微专题01 反比例函数k的几何意义通关专练-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

微专题01 k的几何意义通关专练 一、单选题 1．如图所示，在的图象上有两点，．过这两点分别向轴引垂线，交轴于，两点．连接，，记，的面积分别为，，则有（ ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C，D在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为(1，2)，平行四边形ABCD的面积为4，则k的值为（    ） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 3．如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，AC平行于y轴交x轴于点C，四边形ABOC的面积为5，则反比例函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点是双曲线上的一个动点，作轴于点，当点的横坐标逐渐减小时，四边形的面积将会（    ）    A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先减小后增大 5．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，若的面积为2，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．-4 6．如图，矩形的面积为4，反比例函数（）的图象的一支经过矩形对角线的交点，则该反比例函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 7．如图，平面直角坐标系中，点A和点B分别在函数和的图象上，点C在y轴上．若轴．则的面积为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A在轴上，顶点B、C在函数的图像上，底边AB∥轴.若AC=，AO=2，则的值为（    ） A．6 B． C． D．12 9．如图，A、B是函数的图像上关于原点对称的任意两点，BCx轴，ACy轴，ABC的面积记为S，则（     ） A． B． C． D． 10．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，过点作交轴于点，若的面积为5，则的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 11．如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象经过点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为6，点A，C分别在x轴，y轴上，点B在第三象限，对角线交于点D，若反比例函数的图象经过点D，则k的值为（    ） A． B． C． D．3 13．如图，在平面直角坐标系中，点P（2，5）、Q（a，b）（a＞2）在“函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．QD交PA于点E，随着a的增大，四边形ACQE的面积（　　） A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 14．如图，在中，，轴，点A在反比例函数的图象上．若点B在y反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 15．如图，矩形在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点，在轴上，若，则的值为(   ) A．12 B．7 C． D． 16．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的边、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、且，连接、、，若的面积，则值为（   ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作的垂线交的图象于点．若，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 18．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 19．如图，A为双曲线图象上一点，轴于B点，若，则的k值是(   )    A．3 B．6 C．9 D．12 20．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，是曲线上的一点，过点作轴于点，交曲线于点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 21．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于点B，点P是y轴上一动点，当△ABP的面积是2时，k的值是 ． 22．如图，函数的图象与直线x＝3交于点P，△AOP的面积为3．当y＞2时，x的取值范围是 ． 23．如图，四边形、是面积分别为、的正方形，点在轴上，点在上，点在反比例函数()的图象上，若，则值为 ． 24．如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 25．如图，是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点为轴上的一点，连接，，则的面积是 ．    26．如图，两个反比例函数（其中）和在第一象限内的图象依次是和，点P在上．矩形PCOD交于A，B两点，OA的延长线交于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为9，则EF∶AC为 ． 27．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上两点，过点A作AC⊥x轴于点C（2，0），点B的横坐标是4，则△ABO的面积是 ． 28．如图，在平面直角华标系中，的顶点A，C在函数的图像上，轴，若，点A，C的横坐标分别为2，6，的面积为12，则k的值为 ． 29．已知点是反比例函数图象上的两点，点在内，且轴，轴，的面积为4，则的面积为 ． 30．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=(x＞0)、y=(x＜0)的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k的值为 . 31．如图，面积等于12的的顶点A在y轴上，顶点B、D分别在反比例函数 的图像上，若轴，点C、D横坐标分别为5、1，则k的值是 ． 32．