专题06 一次函数50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题06 一次函数45道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 函数相关压轴题 题型二 一次函数的图象与性质压轴 题型三 一次函数与方程、不等式压轴 题型四 方案分配压轴 题型五 最大利润压轴 题型六 一次函数中的旋转问题（45度） 题型七 一次函数中的翻折问题 题型八 一次函数中的新定义问题 题型九 一次函数中的最值问题 【经典例题一 函数相关压轴题】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）赛龙舟是我国端午节的习俗．去年端午节期间，大洋湾举行了1000米龙舟比赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时路程与时间之间的关系如图．根据下图回答问题： (1)当2分钟时，______龙舟队处于领先位置． (2)在这次龙舟比赛中，______龙舟队先到达终点，用时______分钟． (3)乙龙舟队平均每分钟划行______米． (4)4分钟时，甲龙舟队所划路程比乙龙舟队所划路程领先______米． 【答案】(1)乙 (2)甲，4 (3)200 (4)200 【分析】本题考查根据图象计算，熟练掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据“平均速度路程时间”计算即可； （4）分钟时，甲龙舟队所划路程是1000米，根据“路程速度时间”求出乙龙舟队的路程，计算两者之差即可． 【详解】（1）由图象可知，当2分钟时，乙龙舟队处于领先位置． 故答案为：乙． （2）由图象可知，在这次龙舟比赛中，甲龙舟队先到达终点，用时4分钟． 故答案为：甲，4； （3）米分钟， ∴乙龙舟队平均每分钟划行200米． 故答案为：； （4）分钟时，甲龙舟队所划路程是1000米，乙龙舟队所划路程是米， 米， ∴分钟时，甲龙舟队所划路程比乙龙舟队所划路程领先200米． 故答案为：200． 2．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程S和时间t的关系．根据图象回答下列问题： (1)直接写出：甲出发1小时行驶了 千米；乙的速度为 千米/时； (2)甲从下午2时到5时的平均速度是 千米/小时；乙的平均速度是 千米/小时； (3)请你根据图象上的数据，求乙出发后用多长时间就追上甲？ 【答案】(1)20，50； (2)10， (3) 【分析】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是根据函数图象得到基本信息，然后进行求解即可． （1）根据函数图象可直接进行求解，然后根据总路程÷总的时间=平均速度可求解乙的平均速度； （2）根据图象利用总路程÷总的时间=平均速度进行解答即可； （3）设乙出发用x小时追上甲，由题意易得，然后求解即可． 【详解】（1）由图象可得：甲出发1小时行驶了20千米； 乙的速度为（千米/时）； 故答案为20，50； （2）甲从下午2时到5时的平均速度是：（千米/时）； 乙的平均速度为（千米/时）； 故答案为：10，50 （3）解：设乙出发用x小时追上甲，根据题意得 解得； 答：乙出发用小时追上甲． 3．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）已知小明家、书店、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：小明骑车上学，骑了一段时间后，想起要买参考书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是_____m；本次上学途中，小明一共骑行了______m； (2)小明在新华书店停留了_______min； (3)小明第一次经过新华书店的时间是第______min； (4)据统计骑车的速度超过了就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内，骑车速度是否在安全限度内？（通过计算说明） 【答案】(1)1500；2700 (2)4 (3)3 (4)不在安全限度内 【分析】本题考查从函数图象获取信息和处理信息，掌握图象的横纵坐标的意义，折线与折点表示的含义，速度公式是解题关键． （1）利用图象得出从出发点到最远的的距离即可；从图象得出前6min的位置变化的路程1200m，然后折回2min的位置变化路程600m，从书店到学校位置变化的路程900m，求三段位置变化的路程之和即可； （2）利用图象中位置不变，时间推移得出起点时间8min，终点时间12min，求其差即可； （3）计算得出前6min的速度，再计算600m所需要的时间即可； （4）利用速度公式用从书店到学校位置变化的路程900m÷时间2min，然后比较即可． 【详解】（1）解：根据图象知小明家到学校的距离是1500m， 前6min骑车1200m，然后折回2分钟骑车m到新华书店，从新华书店出来到学校2 min骑车m， 本次上学途中，小明一共骑行了m， 故答案为：1500；2700； （2）解：根据位置不变，时间推移知：min， 故答案为：4； （3）解：前6min骑车1200m，速度为， 小明家到图书馆的距离是600m， ∴ ∴小明第一次经过新华书店的时间是第3min； 故答案为：3； （4）解：小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度为， ∵， ∴小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度不在安全限度内． 4．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，在平面直角坐标系中，点，，其中a、b是方程组的解，点M为线段的中点，点C为x轴负半轴上一点，，连接，．    (1)求点A、B、C的坐标； (2)点P从点O出发，沿的方向以每秒2个单位的速度向终点A运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t，请用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围： (3)在（2）的条件下，在点P运动过程中，当的面积等于的面积时，求t的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】此题考查了图形和坐标、求函数解析式、解二元一次方程组等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）解方程组求出点A和点B的坐标，进而求出，即可得到点C的坐标； （2）分两种情况分别进行解答即可； （3）画出图形，分两种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ，， 为的中点， ， ， （2）①当时，，，， ，      ②当时，， 作， ， ， ， ，    （3）①当时，， ， ，    ②当时，作于， 由面积， ， ， ， ，    【经典例题二 一次函数的图象与性质压轴】 6．（23-24八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E．    (1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） (2)点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，或 【分析】（1）先求出点D坐标，再利用待定系数法求解； （2）①当时，，当时，，结合点D和点E的坐标，即可求解；②分“点D落在x正半轴上”和“点D落在y轴的负半轴上”两种情况，根据轴对称的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：点D的横坐标为4，点D在一次函数的图象上， 将代入，得， ， 将，代入， 得：， 解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：①将代入，得， ， 将的面积分为两部分时，有两种情况： 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ； 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ， 综上可知，点Q的坐标为或； ②存在，点Q的坐标为或．求解过程如下： 一次函数与y轴的交点坐标为，即， 当点D落在x正半轴上(记为点)时，如图，作轴于点H，连接，   ，， ，， ， 由轴对称的性质得，， 在和中，， ， ， ， ， 轴， 点Q的纵坐标为3， 将代入，得，解得， 点Q的坐标为； 当点D落在y轴的负半轴上（记作)时，如图，过点Q作于M，于N，    由轴对称的性质得，， 平分， ， ，，， ，，， ， ， 解得， ∴点Q的横坐标为． 将代入，得， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、角平分线的性质定理、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，已知直线与x轴和y轴分别交于点B和A，以点B为直角顶点在第二象限作等腰直角． (1)求直线的关系式； (2)如图2，延长到点D，交y轴于点E，连接，若，求的长； (3)如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于M，点是线段上一点，在线段上是否存在一点N，使直线把的面积分为的两部分，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标为或 【分析】（1）过点C作轴于F，证明，根据全等三角形的对应边相等求出相关线段长度，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求直线的关系式； （2）过点C作轴于H，过点D作轴于G，先证，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，进而求出点E的坐标，再利用勾股定理解即可求出的长； （3）先结合前两问结论求出点M和点P的坐标，再分和两种情况分别求解． 【详解】（1）解：在中，令，得， 令，得， 解得：， ∴，， 如图1，过点C作轴于F， 则， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的关系式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的关系式为； （2）解：如图2，过点C作轴于H，过点D作轴于G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ， ， ， 在中，； （3）解：存在点N，使得使直线把的面积分为的两部分．理由如下： 在中，令，得， ∴， 由（2）知：直线的解析式为， 当时，， ， ∵，， ， ∵直线把的面积分为的两部分， 或， 设，则， 当时，如图3（i）， 则， 解得：， ； 当时，如图3（ii）， 则， 解得：， ∴； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查求一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，第三问注意分情况讨论，避免漏解． 8．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值． 【详解】（1）点在直线上， ， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）①点在直线上，且的横坐标为， 的纵坐标为：， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 点，线段的长度为， ， ， ， 即； ②的面积为， ， 即， 解得， 由①知，， ， 解得， 即的值为或． 【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 9．（23-24八年级下·全国·期末）课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形的直角顶点C：过点A作于点D，过点B作于点E研究图形，不难发现：．（无需证明）： (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点C的坐标为，A点的坐标为，求B点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线：分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针或逆时针旋转得到，请任选一种情况求的函数表达式； (3)如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)顺时针：；逆时针： (3)能， 【分析】（1）如图1，过点轴于E．