． 12．已知关于实数的方程和对任意有解，则的值的集合为 ． 13．已知函数，，.设集合，若中的所有点围成的平面区域的面积为，则的最小值为 . 14．已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为 ． ②记函数的最大值为，则的值域为 ． 15．已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求；②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 题组三：名校函数定义域值域解析式新定义试题精选 1．十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（    ） A． B． C． D． 2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 3．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（    ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数. A．的值域为 B． C． D．以上选项都不对 4．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（    ） A．函数满足： B．函数的值域是 C．对于任意的，都有 D．在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 5．（多选题）若正整数，只有为公约数，则称，互质．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．，是正整数 6．（多选题）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（    ） A．为“不动点”函数 B．的不动点为 C．为“不动点”函数 D．若定义在R上有且仅有一个不动点的函数满足，则 7．（多选题）对于，满足，且对于，恒有．则（    ） A． B． C． D． 8．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 . 9．德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，．写出满足的一个x的值 ；关于x的方程的解集为 ． 10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 ． ①函数的最大值为；                         ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点     ④ 11．19世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集.狄利克雷函数是无法画出函数图像的，但是它的函数图像却客观存在，如果，，在其图象上，那么 ，A，B两点间的距离为 . 12．已知为实数，用表示不超过的最大整数.则函数称为取整函数，也叫高斯（Gaussian）函数，例如[3.5]=3，. (1)若函数，求的值； (2)若存在，使得，则称函数是函数，若函数是函数，求实数的取值范围. 13．实数集R上的函数，不妨称为“集合的标记函数”.对于两个集合A和，定义集合.当集合且集合时， (1)求与的值； (2)求集合（用列举法表示）； (3)用表示有限集合所包含元素的个数.已知集合是正整数集的有限子集，求的最小值，并说明理由. 14．对于集合M，定义函数对于两个集合，定义集合.已知 (1)写出和的值，并用列举法写出集合； (2)用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值； (3)有多少个集合对，满足，，且？ 15．函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记. (1)设方程的两个不同实数解为与，且，求的值； (2)请确认是否存在函数：，满足对，都有： ①；②同时成立. (3)求证：对，，. 题组四：基本不等式全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2010高一·全国·竞赛）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（    ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 2．（2011高一·全国·竞赛）已知函数，满足：（ⅰ）对任意，都有；（ⅱ）对任意都有.则（    ） A．54 B．66 C．81 D．89 3．（2007高一·全国·竞赛）集合，映射，对任意的，都有是奇数，这样的映射的个数为（　　）. A．122 B．15 C．50 D．27 4．（2007高一·全国·竞赛）已知，则的值为（　　）. A．16 B．18 C．32 D．24 5．（2011高一·全国·竞赛）已知函数的定义域为，且满足下列条件： ①对于任意，总有； ②若，则有．则（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（2023高一上·安徽·竞赛多选题）若点在幂函数的图象上，则以下关于函数的说法中正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．是增函数 D． 8．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）定义域是一个函数的三要素之一.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 9．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）定义为中的最大值，设，则的最小值为 . 10．（2012高一·全国·竞赛）已知集合到集合的映射f满足，则不同的映射f有 个． 11．（2013高一·全国·竞赛）函数满足：，且，则 ． 12．（2013高一·全国·竞赛）设为正整数的各数位上的数字的平方和，例如．记，则 ． 13．（2007高一·全国·竞赛）定义在R上的函数的值域为，则函数的值域为 . 14．（2014高一·全国·竞赛）已知，若函数，其中是的小数点后的第位数字，且，则 . 15．（2007高一·全国·竞赛）函数的值域是 ． 16．（2008高一·全国·竞赛）函数的值域为 . 17．