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线 分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接．若的面积为，则的值是 ． 33．如图，矩形OACB的顶点C在反比例函数y＝（x＞0，k1＞0）的图象上，交反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）图象于点D、E，EF⊥AO于点F，连接DF，若CB＝3CE，S四边形DCEF＝2，则k1＝ ． 34．如图，直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点重合，点为轴上一点，连接，为的中点，反比例函数的图像经过，两点，若平分，的面积为6，则的值为 ． 35．如图，在直角坐标系中，的边在y轴上，，点C在上，，且的面积为，若反比例函数 的图象经过点C，则k的值为 ． 三、解答题 36．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知反比例函数的图象经A（﹣2，m），过点作AB⊥x轴．垂足为点B，且△OAB的面积为1． （1）求k和m的值； （2）点C（x，y）在反比例的图象上，当1≤x≤3时，求函数值y的取值范围． 37．反比例函数和（k≠0）在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴，垂足为C，交的图象于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交的图象于点B．已知点A（m，1）为线段PC的中点． （1）求m和k的值； （2）求四边形OAPB的面积． 38．如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．    39．如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D． （1）求反比例函数的关系式； （2）连接CD，求四边形CDBO的面积． 40．如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 41．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)． (1)求m和n的值； (2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝交于点P，Q，求△APQ的面积． 42．如图，直线与反比例函数的图像交于点，点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），轴于点C． (1)求k的值； (2)求的面积； 43．如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E.过点A作轴于点D，连接DC.已知点B的纵坐标为1，且. (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)请结合图形，直接写出不等式的解集. 44．两个反比例函数和（k1k20）在第一象限内的图象如图，动点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B．求证：四边形PAOB的面积是定值． 45．已知：关于的一元二次方程的两根，满足，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于（如图），求． 46．如图，已知一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，且，点在反比例函数的图像上． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线交轴于点，求的面积． 47．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3交y轴于点A，交反比例函数y＝（k＜0）的图象于点D，y＝（k＜0）的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连接OD． （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）求AOD的面积． 48．如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，求的面积．    49．在反比例函数的图像上有一点，且的横坐标为2，过点作轴，垂足为，作轴，垂足为． （1）求点的坐标及长方形的面积； （2）若一过原点的直线与长方形两边所围成三角形的面积为2，求该直线的函数解析式； （3）若直线与长方形两边所围成的三角形面积为，求与的函数关系式，并写出函数的定义域． 50．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）． （1）求图象过点B的反比例函数的解析式； （2）求图象过点A，B的一次函数的解析式； （3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 k的几何意义通关专练 一、单选题 1．如图所示，在的图象上有两点，．过这两点分别向轴引垂线，交轴于，两点．连接，，记，的面积分别为，，则有（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】易得△AOC和△OBD的面积相等, 都减去公共部分的面积可得,的大小关系. 【详解】解: 设点A的坐标为 (x, y) , 点B的坐标为(a,b), A、B在反比例函数y=(x>0)的图象上, xy=2,ab=2, =1;=1. =, - =-, 即=. 故选B. 【点睛】本题主要考查反比例函数的比例系数的意义;突破点是得到△AOC和△OBD的面积相等. 用到的知识点为: 在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数. 2．如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C，D在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为(1，2)，平行四边形ABCD的面积为4，则k的值为（    ） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 【答案】C 【分析】设点A（a，2），根据题意可得：a=3，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值． 【详解】∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，2）， ∴设点A（a，2）， ∵S平行四边形ABCD=（a-1）×2=4， ∴a=3， ∴点A（3，2）， ∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴k=3×2=6， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键． 