证明推出，可得； （2）①若将直线绕点A顺时针旋转得到，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，由（1）的模型可得，求出，再由待定系数法求函数的解析式；②若将直线绕点A逆时针旋转得到，仿照①中方法求解即可； （3）分两种情况讨论：当Q点下方时，过Q点作轴交y轴于点E，交于点F，由（1）的模型可得，，可得，，再由，求出（舍）；当Q点在上方时，同理可得，，再由，可求． 【详解】（1）解：如图2，过点轴于E， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵等腰，，， 又∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①若将直线绕点A顺时针旋转得到， 如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， 由（1）的模型可得， ∵与x轴的交点， ， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； ②若将直线绕点逆时针旋转得到， 如图，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， 由（1）的模型可得， ∵与x轴的交点， ， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； （3）解：点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下： 当Q点下方时，过Q点作轴交y轴于点E，交于点F， 由（1）的模型可得，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵Q点在第一象限， ∴（舍）； 当Q点在上方时，如图5， 同理可得，， ∵， ∴， 解得． 综上所述：a的值为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题． 10．（23-24八年级上·浙江金华·期末）本学期，我们已经学习过平面直角坐标系的概念，其中轴与轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图像仍然保持原状． 【初步探究】 （1）已知在原平面直角坐标系中有一点，将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转得到“动感坐标系”．则点的动感坐标为______． （2）在原平面直角坐标系中，设有一点，将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴．在轴上有一点，在轴上有一点与在同一条水平线上．当点到点之间的距离最小时，求点的动感坐标． 【类比猜想】 根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质． 【深入探索】 在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，与轴分别交于，且两条直线关于轴成轴对称．设三角平分线与对边的交点为．将轴绕点逆时针旋转，得到轴，轴绕原点逆时针旋转后刚好经过点．求点的动感坐标以及的值（点不与原点重合）． 【答案】[初步探究]（1）；（2）点的动感坐标为；[类比猜想]见解析；[深入探索] 时，的动感坐标为；时，的动感坐标为 【分析】[初步探究]（1）根据题意画出图形，利用含有角的直角三角形的边长关系和勾股定理，即可解答； （2）根据题意当轴时，点到点之间的距离最小，据此作出图形，再求得点的动感坐标即可； [类比猜想]根据题意，得出相关结论，言之有理即可； [深入探索]根据题意画出图形，分类讨论，根据点不与原点重合，可以分2种情况讨论，根据等边三角形的性质，结合新定义，即可求解． 【详解】[初步探究]（1）解：如图，根据题意，过点作作铅垂线、水平线，交轴于点，交旋转后的轴于点， ， 可得， 根据勾股定理可得， ， 轴绕原点顺时针旋转， 点在旋转后的轴上， ， ， 将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转， 仍为， 设，则， 根据勾股定理可得， 可得方程， 解得，舍去负值， ，， 点的动感坐标为， 故答案为：； （2）解：将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴， 轴与轴的夹角为，轴与轴的夹角为， 轴与轴的夹角为， 当轴时，点到点之间的距离最小 如图，轴，过点作水平线，铅垂线，交轴于点，交轴于点， 可得，， 点与在同一条水平线， ， ， ， ， ， ，,， ， 又， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点的动感坐标为； [类比猜想] 根据原坐标系中的点的坐标，通过勾股定理或点到直线的距离，可以求得 “动感坐标．” [深入探索] 解：如图所示，当在上时， ∵直线与直线两条直线关于轴成轴对称， ∴， ∴， 令，则， ∴, ∴， ∴ ∴是等边三角形，则， 设三角平分线与对边的交点为． 则 又 ∴是等边三角形，则 ∴ 过点作轴的平行线交轴于点， ∵将轴绕点逆时针旋转，得到轴 ∴， 又 ∴， 又∵， ∵，则 在中，， ∴的动感坐标为 当点在上时，如图所示， 则， ∴， ∴， 同理可得 ∴的动感坐标为 综上所述，时，的动感坐标为；时，的动感坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握新定义是解题的关键． 【经典例题三 一次函数与方程、不等式压轴】 11．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①；②或 (3)存在最小值，最小值为 【分析】（1）联立，即可得到点的坐标； （2）①由点的坐标为，得点的坐标为，点的坐标为，即可求出的长度； ②分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值； （3）存在最小值．在上取点，使得，连接，证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值． 【详解】（1）解：由直线与直线交于点， 联立， 解得， 点的坐标为； （2）①轴， 点、、的横坐标相等， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ； ②若点是线段的中点， ，，， ，， 点是的中点， ， 即， 解得，； 若点时线段的中点， ，，， ，， 点时线段的中点， ， 即， 解得； 综上所述，或； （3）存在最小值， 在上取点，使得，连接， 由直线与直线， 得，，， ，， ， ， ， 点的坐标为， ， 轴， 是线段的垂直平分线， ，轴， ，轴， ， 轴， ， ， ，， ， ， ， 得当最小，即点、、三点共线时，取最小值， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质与判定，勾股定理，最值问题等，本题的关键是构造全等三角形，把的最小值问题转化为的最小值问题． 12．（23-24七年级下·山东烟台·期末）【活动回顾】： 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．      示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________； 【拓展延伸】： （3）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． （4）在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，判断方程组的解的情况，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2）（3，2），（3）4（4）无解，见解析 【分析】（1）首先写出每个二元一次方程的两组解，x为横坐标，y为纵坐标，两点确定一条直线，画出图像即可； （2）由图可知交点坐标，而交点横坐标即为方程组解中x的值，交点纵坐标即为方程组解中y的值； （3）将两点的坐标代入方程，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求出a，b的值； （4）①将方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数，而这两个一次函数的k相等，所以两直线平行；②两直线没有交点，故方程组无解． 【详解】（1）对于的图像，任取两组解：， 即可根据画出的图像； 对于的图像，任取两组解：， 即可根据画出的图像，图象如图所示：      （2）根据图象可知，两直线的交点坐标为 ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （3）将点和点代入二元一次方程， 得， 解方程组，得， ∴； （4）∵与的k值相等， ∴两直线平行，没有交点， ∴方程组的无解． 方程组无解． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标，解题关键是掌握两个一次函数求交点与二元一次方程组的关系． 13．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，且． ①求点E的坐标； ②若点M是射线上的动点，连接，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线上时，求出对应的点M的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点M的坐标为或 【分析】（1）根据两条直线的关系式求出交点坐标即可； （2）①设点E的坐标为，则点F的坐标为：，根据列出关于m的方程，解方程，即可得出答案； ②分，，三种情况分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为； （2）解：①设点E的坐标为，则点F的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为； ②当时， 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴点P与点O重合，点B与点M重合， ∴点M坐标为； 当时，过点M作于点G，过点P作于点H，如图所示： 设点M的坐标为，则， ∵点D的横坐标为4， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，   ∴， ， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， 即， 把代入得： ， 解得：， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，过点M作直线轴，交直线于点K，过点P作直线轴，交直线l于点Q，如图所示： 则四边形是矩形， 同理可证， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点P的纵坐标为，横坐标为， 即， 把点代入得： ， 解得：， 符合题意， ∴， ∴点M的坐标为：； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论． 14．（23-24八年级下·浙江台州·期中）一般地，对于一次函数，（其中a，b，c，d为常数，且，，定义一个新函数，称y是与的“平均中项”，y是关于x的“平均中项函数”．如：一次函数，，若y是与的“平均中项”，则y是关于x的“平均中项函数”，即． (1)根据函数研究的途径与方法，填写下表，并在图①中画出的大致图象； x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 2.5 1 0.5    (2)观察图象，当 时，y有最小值；当时，x的取值范围是 ； (3)对于三个数a，b，c，用表示这三个数中的最大数， 例如：，对于，，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）先根据求出y的值，然后进行描点，连线，画出图象即可； （2）根据图象求出y最小值；根据图象得出当时，求出x的取值范围即可； （3）根据函数图象分三种情况：当时，当时，当时，分别求出的最小值，即可求出结果。 【详解】（1）解：填表如下： x 0 1 2 y 2 1.5 1 0 1 函数图象，如图所示：    （2）解：根据函数图象可知：当时，y有最小值； ， ∵时，， ∴此时函数解析式为：， ∵时，， ∴此时函数解析式为：， 联立， 解得：， ∴与y的交点坐标为； 联立， 解得：， 与y的交点坐标为； 联立， 解得：， 与的交点坐标为； 根据函数图象可知：当时，． （3）解：根据函数图象可知：当时，的函数值最大， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； 当时，的函数值最大， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； 当时，的函数值最大， ∴， 当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，新定义运算，画函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解题意． 