（2007高一·全国·竞赛）若函数的定义域为，，则的定义域为 . 18．（2008高一·全国·竞赛）定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值是 . 19．（2014高一·全国·竞赛）若函数在其定义域内满足，则的函数表达式为 .（含自变量的取值范围） 20．（2012高一·全国·竞赛）定义在整数集上的函数满足：，则 ． 21．（2012高一·全国·竞赛）函数满足，则常数 ． 22．（2007高一·全国·竞赛）如果函数满足，且，那么 . 23．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数，则的值域为 . 24．（2022高二上·河南驻马店·竞赛）已知三次函数，且，，，则 25．（2018高三·全国·竞赛）已知函数，若存在实数a，，使在上的值域为，则实数m的取值范围是 ． 26．（2020高三·江苏·竞赛）已知集合，则满足的函数：共有 个． 27．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）若函数的定义域为R，则a的取值范围是 ． 28．（2017高一·江苏盐城·竞赛）已知，，映射满足．则这样的映射有 个． 29．（2017高一·江苏盐城·竞赛）设函数，（其中表示不超过的最大整数），则函数的值域为 ． 30．（2007高一·全国·竞赛）如图，三个机器人和检测台位于同一直线上，三个机器人需把各自生产的零件送到处进行检测，送检程序规定：当把零件送到处时，立刻自动出发送检，当把零件送到处时，立刻自动出发送检，设的送检速度为，且送检速度是的2倍，的3倍. (1)求三台机器人把各自生产的零件送到检测台处的时间总和； (2)现要求送检时间总和必须最短，请你找出检测台在该直线上的位置（与均不重合）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一函数定义域值域解析式易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校函数定义域值域解析式易错题精选 题组二：名校函数定义域值域解析式培优压轴试题精选 题组三：名校函数定义域值域解析式培优新定义试题精选 题组四：函数定义域值域解析式全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校函数定义域值域解析式易错题精选 1．设，，，若，且，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数图象，即可根据，得求解. 【详解】当时，，且， 当时，，且， 作出的图象如下： 若，且，即可，故， 由于，由图象可知， 故选：D 2．设函数，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数，分情况求解不等式，结合一元二次不等式的解法，可得答案. 【详解】当时，由，可得，，解得，则； 当时，由，可得，解得，则. 综上所述，由，解得， 当时，由，可得，，解得，则； 当时，由，可得，显然成立，则； 当时，由，可得，，解得或，则. 综上所述，，解得. 故选：C. 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由换元法结合二次函数的值域即可得到结果，当时，由基本不等式即可得到其值域. 【详解】根据题意，当时，，令，可得， 所以，因此可得， 由二次函数性质可得，当时，取得最大值， 此时； 当时，，当且仅当，即时，等号成立； 所以的最小值为20，因此； 综上可得，函数的值域为. 故选：A. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数求定义域的方法计算即可. 【详解】因为的定义域为，所以在中，，则， 则在中，，则． 又，所以的定义域为． 故选：B. 5．已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得，令可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】当，时，，所以； 令得，所以； ，， ，…， . 故选：C. 6．设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，根据分段函数的解析式列不等式来求得正确答案. 【详解】当时，，不符合题意. 当时，. 所以， 由解得. 故选：B 7．对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”.若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据定义先化简求得的等量关系，然后采用常数代换法表示出的最小值，最后根据最小值的结果求解出的值. 【详解】因为正实数与为函数的一对“类指数”， 所以，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，所以， 故选：A. 8．已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，构造方程组消元求解出函数解析式，然后根据函数的性质求解的最大值. 【详解】因为，将置换解得：， ， 设当时， 当时，， 又因为， 当时，取得最大值，，即函数最大值为， 故选：B. 9．已知函数当时，函数的值域为，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出时，的范围，进而可知的范围为，因为时，或；时，或，所以当时，；当时，，求出的取值即可. 【详解】函数的图象如图所示，当，，此时 因为时，或；时，或 又因为函数的值域为， 当，即时，需满足，此时满足不等式； 当，即时，需满足，此时满足不等式； 综上所述：实数的取值集合为， 故选：B. 10．已知的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以， 所以， 所以， 所以的定义域为. 故选：C. 11．已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在在同一坐标系中，画出的图象，从而得到的图象，进而得解. 【详解】令，得到或， 在同一坐标系中，画出与的图象，如图， 因为，所以图中实线部分为的图象， 由图可知，当时，取到最大值. 故选：C. 12．定义在上的函数满足，，，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，，利用赋值法得到，再结合时，即可得到. 