广东省梅州市平远县实验中学2024-2025学年高二上学期段考数学试卷

2024—2025学年度第一学期段考 高二年级数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：共8小题，每小题5分.在每小题只有一项是符合题目要求. 1.直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．过原点且与直线垂直的直线方程为（     ） A． B． C． D． 3．若直线与圆相离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆相内切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）     A． B． C．1 D．－1 6．如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 8．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.. 9．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 10．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（    ） A．与平面的夹角的正弦值为 B．点到的距离为 C．线段的长度的最大值为 D．与的数量积的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于________________. 13．若空间中三点、、共线，则 . 14．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为__________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 16．（15分）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 17．(15分) 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面．    18．(17分) 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，M为棱PC的中点． (1)求平面PDM与平面BDM的夹角余弦值； (2)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由． 19.(17分)已知以点为圆心的圆过点和，线段的垂直平分线交圆于 点、，且, （1）求直线的方程；     （2）求圆的方程． （3）设点在圆上，试探究使的面积为 8 的点共有几个？证明你的结论 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期段考 高二年级数学试卷答案 1【答案】D 2【答案】C 3【答案】A 4【答案】B 5【答案】C 6【答案】B 7【答案】A 8【答案】D【解析】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点，则， 又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.故选：D. 9【答案】BD 10【答案】BC 11【答案】ABD【解析】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则， 设，可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 选项A：可知平面的法向量，则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 选项B：因为，所以点到的距离为，B正确； 选项C：因为，则，且，得当且仅当时，取到最大值，所以线段的长度的最大值为3，故C错； 选项D：因为，，则，且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值；所以与的数量积的范围是，故D正确. 12【答案】【详解】由于直线的一个方向向量为，则直线的斜率为， 13【答案】3【详解】∵、、三点共线， ∴，即，， ∴∴，解得，∴. 14【答案】 或写成 【详解】因为圆C上存在点P，使得， 所以，以为直径的圆与圆有交点， 又以为直径的圆，圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为2， 所以，即，即. 15【解析】（1）空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得，所以，解得，.................4分 则．............................................................7分 （2）因为，则，解得，所以，..........10分 故．.......................13分 16【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即．······6分 （2）的中点坐标为，由（1）可知线段垂线的斜率为， 所以线段垂直平分线的方程为，即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上，故设点为， 由可得：，解得或， 所以点坐标为或，则直线的方程为或．·····15分 17．【详解】（1）解法一：证明：取中点，连结，， 由三角形中位线性质可得且， 又因为且，所以且， 所以是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 解法二：证明：因为平面平面， 平面平面，， 所以平面，又平面， 所以． 如图，以为原点，以，， 的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则． 因为，易知为平面的一个法向量． 因此，所以．又平面，所以平面． （2）解法一：证明：因为，，， 所以，所以． 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面，所以． 又，平面，所以平面． 解法二：由（1）可得，，． 设平面的一个法向量， 则，取，得， 所以是平面的一个法向量．因此，所以平面． 18【解析】（1）∵，∴，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC， ∴平面ABCD，............3分 又AD，平面ABCD，∴，而，， ∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则，.......4分 ∵M为棱PC的中点，∴.， 设平面BDM的一个法向量为， 则，令，则，∴，....6分 平面PDM的一个法向量为，....................................8分 ∴，..........9分 则平面PDM与平面BDM的夹角余弦值为.............10分 （2）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设，则，................................12分 ，∴点Q到平面BDM的距离是，.......15分 ∴，∴．............................................................17分 19【详解】由题意作图如下： （1）∵，的中点坐标为 ∴直线的方程为：即； （2）设圆心，则由在上得……① 又直径为，∴∴……② ①代入②消去得，解得或， 当时，当时∴圆心或， ∴圆的方程为： 或； （3）∵∴当面积为 8 时，点到直线的距离为 又圆心到直线的距离为，圆的半径， 且∴圆上共有两个点，使的面积为 8. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$