15．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求该函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标； (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为； (2)点坐标为； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握不等式的解法是解答本题的关键． （1）将点坐标代入解析式解出值即可得到解析式； （2）将点坐标代入一次函数解析式求出值，即可得到点的坐标； （3）当时，求出一次函数值，利用不等式得到值的范围即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ， 解得， 一次函数解析式为：； （2）解：点在一次函数图象上， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：当时，一次函数的值都大于一次函数， 两个一次函数的交点坐标为：， 即， ． 【经典例题四 方案分配压轴】 16．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元． ：面食套餐 25元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 【答案】任务1：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；任务2：；任务3：当订购套餐15份，订购套餐为16份时，该班订餐总费用最低，订餐总费用最低为740元 【分析】任务1：根据题意可设设这20人中选择套餐的有人，，则选则套餐的有人，，根据“费用合计为565元”列出方程，解方程即可得到答案； 任务2：由当全班选择套餐人数不少于20人时，即，得到，从而得到选择套餐人数为，根据套餐、套餐的优惠方式即可算出总共花费了多少钱； 任务3：分三种情况：①当时，②当时，③选择优惠方案三，分别计算出所花费的费用，进行比较即可得到答案． 【详解】解：任务1：20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足， 设这20人中选择套餐的有人，， 则选则套餐的有人，， ， ， ， 答：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人； 任务2：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， 当全班选择套餐人数不少于20人时， 即， ， 选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件， 订餐总费用为； 任务3：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ①当时，由（2）可知，订餐总费用为， ， 随着的增大而增大， 当时，订餐总费用最小为（元）； ②当时，，， ∴订餐总费用为， ， 随着的增大而增大， 当时，订餐总费用最小为（元）； ③若选择优惠方案三，订餐总费用为， 总费用满850元立减110元， 当时，订餐总费用最小为（元）； 综上所述，当订购套餐15份，订购套餐为16份时，订餐总费用最低为740元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出一元一次方程、一次函数，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 17．（2023·浙江温州·二模）某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，表示每月上网流量（单位：），表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的关于的关系如图所示： 套餐 套餐 套餐 每月基本流量服务费（元） 包月流量（） 超出后每收费（元）    (1)当时，求套餐费用的函数表达式． (2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择套餐较为划算． (3)小红爸妈各选一种套餐，计划人每月流量总费用控制在元以内（包括元），请为他们设计一种方案使总流量达到最并完成下表， 小红爸爸： 套餐 （填、、） 小红妈妈： 套餐 （填、、） 总流量 消耗流量 【答案】(1) (2) (3)，；，； 【分析】（1）根据三种套餐对应的关于的关系图，列出套餐的函数关系式即可； （2）根据三种套餐对应的关于的关系图，列出套餐的函数关系式，根据图可知，基本费用超过元时，套餐的费用划算，代入套餐的函数关系式，即可求出相应的流量； （3）假设基本费用刚好是元，要是流量最多，要有一人选择套餐，并且超出基本费用的钱要购买套餐中的流量最合适，再分情况讨论第二种套餐种类，通过对比选择合适的套餐即可． 【详解】（1）解：由三种套餐对应的关于的关系图可知， ， 当时，套餐费用的函数表达式； （2）由三种套餐对应的关于的关系图可知， ， ， 由图可知，当月基本费用超过元时，选择套餐合适， ，解得：，     当时，选择套餐较为划算； （3）假设基本费用刚好是元，要是流量最多，要有一人选择套餐，并且超出基本费用的钱要购买套餐中的流量最合适， 假设，小红爸爸选择套餐，妈妈选择套餐流量为，两人的基本费用为元，超出的元在套餐中购买流量可以买的更多，即， 则费用为元，小红爸爸选择套餐，花费元，小红妈妈选择套餐流量为，花费元，总流量为； 假设，小红爸爸选择套餐，妈妈选择套餐流量为，基本费用为元，超出的元在套餐中购买流量可以买的更多，即， 则费用为元，小红爸爸选择套餐，花费元，小红妈妈选择套餐流量为，花费元，总流量为； 小红爸爸选择套餐，消耗流量，小红妈妈选择套餐消耗流量，总流量为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是结合关系图，明确题意，分情况讨论，利用数形结合的思想． 18．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案． 购买方案 门票类型 A B C 购买数量                            【答案】任务1：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元；任务2：1210元；任务3：方案①：购买场馆门票10张，场馆门票12张，场馆门票8张；方案②：购买场馆门票10张，场馆门票11张，场馆门票9张 【分析】任务1：设场馆的门票价格为元，场馆的门票价格为元，根据两种购买方案所需金额建立方程组，解方程组即可得； 任务2：设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，从而可得关于的函数关系式，再根据到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数求出的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得； 任务3：设购买场馆门票张，场馆门票张，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，根据预算可得，由此可得，再求出的取值范围，根据为正整数分析求解即可得． 【详解】解：任务1：设场馆的门票价格为元，场馆的门票价格为元， 由题意得：， 解得， 答：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元； 任务2：设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人， 由题意得：， 要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数， ， 解得， 又为正整数， 由一次函数的性质可知，当时，取最小值，最小值为， 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元； 任务3：设购买场馆门票张，场馆门票张，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人， 购买门票总预算为1100元， ，即， 均为正整数，要让去场馆的人数尽量的多， ， ，即， 又要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数， ，即， 解得， ， ①当时，，符合题意， ②当时，，符合题意； 所以有两种购买方案，方案①：购买场馆门票10张，场馆门票12张，场馆门票8张；方案②：购买场馆门票10张，场馆门票11张，场馆门票9张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和函数关系式是解题关键． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）从某地运送180箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 700 800 小货车 400 600 (1)这18辆车中大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【答案】(1)大货车9辆，小货车9辆 (2) (3)7辆大货车、3辆小货车前往村；2辆大货车、6辆小货车前往村可使总费用最少．最少费用为11300元 【分析】（1）设大货车用辆，小货车用辆，根据大、小两种货车共18辆，运输180箱鱼苗，列方程组求解； （2）设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为辆，根据表格所给运费，求出与的函数关系式； （3）结合已知条件，求的取值范围，由（2）的函数关系式求使总费用最少的货车调配方案． 【详解】（1）解：设大货车辆，小货车辆， 根据题意得：， 解得：， 大货车用9辆，小货车用9辆； （2）解：设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为辆， 根据题意得：， 与的函数解析式为，，且为整数； （3）解：由题意得：， 解得：， 又， 且x为整数， ， ，随的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：使总费用最少的调配方案是：7辆大货车、3辆小货车前往村；2辆大货车、6辆小货车前往村．最少费用为11300元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往村的大货车数的关系． 20．（23-24八年级上·浙江金华·期末）为了争创全国文明卫生城市，优化城市环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表： A B 价格（万元/台） a b 节省的油量（万升/年） 2.4 2 经调查，购买一台A型车比买一台B型车多20万元，购买2台A型车比买3台B型车少60万元． (1)请求出a和b； (2)若购买这批混合动力公交车（两种车型都要有）每年能节省的汽油最大为22.4升，请问有哪几种购车方案？ (3)求（2）中最省线的购买方案所需的购车款． 【答案】(1)a，b的值分别是120，100 (2)有六种购车方案， 方案一：购买A型公交车1辆，购买B型公交车9辆； 方案二：购买A型公交车2辆，购买B型公交车8辆； 方案三：购买A型公交车3辆，购买B型公交车7辆； 方案四：购买A型公交车4辆，购买B型公交车6辆； 方案五：购买A型公交车5辆，购买B型公交车5辆； 方案六：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆； (3)最省钱的购买方案所需的购车款是1020万元 【分析】（1）根据数量与总价的关系列二元一次方程组解题即可． （2）根据两种车型都要有及能节省的汽油最大为22.4升，列不等式解题即可． （3）先求出费用与A型公交车数量之间的关系式，再根据关系式得出结论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， ∴a，b的值分别是120，100 （2）解：设购买A型公交车x辆，则购买B型公交车(10-x)辆， 由题意，得：2.4x+2(10-x)≤22.4， 解得x≤6， ∵两种车型都要有， ∴0＜x＜10， ∴0＜x≤6， ∵x为整数， ∴x=1，2，3，4，5，6 ∴有六种购车方案， 方案一：购买A型公交车1辆，购买B型公交车9辆； 方案二：购买A型公交车2辆，购买B型公交车8辆； 方案三：购买A型公交车3辆，购买B型公交车7辆； 方案四：购买A型公交车4辆，购买B型公交车6辆； 方案五：购买A型公交车5辆，购买B型公交车5辆； 方案六：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆； （3）设购车款为w万元， w=120x+100(10-x)=20x+1000， ∴当x=1时，w取得最小值，此时w=1020， ∴（2）中最省钱的购买方案所需的购车款是1020万元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，一次函数的图象和性质的题目，能够根据题意写出等量关系以及不等式是解题关键． 