3．如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，AC平行于y轴交x轴于点C，四边形ABOC的面积为5，则反比例函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义知=四边形ABOC的面积. 【详解】 =四边形ABOC的面积=5 ∴k=5或-5 又函数图象位于第一象限 ∴k=5，则反比例函数解析式为 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，本题是中考的重点，同学们应高度重视. 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点是双曲线上的一个动点，作轴于点，当点的横坐标逐渐减小时，四边形的面积将会（    ）    A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先减小后增大 【答案】C 【分析】设点P的坐标，用P点坐标表示出四边形OAPB的面积，由反比例函数k是定值，当点P的横坐标逐渐减小时，四边形OAPB的面积逐渐减小． 【详解】解：点A（0，2），则OA=3， 设点P，则， ， ∵k为定值， ∴当x减小时，四边形AOBP的面积也减小， 故选：C． 【点睛】考查反比例函数k的几何意义，用点的坐标表示出四边形的面积是解决问题的关键． 5．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，若的面积为2，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．-4 【答案】C 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积=|k|，再根据图象所在象限求出k的值既可． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得，的面积=|k|， 即|k|=2， 解得，k=±4， 由于函数图象位于第一象限， 故k=4， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 6．如图，矩形的面积为4，反比例函数（）的图象的一支经过矩形对角线的交点，则该反比例函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，根据矩形的性质得S矩形OEPF= S矩形OACB=1，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解． 【详解】过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，如图所示： ∵四边形OACB为矩形，点P为对角线的交点， ∴S矩形OEPF=S矩形OACB=×4=1． ∴k=-1， 所以反比例函数的解析式是：. 故选：D 【点睛】考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 7．如图，平面直角坐标系中，点A和点B分别在函数和的图象上，点C在y轴上．若轴．则的面积为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了已知反比例函数解析式求图形面积，设点，根据轴可得，据此即可求解． 【详解】解：设点， ∵轴， ∴， ∴的面积为：， 故选：C 8．如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A在轴上，顶点B、C在函数的图像上，底边AB∥轴.若AC=，AO=2，则的值为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【分析】作CD⊥AB，设B（2a,2）,根据等腰三角形三线合一的性质得出D（a,2），由C点在反比例函数上，故C（a,4）则CD=2，再根据AC=，利用勾股定理求出AD=3，则C（3,4），则可求出k的值. 【详解】作CD⊥AB，设B（2a,2）, ∵△ABC为等腰三角形 ∴D（a,2），由C点在反比例函数上，故C（a,4） ∴CD=2，再根据AC=， 利用勾股定理求出AD=， ∴a=3 则C（3,4），则k=3×4=12. 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质及等腰三角形三线合一. 9．如图，A、B是函数的图像上关于原点对称的任意两点，BCx轴，ACy轴，ABC的面积记为S，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设A点的坐标是（a，b），则根据函数的对称性得出B点的坐标是（﹣a，﹣b），求出AC＝2b，BC＝2a，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出ab＝1，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：设A点的坐标是（a，b），则根据函数的对称性得出B点的坐标是（﹣a，﹣b）， 则AC＝2b，BC＝2a， ∵A点在y＝的图象上， ∴ab＝1， ∴ABC的面积S＝ ＝ ＝2ab ＝2×1 ＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义等知识点，能求出ab＝1是解此题的关键． 10．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，过点作交轴于点，若的面积为5，则的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】如图，作于，由可知，证明，，，求的值，根据计算求解值即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数比例系数k的几何意义及应用，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用． 11．如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象经过点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义．分别过点C，B作轴，轴，垂足分别为点D，E，连接，根据平行四边形的性质可得，从而得到，可证明，可得，进而得到，然后根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，B作轴，轴，垂足分别为点D，E，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵的图象经过点， ∴． 故选：A． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为6，点A，C分别在x轴，y轴上，点B在第三象限，对角线交于点D，若反比例函数的图象经过点D，则k的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】过点D作DN⊥y轴于点N，作DM⊥x轴于点M，先求得矩形OMDN的面积，再求出k即可． 【详解】解：如图，过点D作DN⊥y轴于点N，作DM⊥x轴于点M，则四边形OMDN是矩形， 可得S矩形OMDN=|k|， ∵点D是矩形OABC对角线交点， ∴， ∴， 解得：， ∵反比例函数图像在第三象限， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的面积，反比例函数的比例系数k的几何意义，解题的关键是熟知反比例系数k的几何意义． 13．如图，在平面直角坐标系中，点P（2，5）、Q（a，b）（a＞2）在“函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．QD交PA于点E，随着a的增大，四边形ACQE的面积（　　） A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】根据题意先用含a，b的式子表示四边形ACQE的面积得S四边形ACQE＝AC•CQ＝ab﹣2b，根据P，Q都在函数y＝的图象上得ab＝k＝10，且b随a的增大而减小，进而可得答案. 【详解】解：∵点P（2，5）、Q（a，b）（a＞2）， ∴AC＝a﹣2，CQ＝b， 则S四边形ACQE＝AC•CQ＝（a﹣2）b＝ab﹣2b， ∵点P（2，5）、Q（a，b）（a＞2）在“函数y＝（x＞0）的图象上， ∴ab＝k＝10（常数）， ∴S四边形ACQE＝10﹣2b， ∴当a＞2时，b随a的增大而减小， ∴S四边形ACQE＝10﹣2b随a的增大而增大. 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 14．如图，在中，，轴，点A在反比例函数的图象上．若点B在y反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 【答案】D 【分析】设，根据平行线的性质求出B点坐标，计算即可； 【详解】设点A的坐标为， ∵轴， ∴令，则， ∴， ∴， ∴； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解，准确计算是解题的关键． 15．如图，矩形在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点，在轴上，若，则的值为(   ) A．12 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】延长交轴于点，根据点，分别在反比例函数和上得到 ，又根据即可得到答案． 【详解】解：延长交轴于点， 点，分别在反比例函数和上， ， ， , ， ， 或（舍去）． 故选：D 【点睛】本题主要考查反比例函数中的几何意义，掌握反比例函数中 的几何意义是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的边、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、且，连接、、，若的面积，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，解方程可得反比例函数的比例系数． 【详解】四边形是矩形， ，， 设点的坐标为， ， ， 、在反比例函数反比例函数的图象上， ， 设的坐标为， ， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作的垂线交的图象于点．若，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识．过作轴于点，过作于点，则，设，则．由点，得出，证明，都是等腰直角三角形，利用勾股定理得到，，代入，整理得出．由，得出，即． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作于点，则， 设，则． 点， ， ， ， ，都是等腰直角三角形， ，， ， ， 整理得，． ， ， ， ． 故选：C． 18．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】A 【分析】过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值． 【详解】解：过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴， ∴， 设，则PC＝t， ∵， ∴， 解得， ∴， 把代入得． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式． 19．如图，A为双曲线图象上一点，轴于B点，若，则的k值是(   )    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：∵轴，， ∴， ∴， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 20．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，是曲线上的一点，过点作轴于点，交曲线于点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 本题考查反比例函数值的几何意义，根据值的几何意义，利用分割法求面积即可． 【详解】解：∵是曲线上的一点，过点作轴于点，交曲线于点， ∴， ∴的面积为； 故选A． 二、填空题 21．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于点B，点P是y轴上一动点，当△ABP的面积是2时，k的值是 ． 【答案】-4 【分析】连接OA，由S△ABP＝S△ABO＝2，根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求得答案 【详解】连接OA， ∵AB⊥x轴， ∴AB∥y轴， ∴S△ABP＝S△ABO＝2 设A（x，y），则 S△AOB＝＝＝2 ∴xy＝﹣4 即：k＝﹣4， 故答案为：-4.    【点睛】本题考查的知识点是反比例函数，根据题目得出S△ABP＝S△ABO＝2，是解题的关键. 22．如图，函数的图象与直线x＝3交于点P，△AOP的面积为3．当y＞2时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数与特殊图形面积的关系得到值，再结合图像根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， 由图知当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数的增减性判断参数的范围；掌握好反比例函数的几何意义，能根据图像判断参数的范围是解决本题的关键． 