【详解】∵，，令得：，又， ∴当时，；令，由得：； 同理可求：；；①， 再令，由，可求得，令， 同理反复利用，可得；；,②， 由①②可得：有，∵时， 而，所以有，； 故. 故选：D. 13．已知函数为的定义域为，当时，；当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当 时 ，所以 ， 又因为时， ， 则 ， ， 所以D一定正确，无证据表明 一定正确. 故选：D. 14．已知函数的定义域为，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，利用迭代法求解，得出正确答案. 【详解】题意可得， 所以， 依次得，， . 故选：A. 15．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，，所以，， 又因为，所以， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， 故B正确，A错误，且无证据表明CD正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 16．是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】首先推导出，从而得到，再根据计算可得. 【详解】因为，即， 所以 ， 又，所以， 所以. 故选：C 17．，若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：当时，， 当且仅当：，即时，等号成立， 此时函数的最小值为， 若，则函数的最小值为，此时不是的最小值，此时不满足条件， 若，则要使是的最小值，则满足， 即 解得， ， ， 故选：D． 18．已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 19．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 20．对于每一对实数，，函数满足函数方程，如果，那么满足的的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】A 【分析】根据题意，令可得，由累加法可得，然后考虑负整数的情况，代入计算，即可求解. 【详解】令，则， ①， 分别令， 可得， ， ， 并将诸式相加得 整理可得②， 从而对所有自然数，②式成立. 若，可得，，. 于是，对且时，无解. 对公式①取得. 再取得. 进而得，，. 再由①式，时，. 从而，时，有. 所以，只有时，. 故选：A 题组二：名校函数定义域值域解析式培优压轴试题精选 1．已知，设函数：满足，则这样的函数个数共有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，分别在函数值域中只有一个元素，有两个元素和有三个元素三种情况下讨论得到函数个数. 【详解】记函数的定义域为，值域为，则， 若中只有一个元素，则或2或，共有个函数； 若中有两个元素，则从中选出两个元素作为象，共种选择， 其中与所选元素相同的原象对应的象必定是它本身， 而另一个原象可以选择两个象中的任意一个，共有种选择， 如：象为，则，，或， 所以共有种选择，即共有个函数； 若中有三个元素，则从中选出三个元素作为象，共种选择， 其中与所选元素相同的原象对应的象必定是它本身， 而另一个原象可以选择三个象中的任意一个，共有种选择， 如象为，则，或或， 所以共有种选择，即共有个函数， 综上所述，满足题意的函数共有个. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：理解的含义是解决本题的关键. 2．记关于的代数式为，它满足以下关系：①；②；③；④，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，逐步计算，，从而得到即可得. 【详解】由，令，得 得， 由，令可得， 由，令，，得， 即有，即，同理可得， 由，令， 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合题目所给条件，得到，即可得，从而得解. 3．存在函数满足：都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法求原函数解析式，结合函数定义：对于任意自变量取值有且仅有唯一对应函数值判断是否正确即可. 【详解】A：令，则，故，显然不满足函数定义； B：令，则，故，显然不满足函数定义； C：令，则，故，显然不满足函数定义； D：令，则，故，满足函数定义. 故选：D 4．已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义可以判断选项A不可能；根据求解析式的方法可以判断选项B、C、D可能. 【详解】对于选项A，当时，. 由可得， 与函数的定义矛盾，所以选项A不可能. 对于选项B，当时，令，，. 因为函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增. 所以函数在区间上单调递增. 故，即. 因为 所以，即，此时的定义域为.故选项B可能. 对于选项C，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项C可能. 对于选项D，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项D可能. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，属于难题.常见函数解析式的求法为： （1）待定系数法：已知函数类型，可设出函数的解析式，再代入条件，求出参数，即可确定函数解析式； （2）换元法与凑配法：已知解析式，求的解析式； （3）解方程组消元法：已知与、或、或的关系，一般成对出现； （4）奇偶性法：已知函数的奇偶性和函数在0某一侧的解析式，求函数在定义域上的解析式； （5）赋值法：对抽象函数，根据具体的题目灵活的选择合适的值进行赋值. （6）反函数法：根据反函数的概念. 5．已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，将问题转化为函数上的点到直线的距离，在区间上的最大值问题，然后观察图象可得. 【详解】作出函数的图象如图： 因为， 因为，所以， 表示函数上的点到直线的距离， 由图可知，当时，取得最大值，最大值为； 当时，， 结合图象可知，在区间上总有， 所以，此时的最大值为； 当时，由图可知，， 且. 综上，在区间上的最大值的取值范围为. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题主要考查分段函数图象的运用，关键在于作图和简问题转化为在区间上点到直线的距离的最值问题. 6．（多选题）设，定义：，，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】理解函数新定义可直接判断A，举反例排除B，分类讨论的大小关系，利用绝对值的相关知识可判断C，分类讨论的大小关系可判断D，从而得解. 【详解】因为，， 则表示中较大的数，表示中较小的数， 对于A，，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以，而， 此时不成立，故B错误； 对于C，当时，，得， 当时，； 当时，； 则； 当时，，得， 当时，； 当时，； 则； 综上，，故C正确； 对于D，当时，， 则； 当时，， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 7．（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，如=-2， 称为高斯函数， 记，则下列说法正确的是（    ） A． B．的值域为 C．不等式 的解集为 D．所有满足的点组成的区域的面积和为2024 【答案】ACD 【分析】分别利用题中的新概念判断，每一个选项即可. 【详解】由题可知，，故A正确； 设,，则，若，则， 所以与假设矛盾，故，当时，显然与假设矛盾， 故，即的值域为，故B错误； 当，可知，故无解， 当时，，故无解， 当时，，故无解， 当时，，解不等式，故此时不等式的解集为， 当时，，故无解， 综上所诉，不等式 的解集为，故选项C 正确； 当时，得，此时满足点的区域的面积为1； 当时，得，此时满足点的区域的面积为1； …… 当时，得，此时满足点的区域的面积为1； 当时，，故为一个点，无面积 所以所有满足的点组成的区域的面积和为2024，故选项D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解不等式，我们可以得到，因为，所以我们其实只需要讨论的时候即可. 8．（多选题）已知函数的定义域为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】取特殊值0和1，建立等式，得出或的相应结论，再前面结论取特殊值得到BC选项的结论，借助前面的结论，先求出的值，令化简得到即可得出结论. 【详解】令，，则 令，则 则，， ∴或 令，则 若，则，矛盾， ∴，则，∴A选项错误； 令，则，∴B选项正确； 令，则，则，即，C选项正确； 由A、C选项中结论，令，则，则 令，则， 即，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题是已知抽象函数的关系式求相应结论，这类题目可以从特殊值入手，建立一定的等式，解得特殊值所对的函数值，在令部分变量为特殊值，从而得出相应结论. 9．定义 若函数 则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 【答案】 5 【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，解得或， 由,结合图象可知，若函数在区间上的值域为， 则最大值为， 故答案为：5，. 【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质. 10．我们用表示实数x到离它最近的整数的距离，例如，，，则的最大值是 ；对于函数，若满足，则有 种可能的值. 【答案】 12 【分析】由题意，设，其中为整数部分，为小数部分，根据的定义得，所以等价于，因此分和的小数部分相同和小数部分和为1两种情况分类讨论即可. 【详解】由定义可知，故的最大值为； 设，，，， 所以，也就是和的小数部分要么相同，要么和为1. 当小数部分相同时，则，可得，且， 所以，，有6种可能的值； 当小数部分和为1时，则，可得，且， 所以，，有6种可能的值. 综上所述，有12种可能的值. 故答案为：，12. 11．已知，，，若函数f：的值域是B且对任意x，，，都有，则满足如上条件的函数的个数为 ． 【答案】 【分析】根据条件得到中元素个数的情况，再根据一个集合对应函数的个数得到结果. 【详解】首先，因为函数f：的值域是，所以中至少有两个元素， 又因为，，对任意x，，，都有， 当中元素个数为2个时，如,共21个，根据可得每个集合对应1个函数，所以此时共有21种情况， 当中元素个数为3个时，如,共35个，根据或可得到每个集合对应两个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为4个时，如,共35个，根据或或得到每个集合对应3个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为5个时，如,共21个，根据或或或得到每个集合对应4个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为6个时，如,共7个，根据或或或或得到每个集合对应5个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为7个时，如,共1个，根据或或或或得到每个集合对应6个函数，所以此时共有种情况； 所以共有：种情况， 故答案为：. 12．已知关于实数的方程和对任意有解，则的值的集合为 ． 【答案】 【分析】 构造函数与，分类讨论的取值范围，分别作出的图像，分析它们的值域，从而确定的值，由此得解. 【详解】 因为，则， 令， 其图象如图所示，其值域为， 由可知；由或可知； 所以． 令， 其图象如图所示，其值域为， 由可知；由可知； 所以． 综上：， 故答案为：． 13．已知函数，，.设集合，若中的所有点围成的平面区域的面积为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】设,则面积为，再分情况讨论二次函数的对称轴与区间的关系，求出的值域，并表示出S，即可求出S的最小值. 【详解】显然， 当，即时，在上单调递减，， 而，， 即有，此时， ； 当时，即时，在上单调递增，则有， 此时, ； 当时, 在上单调递减, 在上单调递增， 且，，则有， 此时, ； 当时, 在上单调递减，在上单调递增， 且，，则有， 此时, ， 综上所述，，所以S的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解决问题的关键在于讨论二次函数的对称轴与所给的区间的关系，得出二次函数在该区间上的值域求解. 14．