【经典例题五 最大利润压轴】 21．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某校为达成省体育器材类装备，计划在京东惠购一次性购进篮球和足球共50个，某电商内部信息表给出其进价与售价间的关系如下表： 篮球 足球 进价（元/个） 105 90 售价（元/个） 135 125 (1)学校用4920元以进价购进这批篮球和足球，求购进篮球和足球各多少个； (2)设该电商所获利润为（单位：元），购进篮球的个数为（单位：个），请写出与之间的函数表达式（不要求写出的取值范围）； (3)因资金紧张，学校的进货成本只能在4745元的限额内，请为学校设计一种进货方案使得尽可能多地购买篮球和足球，同时要使电商利润最小；并求出利润的最小值． 【答案】(1)购进篮球和足球分别为个和个 (2) (3)购进篮球个，足球个，电商利润的最小值为1670元 【分析】（1）设购进篮球和足球分别为个和个，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据总利润等于篮球的利润加上足球的利润，列出函数关系式即可； （3）根据学校的进货成本只能在4745元的限额内，列出不等式，求出的取值范围，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设购进篮球和足球分别为个和个，由题意，得： ，解得：； 答：购进篮球和足球分别为个和个； （2）购进篮球的个数为个，则购进足球的个数为个，由题意，得： ； ∴与之间的函数关系式为：； （3）由题意，得：， 解得：， ∵利润为：，， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，为1670元， ∴应该购进篮球个，足球个，电商利润的最小值为1670元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的实际应用，读懂题意，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一次函数的解析式，是解题的关键． 22．（2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)2880元 (2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数； （2）①根据条件，可列，整理即可； ②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可． 【详解】（1）解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为： ， 解得， 全部售完获利（元）． （2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即， ， ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ，一次函数随的增大而减小， 当时，取最大值，（元）， ， 服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键． 23．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）应用题 暑假即将到来，外出旅游的人数逐渐增多，对旅行包的需求也不断扩大，某店准备购进甲、乙两种新型旅行包若购进个甲种旅行包和个乙种旅行包共需元，若购进个甲种旅行包和个乙种旅行包共需元． (1)甲、乙两种旅行包的进价分别是多少元？ (2)若该店恰好用了元同时购进甲、乙两种旅行包，设购进甲种旅行包个． 乙种旅行包购进了___________ 个用含的代数式表示 若将甲种旅行包的售价定为元,乙种旅行包的售价定为元,则当该店购进乙种旅行包___________ 个时,能获得最大利润,最大利润是___________ 元直接写结果 【答案】(1)元，元 (2)①，② 【分析】设甲种旅行包每件进价是元，乙种旅行包每件进价是元，根据“购进个甲种旅行包和个乙种旅行包共需元，若购进个甲种旅行包和个乙种旅行包共需元”列出方程组解答即可； 设购进甲种旅行包个，则乙种旅行包件，根据利润售价进价解答即可． 【详解】（1）设甲种旅行包每件进价是元，乙种旅行包每件进价是元，可得：， 解得：， 答：甲、乙两种旅行包的进价分别是元，元； （2）设购进甲种旅行包个，则乙种旅行包个； 设购进甲种旅行包个，则乙种旅行包个， 可得：， 时，时，能获得最大利润，最大利润是元， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系． 24．（2023·浙江衢州·二模）（1）【阅读理解】 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？ 分析  可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系． 由图可得如下的数量关系： ①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨； ②________________吨． （2）【问题解决】 请你通过列方程（组）解答（1）中的问题． （3）【拓展提升】 据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表： 型号 型 型 报价（万元／台） 20 14 若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量 （2）1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨 （3）当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元 【分析】（1）根据第二个线段图可以得到解答； （2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，由题意得到关于、的二元一次方程组并解方程组即可； （3）设采购型机器人台，由题意可以用表示型机器人的台数，并求得的取值范围．然后用表示出采购费用，根据一次函数的增减性即可得解． 【详解】解：（1）根据第二个线段图可得： 1台型8小时的垃圾处理量台型13小时的垃圾处理量吨； 故答案为：1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量； （2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨， 则：，解之可得：， 经检验，是原方程组的解，且符合题意， 答：1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨； （3）设采购型机器人t台，则采购型机器人（台）， 则：， 解之可得：（为整数）， 由题意可知，采购费用为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，采购费用最低，为（万元）， 此时台，即采购型机器人66台，型机器人1台， 答：当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的增减性是解题关键． 25．（2023八年级下·全国·专题练习）“双减”政策颁布后，各校重视了延迟服务，并在延迟服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，它们的进价和售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍（元/套） a 50 羽毛球拍（元/套） b 60 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． (1)求出a，b的值； (2)该面店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）． ①求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商店实际采购时，恰逢“双十一”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了m元（），羽毛球拍的进价不变，已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？ 【答案】(1)a的值为35元，b的值为40元 (2)①y与x的函数关系式为，x的取值范围为；②乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大 【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围； ②根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）根据题意：， 解得， 答：a的值为35，b的值为40； （2）①由题意得： ， ∵购进乒乓球拍的套数不超过150套， ∴， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， ∴， 解得：， 则x的取值范围为：， ∴y与x的函数关系式为，x的取值范围为：； ②由题意得：， ∵， ∴当即时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大； 当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值， 当时，无论购多少套，只要满足，利润都是， 而， ∴乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大． 【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组． 【经典例题六 一次函数中的旋转问题（45度）】 26．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 【模型建立】 （1）如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，则根据______可证明； 【模型应用】 （2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）在直线上是否存在一点C，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）直线的函数表达式为；（3）存在，或． 【分析】（1）由，得，又，，即可得； （2）利用一线三垂直，证明，求出点的坐标，待定系数法求出直线的函数表达式； （3）分两种情况讨论，①当时；②当时，分别求解即可． 【详解】解：（1）， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）如图2，作交直线于点，作轴于点， ， ， 由旋转得， ， ， ， 直线，当时，则， 解得； 当时，， ，， ，， ， ， 设直线的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为； （3）在直线上存在一点，使为等腰直角三角形， ①当时，作轴于点， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ， ； ②当时， ，， ， ，， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、等腰直角三角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 27．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线相交于点；直线与轴交于点． (1)当时，求的面积； (2)若，求的值； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别求出、、点坐标，再求的面积即可； （2）作交于，作轴，过点作交于，作于，证明，从而得出，再代入一次函数解析式计算即可得出答案； （3）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，解得，此时， ∴， 在中，当时，，解得，即， 在中，当时，，解得，即， ∴； （2）解：如图，作交于，作轴，过点作交于，作于， ， ∴ ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 当时，解得，此时， ∴， 在中，当时，，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：或， 检验：当时，，是分式方程的解， 当时，，是分式方程的解， ∵直线与轴的夹角为的外角，， ∴直线与轴的夹角大于， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得， 由（2）可得：，， 如图，当时，此时，， ∴， 解得：或， 检验：当或时，，是分式方程的解， （不符合题意，舍去） 如图，当时，此时，即， 解得：或， 检验：当时，，是分式方程的解，是增根，舍去， 综上所述，的值为或． 