23．如图，四边形、是面积分别为、的正方形，点在轴上，点在上，点在反比例函数()的图象上，若，则值为 ． 【答案】2 【分析】设正方形、的边长分别为a，b，则可表示出，，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，利用点E与点D的纵坐标相同，求解即可． 【详解】解：设正方形、的边长分别为a，b， 则，，， ∵点E与点D的纵坐标相同， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得出点D、E、F的坐标是解此题的关键． 24．如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积的关系即，进行解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：6． 25．如图，是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点为轴上的一点，连接，，则的面积是 ．    【答案】 【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接，    轴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 26．如图，两个反比例函数（其中）和在第一象限内的图象依次是和，点P在上．矩形PCOD交于A，B两点，OA的延长线交于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为9，则EF∶AC为 ． 【答案】2 【分析】根据反比例函数的图像和性质求出和的面积，再求出矩形的面积，从而求出的值，再求出的面积，再证明，从而根据相似三角形的面积比与线段比之间的关系求解． 【详解】解：∵点B，C在反比例函数的图象上， ∴， ∵P在反比例函数的图象上， ∴， ∴图象的函数关系式为， ∵E点在图象上， ∴， ∴， ∵AC⊥x轴，EF⊥x轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质，以及相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． 27．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上两点，过点A作AC⊥x轴于点C（2，0），点B的横坐标是4，则△ABO的面积是 ． 【答案】3. 【分析】利用反比例函数k的几何意义，求得A的横坐标进而根据图象上点的坐标特征求得点B的坐标，然后根据即S△ABO＝S△AOC+S梯形ABDC﹣S△BOD＝S梯形ABDC可得出结论． 【详解】解：作BD⊥x轴于D， ∵S△AOC＝×4＝2， ∴OC•AC＝2， ∵OC＝2， ∴AC＝2， ∵点B的横坐标是4， ∴代入解析式得：y＝＝1 ∴点B（4，1）， ∴ ∴S△ABO＝S△AOC+S梯形ABDC﹣S△BOD＝S梯形ABDC＝（2+1）（4﹣2）＝3 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，掌握是解题的关键. 28．如图，在平面直角华标系中，的顶点A，C在函数的图像上，轴，若，点A，C的横坐标分别为2，6，的面积为12，则k的值为 ． 【答案】9 【分析】过A点作AD⊥BC于D，由已知条件可得出BD=CD，再根据点A、C的横坐标可得出CD=6﹣2=4，继而得出BC=8，利用三角形的面积得出AD=3，设点C（6，m），则点A（2，m+3），代入函数解析式求出答案即可． 【详解】解：过A点作AD⊥BC于D， ∵AB=AC，∴BD=CD， ∵点A、C的横坐标分别为2、6， ∴点D的横坐标分别为2， ∴CD=6﹣2=4， ∴BC=8， ∵S△ABCBC•AD8•AD=12， ∴AD=3， ∵设点C（6，m），则点A（2，m+3）， ∵△ABC的顶点A、C在函数y（x>0）的图象上， 则k=6m=2（m+3）， 解得：k=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数，通过作辅助线得出BC的值是解此题的关键． 29．已知点是反比例函数图象上的两点，点在内，且轴，轴，的面积为4，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式．设、，根据找到、之间的关系，最后表述出，整体代入求值即可． 【详解】解：设、， ∴， ∴，， ∴，整理得， ∴， 故答案为：8． 30．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=(x＞0)、y=(x＜0)的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k的值为 . 【答案】-1 【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB=S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连接OC、OB，如图， ∵BC∥x轴， ∴S△ACB=S△OCB， 而 而k＜0， ∴k=-1． 故答案为-1． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是且保持不变． 31．如图，面积等于12的的顶点A在y轴上，顶点B、D分别在反比例函数 的图像上，若轴，点C、D横坐标分别为5、1，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何，根据平行四边形的性质，坐标与图形可求出，轴，则B的横坐标为4，设D的纵坐标为，B的纵坐标为，根据平行四边形的面积可得出，根据B、D都在反比例函数图象上可得出，求出，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵轴，点C、D横坐标分别为5、1， ∴， ∵， ∴轴，， ∴B的横坐标为4， 设D的纵坐标为，B的纵坐标为， ∵的面积等于12 ， ∴， ∴， ∵B、D都在反比例函数图象上， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：4． 32．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线 分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接．若的面积为，则的值是 ． 【答案】16 【分析】设点的坐标为，根据中点求得、的坐标，再把、坐标代入反比例函数解析式，得与、的关系式，再根据的面积为，列出、的方程，求得，便可求得． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点的坐标为， 点、点分别为、边的中点， ， ， 、在反比例函数的图象上， ， ， ，即 ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式． 33．如图，矩形OACB的顶点C在反比例函数y＝（x＞0，k1＞0）的图象上，交反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）图象于点D、E，EF⊥AO于点F，连接DF，若CB＝3CE，S四边形DCEF＝2，则k1＝ ． 【答案】9 【分析】设CE=m，则CB=3CE=3m，BE=2m，EF=CA=n，则E（2m，n），C（3m，n），D（3m， ），得出CD=n-=，再根据S四边形DCEF=2，推出mn=3，进而求出k1的值． 【详解】解：∵CB＝3CE， ∴设CE＝m，则CB＝3CE＝3m，BE＝2m，EF＝CA＝n， 则E（2m，n），C（3m，n），D（3m，）， ∴CD＝n﹣＝， ∵S四边形DCEF＝2， ∴（CD+EF）•CE＝2， ∴（+n）•m＝2， ∴mn＝3， ∴k1＝3mn＝3×3＝9． 故答案为9． 【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，解决本题的关键是要灵活运用反比例函数k的几何意义. 34．如图，直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点重合，点为轴上一点，连接，为的中点，反比例函数的图像经过，两点，若平分，的面积为6，则的值为 ． 【答案】4 【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ADE=S△AOE=6，推出S△EOF=S△AOE=3，可得S△FME=S△EOF=1，由此即可解决问题． 【详解】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M． ∵AN∥FM，为的中点，， ∴MN=ME， ∴FM=AN， ∵A，F在反比例函数的图像上， ∴S△AON=S△FOM=k， ∴•ON•AN=•OM•FM， ∴ON=OM， ∴ON=MN=EM， ∴ME=OE， ∴S△FME=S△FOE， ∵AD平分∠OAE， ∴∠OAD=∠EAD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA=∠DAE， ∴AE∥BD， ∴S△ADE=S△AOE， ∴S△AOE=6， ∵AF=EF， ∴S△EOF=S△AOE=3， ∴S△FME=S△EOF=1， ∴S△FOM=S△FOE-S△FME=2=k， ∴k=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 35．如图，在直角坐标系中，的边在y轴上，，点C在上，，且的面积为，若反比例函数 的图象经过点C，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据可得，再可得,正确求得是关键。 【详解】解：，， ， ， 故答案为：. 三、解答题 36．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知反比例函数的图象经A（﹣2，m），过点作AB⊥x轴．垂足为点B，且△OAB的面积为1． （1）求k和m的值； （2）点C（x，y）在反比例的图象上，当1≤x≤3时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1）m＝1，k＝﹣2；（2）﹣2≤y≤﹣． 【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值； （2）先分别求出x=1和3时，y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：（1）∵A（﹣2，m）， ∴OB＝2，AB＝m， ∴S△AOB＝•OB•AB＝×2×m＝1， ∴m＝1； ∴点A的坐标为（﹣2，1）， 把A（﹣2，1）代入， 得k＝﹣2×1＝﹣2； （2）∵反比例函数为， ∴当x＝1时，y＝﹣2；当x＝3时，y＝﹣， 又∵反比例函数位于第二、四象限 ∴在x＞0时，y随x的增大而增大， ∴当1≤x≤3时，y的取值范围为﹣2≤y≤﹣． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力． 37．反比例函数和（k≠0）在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴，垂足为C，交的图象于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交的图象于点B．已知点A（m，1）为线段PC的中点． （1）求m和k的值； （2）求四边形OAPB的面积． 【答案】（1）m=1，k=2（2）1 【分析】（1）直接将A点代入即可求解m的值，再由点A为线段PC的中点可确定P点坐标，代入P点坐标至即可求解k值； （2）由k的几何意义可知△ODB和△OAC的面积均为，由上问求解的P点坐标可求解四边形OCPD的面积为1×2=2，则可求解四边形OAPB的面积. 【详解】（1）把A（m，1）代入y=得，m=1，A点坐标为（1，1）． ∵点A（m，1）为线段PC的中点， ∴点P坐标为（1，2）， 把（1，2）代入得k=1×2=2， 故m=1,k=2. （2）∵点P坐标为（1，2）， ∴四边形OCPD的面积为1×2=2， △ODB的面积为，△OAC的面积为， ∴四边形OAPB的面积为2﹣﹣=1． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义以及k的几何意义. 38．如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．    【答案】 【分析】证明，可得，从而得到，设，则，根据勾股定理可得，从而得到点D的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点坐标为， ∴， ∴，， ∴， 解得：，，舍去， ∴， 即点D的坐标为， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义、正方形和等边三角形的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点． 39．如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D． （1）求反比例函数的关系式； （2）连接CD，求四边形CDBO的面积． 【答案】（1）y=；（2）． 【分析】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）求得D的坐标，进而求得AD的长，得出△ACD的面积，然后根据S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD即可求得． 