已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为 ． ②记函数的最大值为，则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据解析式可画出函数和的函数图象，图象以为分界，左取图象，右取图象，根据值不同，可得不同图象，以此判断出的最大值变化与不同取值之间的关系，即可得到答案. 【详解】由解析式可知是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时等号成立； ，两函数如下图所示： 由图可知，当时，的最大值为， 当时，的最大值为在区间的最大值，即为， 当时，的最大值为； ①若满足，当时，，不符题意； 当时，，解得或（舍去） 当时，，不符题意； ②综上所述，根据函数图象可知函数的最大值为. 故答案为：①；② 15．已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 【答案】(1)定义域为；值域为 (2)①；② 【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域； （2）①令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解. 【详解】（1）因为，所以，则， 又， 当时，， 所以，又， 所以； （2）依题意，得， 令，则， 令，， 当时， 此时二次函数对称轴，开口向上，则. 当时，此时对称轴， 当，即时，开口向下，则； 当，即，对称轴，开口向下， 则， 当，即时，开口向下，； 综上，. ②当时，，则，解得或（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 综上，或，即. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握分类讨论的方法，利用二次函数的性质，结合轴动区间定即可得解. 题组三：名校函数定义域值域解析式新定义试题精选 1．十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次写出即可. 【详解】第一次操作剩下：； 第二次操作剩下：； 第三次操作剩下：； 即从左到右第四个区间为. 故选：C. 2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义，理解“不动点”为方程的解，所以只要有解即可，逐项分析判断即可得解. 【详解】根据题意，即存在使得有解，则函数为“不动点”函数， 对A，令，可得，该方程无解， 所以不是“不动点”函数，A错误. 对B，令， 即， 由可得该方程无解，所以不是“不动点”函数，B错误. 对C，令， 即，显然无解，所以不是“不动点”函数，C错误. 对D，令，可得，所以为“不动点”函数，D正确. 故选：D. 3．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（    ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数. A．的值域为 B． C． D．以上选项都不对 【答案】B 【分析】设，（，且，为互质的正整数） ，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析讨论即可． 【详解】解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}， 对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数， 故选项A错误； 对B、C选项： ①当，，则，； ②当，，则，＝0； ③当或，则，， 所以选项B正确，选项C、D错误， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析. 4．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（    ） A．函数满足： B．函数的值域是 C．对于任意的，都有 D．在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 【答案】AC 【分析】利用，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解. 【详解】由于， 对于选项A，设任意，则； 设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确， 对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误， 对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确， 对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误， 故选：AC． 5．（多选题）若正整数，只有为公约数，则称，互质．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．，是正整数 【答案】AC 【分析】利用欧拉函数定义求，判断A，举反例排除B，求判断C，举反例排除D. 【详解】∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， 小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， ∴，故A正确； ∵当时，，故B错误； ∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， ，，，，，，，，，，，，共有个， ∴，故C正确； ∵当时，，故D错误． 故选：AC. 6．（多选题）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（    ） A．为“不动点”函数 B．的不动点为 C．为“不动点”函数 D．若定义在R上有且仅有一个不动点的函数满足，则 【答案】ABCD 【分析】对于ABC，根据不动点的定义，令，有解即为“不动点”函数，且其解即为的不动点，注意选项C需要分类讨论； 对于D，设该不动点为，由条件推得，求解即可判断. 【详解】对于A，令，得，解得，即（有一个满足足矣），所以为“不动点”函数，故A说法正确； 对于B，令，得，即，即，解得，即和，所以的不动点为，故B说法正确； 对于C，当时，，令，得，解得或； 当时，，令，得，即，解得（舍去）； 综上：和，所以为“不动点”函数，故C说法正确； 对于D，仅有一个实数，使得， 对，有， 令，有，， ，解得或. 