28．（23-24八年级下·河南周口·期末）新人教版八年级下册课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线过等腰直角的直角顶点：过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点的坐标为，点的坐标为，求点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和一次函数的性质， 过点B作轴于E，则，进一步证明，结合点坐标可知，，则，即可求得点B； 过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，则，结合题意知，由（1）的模型可得，则，，即可知，设直线的解析式为，利用待定系数法即可求得答案． 【详解】（1）解：如图2，过点B作轴于E， 则， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵等腰，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， ∵与轴，轴交于点， ∴， ∴， 由（1）的模型可得，则，， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， ∴； 29．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 在线段 上，将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在轴上点 ，若 ． (1)求点的坐标及直线 的解析式． (2)求 的值． (3)直线 上是否存在点 使得 ． 若存在，请直接写出 的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：由题知，设，则． 在中，， 即：， ， ∴， 又， ∴； （2）解：设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴； （3）解：，，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴） ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为：， ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 30．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点， (1)当时，求直线的解析式； (2)如图2，直线交直线于点C，是上一点，过点D分别作轴，轴的垂线交直线于点，．若，求的值； (3)在（1）（2）条件下，在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题是一次函数综合题，等腰三角形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定． （1）由勾股定理可求，即点点用待定系数法可求直线解析式； （2）由等腰三角形的性质可得可证平分由角平分线的性质可得通过证明可得，设可得点， 即可求点的值； （3）过点作，过点作轴，设点，用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴点点 设直线解析式为：， ∴ ∴， ∴直线解析式为： ． （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ， 延长交于点 ， ， ， ∴设 ∴点 ∵点在直线上， ． （3）解：由（1）知：，由（2）知：， ∴， 过点作，过点作轴， 设点， ∴在中，， ∴在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴在中，， 解得：， ∵， ∴， 则 ∴． 【经典例题七 一次函数中的翻折问题】 31．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如下图，已知直线：与直线：交于点，两直线与x轴分别交于点B和点C． (1)求直线和的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)如下图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：，直线的表达式为： (2) (3)P点坐标为：或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由四边形的面积，即可求解； （3）①当时，证明，得到，即可求解；②当时，得到，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：，则点， 直线的表达式为：，则点； （2）解：由（1）知，， ， 点F在直线：上，则令，， ，则， 四边形的面积 ； （3）解：为直角三角形，分两种情况讨论： ①当时， 如图2，由对折可得，， ， 过点A作于G， ， ， ， ； ②当时，如图3所示： 由图可知：， ， 由对折得，， ， 设，则， 由勾股定理可知：， 则， 解得：， ∴， ， ∵P在x轴负半轴， ． 综上所述：P点坐标为：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，构造出图形是解本题的关键． 32．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 【答案】(1) (2)，是关于x的一次函数 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理． （1）根据折叠的性质得到，在中利用勾股定理求得，据此即可求得点E的坐标； （2）由折叠得到，有，在中利用勾股定理列式，整理即可解． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， 则， ∴； （2）解：在中，由勾股定理，得， 又∵，，， ∴， 整理得， 是关于x的一次函数． 33．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于点A、B，点C在线段上，将沿翻折，点O恰好落在上点D处． (1)求的长； (2)过点A作，交的延长线于点E，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)等腰三角形，理由如下； 【分析】（1）本题考查一次函数与坐标轴交点问题及三角形折叠问题，根据一次函数的解析式求出，两点坐标，结合勾股定理求出，根据折叠得到，，根据的面积列式求解即可得到答案； （2）本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理，根据等积法求出，根据勾股定理求出，从而根据等积法求出即可得到答案； 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∵沿翻折，点O恰好落在上点D处， ∴，， 设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过作于F，过作于H，如图所示， 由（1）得，， 在中，， 解得：， ∴， 在中，， 解得：， 在中，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 34．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）（1）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．如果，则的度数是__________． （2）已知一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移7个单位得到的，则___________． （3）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是__________． （4）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是__________． （5）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点是的中点，点在线段上，当的周长最小时，点的坐标是__________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）先根据折叠的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理分别求出，即可得到答案； （2）根据一次函数图象的平移规律进行求解即可； （3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形面积公式求解即可； （4）利用图象法求解即可； （5）如图所示，取点D关于的对称点G，连接交于E，则此时的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点E的坐标即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移7个单位得到的， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6， ∴该直角三角形的斜边长为， ∴该直角三角形的面积为， 故答案为；； （4）由函数图象可知，当时，， 故答案为：； （5）解：如图所示，取点D关于的对称点G，连接交于E，则此时的周长最小， ∵四边形是长方形，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴的周长， ∴要使的周长最小，即要使最小，即C、E、G三点共线时的周长最小， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，一次函数的性质，一次函数与几何综合，一次函数图象的平移，轴对称最短路径问题，直角三角形斜边上的中线，灵活运用所学知识是解题的关键． 35．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点C的坐标； (2)将沿着直线AB翻折，点C落在点D处，求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在E，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求出A、B的坐标，进而得到在上截取，则，进一步证明，再结合等边得到，最后写出坐标即可； （2）如图：由折叠的性质可得、，即点D在y轴上，然后再说明，最后运用待定系数法法求解即可； （3）设，则，、；再分、、三种情况，分别运用两点间的距离公式求得m即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，， ∴， 如图：在上截取，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴, ∵等边， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图：∵将沿着直线AB翻折，点C落在点D处， ∴，， ∴D在y轴上， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为：． （3）解：设，则，，． ①当时，，解得：， ∴，或； ②当时，，解得：， ∴或（舍去）； ③当时，，解得：，此时， ∴综上所述，满足条件的E点坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解答本题的关键． 【经典例题八 一次函数中的新定义问题】 36．（23-24八年级下·福建泉州·期末）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的关联点，直线是点的关联直线．特别地，当时，直线为常数）的关联点为．如图，已知点，，，． (1)①点的关联直线的解析式为 ；②直线的关联点的坐标为 ； (2)设直线的关联点为点，直线的关联点为点，点在轴上，且，求点的坐标． (3)点是折线段（包含端点，上的一个动点．