【详解】解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2， ∴AB=OB=2， 作CE⊥OB于E， ∵∠ABO=90°， ∴CE∥AB， ∴OC=AC， ∴OE=BE=OB=，CE=AB=1， ∴C（，1）， ∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C， ∴1=， ∴k=， ∴反比例函数的关系式为y=； （2）∵OB=2， ∴D的横坐标为2， 代入y=得，y=， ∴D（2，）， ∴BD=， ∵AB=2， ∴AD=， ∴S△ACD=AD•BE=××， ∴S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD=OB•AB﹣×2×2﹣． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． 40．如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2） 【分析】（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标； （2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解． 【详解】解∶（1）设点 D 坐标为（m，n）， 由题意得． ∵点 D在的图象上，． ∵直线的图象与轴交于点A， ∴点A 的坐标为（－4，0）． ∵CHx轴，CH//y 轴．． 点D在反比例函数的图象上， 点 D 坐标为（4，3） （2）由（1）知轴，． ． 过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M， ． ． ∴点 E 的横坐标为－8. ∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、的几何意义，属于中档难度的综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 41．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)． (1)求m和n的值； (2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝交于点P，Q，求△APQ的面积． 【答案】（1）2（2） 【详解】试题分析：（1）先把C（1，m）代入y=可求出m，确定C点坐标，然后把C点坐标代入直线y=2x+n可求得n的值； （2）先利用直线y=2x+2，令x=0和3，分别确定A点和P点坐标；再通过y=，令x=3，确定Q点坐标，然后利用三角形面积公式计算即可． 试题解析：（1）把C（1，m）代入y=中得m=，解得m=4， ∴C点坐标为（1，4）， 把C（1，4）代入y=2x+n得4=2×1+n，解得n=2； （2）∵对于y=2x+2，令x=3，则y=2×3+2=8， 得到P点坐标为（3，8）； 令y=0，则2x+2=0，则x=-1， 得到A点坐标为（-1，0）， 对于y=，令x=3，则y=， 得到Q点坐标为（3，）， ∴△APQ的面积=AD•PQ=×（3+1）×（8-）=． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 42．如图，直线与反比例函数的图像交于点，点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），轴于点C． (1)求k的值； (2)求的面积； 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）将点，代入反比例函数即可求出，然后将A的坐标代入直线即可求出k的值． （2）根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】（1）∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴点，代入反比例函数即可求出， ∴， 将代入，得． （2）设点B的坐标为， ∴， ∵点B在反比例函数上， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数结合问题，反比例函数k的几何意义，解题的关键是根据题意求出a的值． 43．如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E.过点A作轴于点D，连接DC.已知点B的纵坐标为1，且. (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)请结合图形，直接写出不等式的解集. 【答案】(1)，； (2)M（0，-4.6）或（0，-1.6）； (3)x≥4或-1≤x＜0． 【分析】（1）连接OA，可得，结合反比例函数比例系数的几何意义，即可得到k的值，再求出B点坐标，结合待定系数法，即可求解； （2）先求出A、E坐标，再设M（0，m），根据题意，列出方程，即可求解； （3）根据函数图像，求出一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的x的范围，即可． 【详解】（1）解：连接OA， ∵轴于点D， ∴AD∥OC， ∴，即：|k|=4， ∵k＞0， ∴k=4，即：， ∵点B的纵坐标为1， ∴，即：x=4， ∴B（4，1）， 代入，得：，即：b=-3， ∴一次函数解析式为：； （2）令x=0，代入，得：y=-3， ∴E（0，-3）, 联立 ，解得：或， ∴A（-1，-4）， 设M（0，m），的面积是面积的2倍 ∴的面积=， ∴m=-4.6或-1.4， ∴M（0，-4.6）或（0，-1.6）； （3）∵， ∴，即一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的x的范围， ∴x≥4或-1≤x＜0． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握反比例函数比例系数的几何意义，待定系数法，是解题的关键． 44．两个反比例函数和（k1k20）在第一象限内的图象如图，动点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B．求证：四边形PAOB的面积是定值． 【答案】见解析 【分析】由在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，所构成的矩形的面积是|k|，且保持不变，得出S矩形OCPD=k1，S△AOC=S△DBO=k2，再根据四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣S△AOC﹣S△DBO，化简后即可求出四边形PAOB的面积是k1﹣k2，为定值． 