当时， 但方程有两个不同的实数解，不满足题意. 当时，， 此时方程仅有唯一的实数解，满足题意综上， ，故D正确. 故选：ABCD 7．（多选题）对于，满足，且对于，恒有．则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】赋值法求得，由，求的值判断选项A，由，求得，结合恒有，对BCD中的函数值进行判断. 【详解】令代入及，得，所以， ，A选项正确； 令代入，得；令代入由，得， ，， ，， 对于．恒有， ，，B选项正确； ，C选项错误； ，则有，即，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论，常用的方法有： (1)令等特殊值求抽象函数的函数值； (2)令或，且，判断抽象函数的单调性； (3)令，判断抽象函数的奇偶性； (4)换为，确定抽象函数的周期； (5)用，或换为等来解答抽象函数的其它一些问题. 8．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 . 【答案】1 【分析】根据函数表达式计算（注意判断自变量的值是有理数还是无理数）． 【详解】由题意， 故答案为：1. 9．德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，．写出满足的一个x的值 ；关于x的方程的解集为 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】根据取整函数的定义即可求解. 【详解】根据取整函数的定义，当时，，故取； ，即，解得. 故答案为：(答案不唯一)； 10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 ． ①函数的最大值为；                         ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点     ④ 【答案】②③④ 【分析】根据高斯函数定义可得的解析式和图象，由图象判断各个选项即可. 【详解】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示，    对于①，函数，①错误；对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，函数满足，④正确； 故答案为：②③④ 11．19世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集.狄利克雷函数是无法画出函数图像的，但是它的函数图像却客观存在，如果，，在其图象上，那么 ，A，B两点间的距离为 . 【答案】 0 2 【分析】直接代入计算得，再利用勾股定理得到答案. 【详解】根据函数的解析式得，， 所以A，B两点间的距离为. 故答案为0和2 【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力. 12．已知为实数，用表示不超过的最大整数.则函数称为取整函数，也叫高斯（Gaussian）函数，例如[3.5]=3，. (1)若函数，求的值； (2)若存在，使得，则称函数是函数，若函数是函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题设函数定义求对应函数值； （2）根据题设有列方程得，即可求参数范围. 【详解】（1）由于，所以，； （2）当时，，则存在，使得， 对于，得，所以， 即的取值范围是. 13．实数集R上的函数，不妨称为“集合的标记函数”.对于两个集合A和，定义集合.当集合且集合时， (1)求与的值； (2)求集合（用列举法表示）； (3)用表示有限集合所包含元素的个数.已知集合是正整数集的有限子集，求的最小值，并说明理由. 【答案】(1)，； (2) (3)6，详见解析. 【分析】（1）利用题给定义即可求得与的值； （2）利用题给定义按元素x与集合的关系分类讨论即可求得集合； （3）利用题给定义结合元素x与集合的关系分类讨论，即可求得的最小值. 【详解】（1）由题给定义可得，，； （2）由，可得， ， 则时，；时，； 或时，， 则时，x可能为， 则. （3）由题意得，对于集合, ①若，则， ②若，则， 则若最小，必有属于集合C， 是否属于集合C不影响的值， 集合C不能含有之外的元素， 所以当集合C是集合的子集与集合的并集时， 取得最小值6. 【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 14．对于集合M，定义函数对于两个集合，定义集合.已知 (1)写出和的值，并用列举法写出集合； (2)用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值； (3)有多少个集合对，满足，，且？ 【答案】(1),,， (2)4 (3)128 【分析】（1）依据定义直接得到答案； （2）根据题意可知：对于集合，①且，则；②若且，则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值． （3）由⊆，且（△）△（△）=△求出集合所满足的条件，进而确定集合对（，）的个数． 试题解析： 【详解】（1），，. （2）根据题意可知：对于集合， ①且，则； ②若且，则. 所以要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素. 所以当为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，取到最小值4. （3）因为， 所以. 由定义可知：. 所以对任意元素，， . 所以. 所以. 由知：. 所以. 所以. 所以，即. 因为， 所以满足题意的集合对的个数为. 【点睛】本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.理解新定义是解题关键. 15．函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记. (1)设方程的两个不同实数解为与，且，求的值； (2)请确认是否存在函数：，满足对，都有： ①；②同时成立. (3)求证：对，，. 【答案】(1) (2)不存在 (3)证明见解析 【分析】（1）首先判断，再分、分别求出方程的解，即可得解； （2）依题意可得，从而得到，再令推出矛盾，即可得解； （3）令，推导出，再说明当时，即可得证. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，则，所以， 当时，，， 由，即，解得， 当时，，， 由，即，解得， 因为，所以； （2）不成立，理由如下： 在②中，用代换并结合①可得， 所以， 再令②中可得，又左边，右边，不成立， 所以不存在满足条件的函数； （3）令， 则 ， 所以为的一个周期， 当时，所以， 所以， 由周期性可知，对，，， 因此对，，. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解高斯函数的定义，从而推导出，第三问关键是构造函数，推导出. 题组四：基本不等式全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2010高一·全国·竞赛）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（    ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】B 【分析】求出函数值为19时的自变量值，再根据“孪生函数”定义确定定义域即可得解. 【详解】函数，当时，，当时，， 因此 “孪生函数”的定义域为：， ，共9个， 所以孪生函数”共有9个. 故选：B 2．（2011高一·全国·竞赛）已知函数，满足：（ⅰ）对任意，都有；（ⅱ）对任意都有.则（    ） A．54 B．66 C．81 D．89 【答案】B 【分析】由，可得，即可判断函数的单调性，再令，结合函数的单调性可求出，再根据进行计算即可得出答案. 【详解】因为，所以， 即， 不妨设，所以， 所以为上的单调增函数， 由，令， 则可以得到， 又，所以由不等式可以得到， 又，所以可以得到①； 因为，所以，， ，，， ，， 所以可以判断③， 综合①②③有. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据，得到，从而判断出函数为上的单调增函数，是解决本题的关键. 3．（2007高一·全国·竞赛）集合，映射，对任意的，都有是奇数，这样的映射的个数为（　　）. A．122 B．15 C．50 D．27 【答案】C 【分析】根据题意，结合映射的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合， 当为奇数时，是奇数； 当为偶数时，是奇数，则为奇数， 所以，当时，可以取，有5个值； 当时，可以取有2个值； 当时，可以取，有5个值； 共有个映射. 故选：C. 4．（2007高一·全国·竞赛）已知，则的值为（　　）. A．16 B．18 C．32 D．24 【答案】A 【分析】根据抽象函数的关系式进行化简即可. 【详解】因为， 所以原式. 故选：A. 5．（2011高一·全国·竞赛）已知函数的定义域为，且满足下列条件： ①对于任意，总有； ②若，则有．则（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由特殊值法，令，根据条件①可得，条件②得，从而得结果. 【详解】令，由①对于任意，总有， 又由②得，即； ． 故选：C. 6．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的函数关系，结合抽象函数定义域，列出不等式组求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得， 因此函数中，，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 7．（2023高一上·安徽·竞赛多选题）若点在幂函数的图象上，则以下关于函数的说法中正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．是增函数 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合幂函数定义求出，进而求出的解析式，再逐项求解判断即可. 【详解】由为幂函数，得，解得， 由点在的图象上，得，解得，于是， 由，解得，的定义域是，A错误； 函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数是增函数，C正确； 当时，，即，的值域为，B正确； 由，得，即，D正确. 故选：BCD 8．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）定义域是一个函数的三要素之一.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】应用抽象函数定义域定义计算即可. 【详解】已知函数的定义域为, 则函数，得， 则，则函数定义域为. 故答案为：. 9．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）定义为中的最大值，设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意画出函数 的图象，再根据图象即可得到函数 的最小值. 【详解】分别画出 的图象，则函数 的图象为图中实线部分. 由图知：函数 的最低点为 由 ，解得 . 所以 的最小值为 . 故答案为：. 10．（2012高一·全国·竞赛）已知集合到集合的映射f满足，则不同的映射f有 个． 【答案】8 【分析】找出的所有可能即可得不同的映射f的个数. 【详解】由，且集合， 故中要么没有零，要么大于或有两个等于零， 当中有零时，可以是共5个， 当中没有零时，可以是共3个， 故不同的映射f有8个. 故答案为：. 11．（2013高一·全国·竞赛）函数满足：，且，则 ． 【答案】 【分析】结合题意可得、与的关系，即可得，即可得，结合与的关系计算即可得. 【详解】， 则， 所以． 故答案为：. 12．（2013高一·全国·竞赛）设为正整数的各数位上的数字的平方和，例如．记，则 ． 【答案】37 【分析】根据题意得到前面若干个函数值，得到周期，利用周期进行计算即可. 【详解】根据题意，前面若干个函数值依次是： …… 第7次和第15次结果一样，开始循环，周期为, ． 故答案为： 13．（2007高一·全国·竞赛）定义在R上的函数的值域为，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据函数的定义可知，函数的定义域相同对应关系相同则值域相同，进而求解. 【详解】R,令, 则R,, 所以与为同一函数， 因此的值域为, 即函数的值域为 故答案为：. 14．（2014高一·全国·竞赛）已知，若函数，其中是的小数点后的第位数字，且，则 . 【答案】2 【分析】 分别求出 ，并观察得出规律即可. 