直线是点的关联直线，当直线与四边形恰有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂关联点和关联直线的定义，数形结合解题是关键． （1）利用待定系数法求得直线的解析式，根据关联点和关联直线的定义可得结论； （2）先根据关联点求和的坐标，根据面积和列式可得的坐标； （3）根据点的位置，分三种情况讨论，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把点，，代入得，解得， 直线的解析式为：， 点的关联直线的解析式为； 直线的关联点的坐标为：； 故答案为：；； （2）解：点，，， 直线的解析式为， 直线的解析式为， ，，， 直线的解析式为， 设点， 过作轴于，轴于， ， ， ， 解得或， 或，； （3）解：①当在线段上时， 直线的解析式为， ，， 关联直线， 把代入， ， 解得，此时与平行四边形有一个交点， 时，直线与四边形恰有两个公共点； ②当在线段上时， 直线的解析式为， ，， 关联直线， 把代入， ， 解得， 时，直线与四边形恰有两个公共点； ③当在线段上时，直线与四边形始终有两个公共点； 综上所述：或时，直线与四边形恰有两个公共点． 37．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两点，给出如下定义：以线段为直角边的等腰直角三角形称为点的“对称三角形”． (1)如果点的坐标为，点的坐标为，那么点的“对称三角形”的面积为_____； (2)如图①，已知点的坐标为，点为直线上的一动点，求点的“对称三角形”的面积最小值； (3)如图②，等腰直角斜边中点为，直角边，且两直角边分别平行于轴和轴，点在直线上，若要使点的“对称三角形”的面积最小，且最小面积为2，求的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质： （1）由两点距离公式可求的长，由三角形的面积公式可求解； （2）由垂线段最短可得时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解； （3）由垂线段最短可得时，BF有最小值，由三角形的面积公式可求的长，由两点距离公式可求m的值． 【详解】（1）解：∵点M的坐标为，点N的坐标为， ∴， ∴点M，N的“对称三角形”的面积， 故答案为10； （2）解：∵点A，C的“对称三角形”的面积， ∴取最小值时，点A，C的“对称三角形”的面积有最小值， 如图①，设直线与x轴交于点E，与y轴交点P， ∴点，点， ∴， ∴， 当时，有最小值， 此时， ∴， 又∵， ∴， ∴点A，C的“对称三角形”的面积的最小值=； （3）解：∵点B，F的“对称三角形”的面积， ∴取最小值时，点B，F的“对称三角形”的面积有最小值， 如图②，设直线与x轴交于M点，与y轴交于N点，过点B作轴交直线于点H， ∴点，点， ∴， ∴， 当时有最小值， ∴点B，F的“对称三角形”的最小面积， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角斜边中点为，直角边，且两直角边分别平行于x轴和y轴， ∴点， ∴点， ∴， ∴． 38．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知矩形，其中点，，．给出如下定义：若点关于直线：的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”．例如，图1中的点，点都是矩形关于直线：的“关联点”． (1)如图2，在点，，，中，是矩形关于直线：的“关联点”的为______； (2)如图3，点是矩形关于直线：的“关联点”，且是等腰三角形，请直接写出的值； (3)若在直线上存在点，使得点是矩形关于直线：的“关联点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)的值为或或1 (3) 【分析】本题考查一次函数的图象及性质和等腰三角形的性质： （1）分别求出，，，关于直线的对称点，判定对称点是否在矩形内部或边上，即可求解． （2）由定义求出，再由，求出，根据题意可得，，，分三种情况讨论：当时，；当时，；当时，． （3）在直线上任取两个点，再求出两点关于直线的对称点为，，再由待定系数法求出直线关于直线对称的直线解析式为，当直线经过点时，，当直线经过点时，，即可求． 【详解】（1）解：关于的对称点为，此点在线段外部， ∴不是矩形关于直线 的“关联点”； 关于的对称点为，此点在矩形的边上， ∴是矩形关于直线 的“关联点”； 关于的对称点为，此点不在矩形内部或边上， ∴不是矩形关于直线 的“关联点”； 关于的对称点为，此点在矩形的边上， ∴不是矩形关于直线 的“关联点”； 综上所述：是矩形关于直线 的“关联点”， 故答案为：； （2）解：∵点是矩形关于直线：的“关联点”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， 当时，， 解得（舍）或； 当时，， 解得或（舍）； 当时，， 解得； 综上所述：t的值为或或1； （3）解：在直线上任取两个点， ∴两点关于直线的对称点为，， 设直线关于直线对称的直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， ∴． 39．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期中）对于平面直角坐标系中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边上的高h，满足，则称该三角形为点P，Q的“等值三角形”，已知点．    (1)若以线段为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“等值三角形”，则此三角形第三个顶点的坐标为 ； (2)若是点A，B的“等值三角形”，且点B在x轴上，点C在直线上，求点B的坐标． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，一次函数的性质等知识． （1）画图，不妨设满足条件的三角形为等腰，则．过点R作于点H，可得，根据“等值三角形”可得，从而可得点R的坐标； （2）分点A为直角顶点和点B为直角顶点两种情况，结合图形可得结论． 【详解】（1）如图，不妨设满足条件的三角形为等腰，则．过点R作于点H，    ∴， ∵以线段为底的等腰恰好是点O，A的“等值三角形”， ∴． ∴点R的坐标为． 同理，在x轴下方时，第三个顶点的坐标为 故答案为：或． （2）如图所示：若A为直角顶点时，    ∵ ∴ 当时， ∴ ∴ ∴ 同理可得， ∴ ②若B为直角顶点，点C在x的上方时，设则 ∴ 解得，， ∴ ∴ 当点C在x轴的下方时，设则 ∴ 解得，， ∴ ∴ 综上，点B的坐标为或． 40．（23-24八年级上·山西晋中·期中）综合与探究 定义：一次函数的相垂函数是．如：一次函数的相垂函数是． (1)一次函数的相垂函数是________． (2)请在平面直角坐标系中画出一次函数的图象及其相垂函数的图象． (3)在（2）的条件下，是一次函数的图象上的一个动点，过点作直线平行于轴，且交其相垂函数的图象于点，当线段时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据相垂函数的定义即可求解； （2）根据相垂函数的定义先求出的相垂函数，再画出图象即可； （3）根据题意设，，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数中，， ∴，， ∴一次函数的相垂函数是； （2）解：由题意可知，一次函数的相垂函数是， ：时，；时，； ：时，；时，； 一次函数的图象及其相垂函数的图象如图所示： （3）解：设点的横坐标为， ∵直线平行于轴，且点在一次函数的图象上，点在其相垂函数的图象上， ∴，， ∵，即， 解得，， ∴或； 【点睛】本题考查一次函数的相关问题，给出了新定义相垂函数，正确理解题意是关键． 【经典例题九 一次函数中的最值问题】 41．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， 点是直线在第二象限内的一点，点B在轴正半轴上，且．线段平移得到线段，点A 的对应点是点 D，点B的对应点是点，，， 交于点 G． (1)当时， 求点B坐标． (2)已知点，，若的面积为，是否存在点G，使的值最小?若不存在，请说明理由；若存在，求出点G的坐标． 【答案】(1)点B坐标 (2)点 的坐标为 【分析】本题考查函数的图像和性质，平移的性质，轴对称的应用，两点间的距离，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据两点间的距离可以得到，然后根据点的位置得到点B的坐标即可； （2）先得到点A的坐标为，然后根据点可知轴，然后根据三角形的面积得到，进而求出点 的坐标为，作点N关于直线的对称点点，则的坐标为，连接，则当点G在上时，的值最小，最小为长，然后求出解析式，把代入即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∴， 又∵，点B在轴正半轴上， ∴点B坐标． （2）解：由题可知点A的坐标为， ∴， ∴，， 又∵点， ∴轴， ∴的面积为， 解得或， 又∵， ∴，即 由平移可得点G是的中点， ∴点G的坐标为， 作点N关于直线的对称点点，则的坐标为， 连接，则当点G在上时，的值最小，最小为长， 设的直线解析式为，代入和得： ，解得， ∴， 把代入得， 解得（舍去）或， ∴点 的坐标为． 42．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，直线AB：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线：经过点，，与直线交于点E． (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)设点Q的坐标为，求m的值使得值最小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数综合问题以及轴对称—最短路径问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出A、B两点的坐标和△ABC的面积，再求出点E的坐标，得到△ACE的面积，即可求解； （3）作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最小， 可得，求出直线解析式，即可求出m的值． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把，代入得：， 解得：， 则直线CD解析式为； （2）解：对于直线， 令，得到，令，得到，即，， ∴，， ∴， 联立得：， 解得：，即， ∴， 则； （3）作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最小， 可得， 设直线解析式为， 把与E坐标代入得：， 解得：，即直线解析式为， 把代入得：， 解得：． 43．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，． (1)求直线的函数表达式； (2)若点C在直线上，且点C的纵坐标为，求； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一次函数在几何中的应用； （1）利用待定系数法即可求解； （2）将C的纵坐标为代入解析式可求得横坐标，由即可求解； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则此时最小，，由待定系数法求得直线的解析式为，当时，即可求解； 掌握待定系数法，能利用对称法找出线段和取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，则有 ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：点C的纵坐标为， ， 解得：， ， ， ， ； （3）解：存在； 如图， 作关于轴的对称点，连接交轴于，则 此时最小， ， 由对称得， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时， ， 解得：， ． 44．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线（k、b为常数，且）与x轴交于点，直线与交于点． (1)求点C的坐标及直线的函数表达式； (2)若点D是线段上一个动点，点D的横坐标是m，的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式； (3)在y轴上是否存在点P，使得的值最小?若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；直线的函数表达式为 (2) (3)在y轴上存在点使得的值最小，最小值为 【分析】本题主要考查直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称-最短路线问题： （1）把点代入，求得点C的坐标，然后根据待定系数法即可求得k，b的值； （2）求出点A的坐标，得出，根据点D在直线上可得，再根据三角形面积公式可得结论； （3）如图，作点B关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为P点，此时，的值最小；由勾股定理可求出的最小值为，再运用待定系数法求出直线的函数表达式为，令，求出，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：直线过点 ， ． 直线过， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：直线与x轴交于点A， 令，则， ， ∵， ． 点D在线段上． ． ． （3）解：在y轴上存在点P，使得的值最小，理由如下： 如图，作点B关于y轴的对称点，连接， 与y轴的交点即为P点，此时，的值最小， ，则， ， 即的最小值为． 设直线的函数表达式为， ， 解得 直线的函数表达式为． 令，则， ． 故在y轴上存在点使得的值最小，最小值为． 45．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上取一点，且．    (1)求点的坐标． (2)为上的一点，且横坐标为，在轴上找一点，使得的值最小，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可先求得A、B的坐标，则可求得、，设，则，，在中由勾股定理可列方程，即可求得点C的坐标， （2）如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，得到，进而得到，此时的值最小，根据为上的一点，且横坐标为，得到， 因为点与关于轴对称，得到，设直线的表达式为，把，分别代入，求得直线的表达式为，当时，，求解的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，解得， ， 设，则，， 在中， ，解得， ． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，   ， ， ∴此时的值最小． ∵当时，， ． ∵点与关于轴对称， ． 设直线的表达式为， 把，分别代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． 当时，， 解得：， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及等腰三角形和外角的性质、勾股定理、三角形的面积、三角形的三边关系、待定系数法及方程思想，正确利用相关知识进行运算是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数45道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】题型一 函数相关压轴题 题型二 一次函数的图象与性质压轴 题型三 一次函数与方程、不等式压轴 题型四 方案分配压轴 题型五 最大利润压轴 题型六 一次函数中的旋转问题（45度） 题型七 一次函数中的翻折问题 题型八 一次函数中的新定义问题 题型九 一次函数中的最值问题 【经典例题一 函数相关压轴题】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）赛龙舟是我国端午节的习俗．去年端午节期间，大洋湾举行了1000米龙舟比赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时路程与时间之间的关系如图．根据下图回答问题： (1)当2分钟时，______龙舟队处于领先位置． (2)在这次龙舟比赛中，______龙舟队先到达终点，用时______分钟． (3)乙龙舟队平均每分钟划行______米． (4)4分钟时，甲龙舟队所划路程比乙龙舟队所划路程领先______米． 2．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程S和时间t的关系．根据图象回答下列问题： (1)直接写出：甲出发1小时行驶了 千米；乙的速度为 千米/时； (2)甲从下午2时到5时的平均速度是 千米/小时；乙的平均速度是 千米/小时； (3)请你根据图象上的数据，求乙出发后用多长时间就追上甲？ 3．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）已知小明家、书店、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：小明骑车上学，骑了一段时间后，想起要买参考书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是_____m；本次上学途中，小明一共骑行了______m； (2)小明在新华书店停留了_______min； (3)小明第一次经过新华书店的时间是第______min； (4)据统计骑车的速度超过了就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内，骑车速度是否在安全限度内？（通过计算说明） 4．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，在平面直角坐标系中，点，，其中a、b是方程组的解，点M为线段的中点，点C为x轴负半轴上一点，，连接，．    (1)求点A、B、C的坐标； (2)点P从点O出发，沿的方向以每秒2个单位的速度向终点A运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t，请用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围： (3)在（2）的条件下，在点P运动过程中，当的面积等于的面积时，求t的值． 【经典例题二 一次函数的图象与性质压轴】 6．（23-24八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E．    (1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） (2)点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，已知直线与x轴和y轴分别交于点B和A，以点B为直角顶点在第二象限作等腰直角． (1)求直线的关系式； (2)如图2，延长到点D，交y轴于点E，连接，若，求的长； (3)如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于M，点是线段上一点，在线段上是否存在一点N，使直线把的面积分为的两部分，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 9．（23-24八年级下·全国·期末）课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形的直角顶点C：过点A作于点D，过点B作于点E研究图形，不难发现：．（无需证明）： (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点C的坐标为，A点的坐标为，求B点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线：分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针或逆时针旋转得到，请任选一种情况求的函数表达式； (3)如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 10．（23-24八年级上·浙江金华·期末）本学期，我们已经学习过平面直角坐标系的概念，其中轴与轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图像仍然保持原状． 【初步探究】 （1）已知在原平面直角坐标系中有一点，将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转得到“动感坐标系”．则点的动感坐标为______． （2）在原平面直角坐标系中，设有一点，将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴．在轴上有一点，在轴上有一点与在同一条水平线上．当点到点之间的距离最小时，求点的动感坐标． 【类比猜想】 根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质． 【深入探索】 在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，与轴分别交于，且两条直线关于轴成轴对称．设三角平分线与对边的交点为．将轴绕点逆时针旋转，得到轴，轴绕原点逆时针旋转后刚好经过点．求点的动感坐标以及的值（点不与原点重合）． 【经典例题三 一次函数与方程、不等式压轴】 11．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 12．（23-24七年级下·山东烟台·期末）【活动回顾】： 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．      示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________； 【拓展延伸】： （3）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． （4）在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，判断方程组的解的情况，并说明理由． 13．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，且． ①求点E的坐标； ②若点M是射线上的动点，连接，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线上时，求出对应的点M的坐标． 14．（23-24八年级下·浙江台州·期中）一般地，对于一次函数，（其中a，b，c，d为常数，且，，定义一个新函数，称y是与的“平均中项”，y是关于x的“平均中项函数”．如：一次函数，，若y是与的“平均中项”，则y是关于x的“平均中项函数”，即． (1)根据函数研究的途径与方法，填写下表，并在图①中画出的大致图象； x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 2.5 1 0.5    (2)观察图象，当 时，y有最小值；当时，x的取值范围是 ； (3)对于三个数a，b，c，用表示这三个数中的最大数， 例如：，对于，，，求的最小值． 15．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求该函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标； (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围． 【经典例题四 方案分配压轴】 16．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元． ：面食套餐 25元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 17．（2023·浙江温州·二模）某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，表示每月上网流量（单位：），表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的关于的关系如图所示： 套餐 套餐 套餐 每月基本流量服务费（元） 包月流量（） 超出后每收费（元）    (1)当时，求套餐费用的函数表达式． (2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择套餐较为划算． (3)小红爸妈各选一种套餐，计划人每月流量总费用控制在元以内（包括元），请为他们设计一种方案使总流量达到最并完成下表， 小红爸爸： 套餐 （填、、） 小红妈妈： 套餐 （填、、） 总流量 消耗流量 18．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案． 购买方案 门票类型 A B C 购买数量                            19．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）从某地运送180箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 700 800 小货车 400 600 (1)这18辆车中大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 20．（23-24八年级上·浙江金华·期末）为了争创全国文明卫生城市，优化城市环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表： A B 价格（万元/台） a b 节省的油量（万升/年） 2.4 2 经调查，购买一台A型车比买一台B型车多20万元，购买2台A型车比买3台B型车少60万元． (1)请求出a和b； (2)若购买这批混合动力公交车（两种车型都要有）每年能节省的汽油最大为22.4升，请问有哪几种购车方案？ (3)求（2）中最省线的购买方案所需的购车款． 