【详解】，， 从第二项开始以4为周期进行循环，， 故. 故答案为：2. 15．（2007高一·全国·竞赛）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用换元法，设，结合平方差公式化简函数，再根据新元取值范围进行分析即可求出值域；也可以设，结合平方差公式化简函数，再根据新元取值范围进行分析即可求出值域. 【详解】法一：由题且， 令，则，且， ∴且. 故函数的值域是. 法二：由题且， 令，则，，且， ∴且. 故函数的值域是. 故答案为：. 16．（2008高一·全国·竞赛）函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用三角换元结合三角函数的性质及辅助角公式计算即可. 【详解】易知，不妨令， 则. 此时，所以. 故答案为： 17．（2007高一·全国·竞赛）若函数的定义域为，，则的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数的定义域，可得不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为的定义域为， 由题意可得： 解得：，即的定义域为. 故答案为：. 18．（2008高一·全国·竞赛）定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值是 . 【答案】 【分析】先依据题给条件求得当时的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】由函数满足，可得， 则. 当时，，， 又当时，， 则 当时，的最小值是. 故答案为： 19．（2014高一·全国·竞赛）若函数在其定义域内满足，则的函数表达式为 .（含自变量的取值范围） 【答案】 【分析】利用方程思想求解函数解析式. 【详解】，① 则由换元法得1， 即，② 由得， ，其中. 故答案为： 20．（2012高一·全国·竞赛）定义在整数集上的函数满足：，则 ． 【答案】2011 【分析】根据所给函数，计算，，可归纳出函数的解析式得解. 【详解】因为， ， ， ， ， 所以，其中k为整数， 则． 故答案为：2011 21．（2012高一·全国·竞赛）函数满足，则常数 ． 【答案】 【分析】由题意恒成立，即恒成立，由此可得关于的方程组，进一步即可求解. 【详解】恒成立，即恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 22．（2007高一·全国·竞赛）如果函数满足，且，那么 . 【答案】7 【分析】由已知抽象函数的关系式层层代入即可. 【详解】. 故答案为：. 23．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】换元后，转化为二次函数问题，求出值域. 【详解】令，则，， ， 当时，取的最小值，最小值为， 则的值域为. 故答案为： 24．（2022高二上·河南驻马店·竞赛）已知三次函数，且，，，则 【答案】2035 【分析】构造函数，根据得到，然后代入求即可. 【详解】设，则，所以，所以，所以. 故答案为：2035. 25．（2018高三·全国·竞赛）已知函数，若存在实数a，，使在上的值域为，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题设，将问题转化为与在上有两个交点，进而构造，研究其在上有两个零点的情况下的取值范围即可. 【详解】由题设，为增函数且定义域为，要使在上的值域为， ∴，易知：， ∴与在上有两个交点，即在上有两个根且恒成立即， ∴对于，有， 可得， 故答案为： 26．（2020高三·江苏·竞赛）已知集合，则满足的函数：共有 个． 【答案】41 【详解】若, 则,，这样函数的定义矛盾； 故值域中元素的个数为6， 若函数满足，则，矛盾， 函数只有下面两种情况： （1）当时，1种； （2）当，则3个一组，有． 因此题述所求为个． 故答案为：41. 27．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）若函数的定义域为R，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】函数定义域为，只需满足恒成立即可，转化为分段函数求最值即可求解. 【详解】因为函数的定义域为R， 所以恒成立， 令， 当时，， 故当时，即可，解得， 当时，， 当时，，解得， 当时，不恒成立. 综上，或. 故答案为： 28．（2017高一·江苏盐城·竞赛）已知，，映射满足．则这样的映射有 个． 【答案】35 【分析】根据映射的概念以及组合数公式，进行分类讨论求解. 【详解】因为映射满足，所以 集合中的所有元素对应集合中的同一个数：有5种； 集合中的所有元素对应集合中的不同两个数：有种； 集合中的所有元素对应集合中的不同三个数：有种，所以共35种. 故答案为：35. 29．（2017高一·江苏盐城·竞赛）设函数，（其中表示不超过的最大整数），则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件分别求出和的取值，即可得答案. 【详解】因为，所以，则， 当时，，此时， 所以， 当时，，此时，， 所以， 所以的值域为， 故答案为： 30．（2007高一·全国·竞赛）如图，三个机器人和检测台位于同一直线上，三个机器人需把各自生产的零件送到处进行检测，送检程序规定：当把零件送到处时，立刻自动出发送检，当把零件送到处时，立刻自动出发送检，设的送检速度为，且送检速度是的2倍，的3倍. (1)求三台机器人把各自生产的零件送到检测台处的时间总和； (2)现要求送检时间总和必须最短，请你找出检测台在该直线上的位置（与均不重合）. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据路程，速度和时间的关系求时间总和即可； （2）设出检测台的位置，得出分段函数，再根据分段函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意，机器人与检测台的距离分别为. 故机器人、按程序把各自生产的零件送达处的时间总和为. （2）设为检测台的坐标，则机器人、与检测台的距离分别为， 故机器人送交检测台的时间总和为：， 令，所以， 当； 当； 当； 当. 则时，的最小值为12，即送检时间总和最短为. 此时，将检测台设置在直线上机器人与之间的任何位置（不含的位置）都能使机器人、的送检时间总和最短. 所以，检测台在该直线上的位置为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$