【经典例题五 最大利润压轴】 21．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某校为达成省体育器材类装备，计划在京东惠购一次性购进篮球和足球共50个，某电商内部信息表给出其进价与售价间的关系如下表： 篮球 足球 进价（元/个） 105 90 售价（元/个） 135 125 (1)学校用4920元以进价购进这批篮球和足球，求购进篮球和足球各多少个； (2)设该电商所获利润为（单位：元），购进篮球的个数为（单位：个），请写出与之间的函数表达式（不要求写出的取值范围）； (3)因资金紧张，学校的进货成本只能在4745元的限额内，请为学校设计一种进货方案使得尽可能多地购买篮球和足球，同时要使电商利润最小；并求出利润的最小值． 22．（2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 23．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）应用题 暑假即将到来，外出旅游的人数逐渐增多，对旅行包的需求也不断扩大，某店准备购进甲、乙两种新型旅行包若购进个甲种旅行包和个乙种旅行包共需元，若购进个甲种旅行包和个乙种旅行包共需元． (1)甲、乙两种旅行包的进价分别是多少元？ (2)若该店恰好用了元同时购进甲、乙两种旅行包，设购进甲种旅行包个． 乙种旅行包购进了___________ 个用含的代数式表示 若将甲种旅行包的售价定为元,乙种旅行包的售价定为元,则当该店购进乙种旅行包___________ 个时,能获得最大利润,最大利润是___________ 元直接写结果 24．（2023·浙江衢州·二模）（1）【阅读理解】 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？ 分析  可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系． 由图可得如下的数量关系： ①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨； ②________________吨． （2）【问题解决】 请你通过列方程（组）解答（1）中的问题． （3）【拓展提升】 据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表： 型号 型 型 报价（万元／台） 20 14 若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？ 25．（2023八年级下·全国·专题练习）“双减”政策颁布后，各校重视了延迟服务，并在延迟服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，它们的进价和售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍（元/套） a 50 羽毛球拍（元/套） b 60 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． (1)求出a，b的值； (2)该面店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）． ①求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商店实际采购时，恰逢“双十一”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了m元（），羽毛球拍的进价不变，已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？ 【经典例题六 一次函数中的旋转问题（45度）】 26．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 【模型建立】 （1）如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，则根据______可证明； 【模型应用】 （2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）在直线上是否存在一点C，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线相交于点；直线与轴交于点． (1)当时，求的面积； (2)若，求的值； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 28．（23-24八年级下·河南周口·期末）新人教版八年级下册课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线过等腰直角的直角顶点：过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点的坐标为，点的坐标为，求点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 29．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 在线段 上，将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在轴上点 ，若 ． (1)求点的坐标及直线 的解析式． (2)求 的值． (3)直线 上是否存在点 使得 ． 若存在，请直接写出 的坐标． 30．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点， (1)当时，求直线的解析式； (2)如图2，直线交直线于点C，是上一点，过点D分别作轴，轴的垂线交直线于点，．若，求的值； (3)在（1）（2）条件下，在直线上，且，求点的坐标． 【经典例题七 一次函数中的翻折问题】 31．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如下图，已知直线：与直线：交于点，两直线与x轴分别交于点B和点C． (1)求直线和的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)如下图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 32．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 33．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于点A、B，点C在线段上，将沿翻折，点O恰好落在上点D处． (1)求的长； (2)过点A作，交的延长线于点E，连接，试判断的形状，并说明理由． 34．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）（1）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．如果，则的度数是__________． （2）已知一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移7个单位得到的，则___________． （3）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是__________． （4）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是__________． （5）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点是的中点，点在线段上，当的周长最小时，点的坐标是__________． 35．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点C的坐标； (2)将沿着直线AB翻折，点C落在点D处，求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在E，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题八 一次函数中的新定义问题】 36．（23-24八年级下·福建泉州·期末）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的关联点，直线是点的关联直线．特别地，当时，直线为常数）的关联点为．如图，已知点，，，． (1)①点的关联直线的解析式为 ；②直线的关联点的坐标为 ； (2)设直线的关联点为点，直线的关联点为点，点在轴上，且，求点的坐标． (3)点是折线段（包含端点，上的一个动点．直线是点的关联直线，当直线与四边形恰有两个公共点时，直接写出的取值范围． 37．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两点，给出如下定义：以线段为直角边的等腰直角三角形称为点的“对称三角形”． (1)如果点的坐标为，点的坐标为，那么点的“对称三角形”的面积为_____； (2)如图①，已知点的坐标为，点为直线上的一动点，求点的“对称三角形”的面积最小值； (3)如图②，等腰直角斜边中点为，直角边，且两直角边分别平行于轴和轴，点在直线上，若要使点的“对称三角形”的面积最小，且最小面积为2，求的值． 38．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知矩形，其中点，，．给出如下定义：若点关于直线：的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”．例如，图1中的点，点都是矩形关于直线：的“关联点”． (1)如图2，在点，，，中，是矩形关于直线：的“关联点”的为______； (2)如图3，点是矩形关于直线：的“关联点”，且是等腰三角形，请直接写出的值； (3)若在直线上存在点，使得点是矩形关于直线：的“关联点”，请直接写出的取值范围． 39．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期中）对于平面直角坐标系中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边上的高h，满足，则称该三角形为点P，Q的“等值三角形”，已知点．    (1)若以线段为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“等值三角形”，则此三角形第三个顶点的坐标为 ； (2)若是点A，B的“等值三角形”，且点B在x轴上，点C在直线上，求点B的坐标． 40．（23-24八年级上·山西晋中·期中）综合与探究 定义：一次函数的相垂函数是．如：一次函数的相垂函数是． (1)一次函数的相垂函数是________． (2)请在平面直角坐标系中画出一次函数的图象及其相垂函数的图象． (3)在（2）的条件下，是一次函数的图象上的一个动点，过点作直线平行于轴，且交其相垂函数的图象于点，当线段时，求点的坐标． 【经典例题九 一次函数中的最值问题】 41．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， 点是直线在第二象限内的一点，点B在轴正半轴上，且．线段平移得到线段，点A 的对应点是点 D，点B的对应点是点，，， 交于点 G． (1)当时， 求点B坐标． (2)已知点，，若的面积为，是否存在点G，使的值最小?若不存在，请说明理由；若存在，求出点G的坐标． 42．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，直线AB：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线：经过点，，与直线交于点E． (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)设点Q的坐标为，求m的值使得值最小． 43．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，． (1)求直线的函数表达式； (2)若点C在直线上，且点C的纵坐标为，求； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线（k、b为常数，且）与x轴交于点，直线与交于点． (1)求点C的坐标及直线的函数表达式； (2)若点D是线段上一个动点，点D的横坐标是m，的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式； (3)在y轴上是否存在点P，使得的值最小?若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由． 45．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上取一点，且．    (1)求点的坐标． (2)为上的一点，且横坐标为，在轴上找一点，使得的值最小，求出此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$