【详解】证明：∵动点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B， ∴S矩形OCPD=k1，S△AOC=S△DBO=k2， ∴四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣S△AOC﹣S△DBO=k1﹣2×k2=k1﹣k2． ∴四边形PAOB的面积是定值． 【点睛】本题考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点． 45．已知：关于的一元二次方程的两根，满足，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于（如图），求． 【答案】 【分析】首先由一元二次方程根的判别式得出的取值范围，然后由得出或，再运用一元二次方程根与系数的关系求出的值，由的几何意义，可知．如果过作于，则．易证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，最后由，得出结果． 【详解】解：有两根， ， 即． 由得：． 当时，，解得，不合题意，舍去； 当时，，， 解得：符合题意． ， 双曲线的解析式为：． 过作于，则． ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用． 46．如图，已知一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，且，点在反比例函数的图像上． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线交轴于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于，则，通过证得，求得的横坐标，代入一次函数解析式求得坐标，把点的坐标代入即可求得反比例函数的解析式； （2）通过反比例函数解析式求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求得点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过点作轴于，则， ∴， ∴， ∵一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的横坐标为， 把代入得，， ∴C（2，6）， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数为． （2）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求得反比例函数、一次函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． 47．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3交y轴于点A，交反比例函数y＝（k＜0）的图象于点D，y＝（k＜0）的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连接OD． （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）求AOD的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据矩形的面积即可求出反比例函数的解析式； （2）解方程组求出反比例函数与一次函数的交点，确定点D的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）∵矩形OABC的面积为4，双曲线在第二象限， ∴k=﹣4， ∴反比例函数的表达式为； （2））∵直线y＝﹣x+3交y轴于点A， ∴点A的坐标为(0，3)，即OA＝3， ∴， 解得：或， ∵点D在第二象限， ∴点D的坐标为(-1，4)， ∴△AOD的面积＝． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数的系数k的几何意义、解方程组求出反比例函数与一次函数的交点是解题的关键． 48．如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，求的面积．    【答案】 【分析】根据反比例函数的坐标特征得到，解得，；由反比例函数系数的几何意义，根据求得即可． 【详解】解：点、是函数图象上的两点， ， 解得，， 、， 作轴于，轴于，    ∴由反比例函数k的几何意义可知， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，根据图象得到是解题的关键． 49．在反比例函数的图像上有一点，且的横坐标为2，过点作轴，垂足为，作轴，垂足为． （1）求点的坐标及长方形的面积； （2）若一过原点的直线与长方形两边所围成三角形的面积为2，求该直线的函数解析式； （3）若直线与长方形两边所围成的三角形面积为，求与的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】（1），8；（2）或；（3）或 【分析】（1）令代入即可得出点坐标，由的几何意义即可得出长方形的面积； （2）如图，设直线的解析式为，分两种情况讨论：①当直线与、边围成的面积为2，②当直线与、边围成的面积为2，可写出交点坐标，由面积公式即可求出； （3）由（2）即可写出与的函数关系式． 【详解】（1）令代入得：， ， 轴, 轴， ； （2） 由（1）知，，， ，， 如图所示：①当直线与、边围成的面积为2， 设直线的解析式为，交边为， ，解得，所以直线的解析式为； ②当直线与、边围成的面积为2， 设直线的解析式为，交边为， ，解得，所以直线的解析式为； （3）由（2）可得: ①当直线与、边围成的面积为，， ， ②当直线与、边围成的面积为， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数综合应用，掌握的几何意义，运用数形结合思想分情况讨论是解题的关键． 50．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）． （1）求图象过点B的反比例函数的解析式； （2）求图象过点A，B的一次函数的解析式； （3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．    【答案】（1）；（2）；（3）0＜x＜3． 【详解】分析：（1）由点C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）由菱形的边长确定出点A坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意的x的范围即可． 详解：（1）由点C的坐标为（1，），得到OC=2， ∵四边形OABC是菱形， ∴BC=OC=OA=2，BC∥x轴， ∴B（3，）， 设反比例函数解析式为y=， 把B坐标代入得：k=3， 则反比例函数解析式为y=； （2）设直线AB的解析式为y=mx+n， 把A（2，0），B（3，）代入得：， 解得： 则直线AB的解析式为y=x﹣2； （3）联立得：， 解得：或，即一次函数与反比例函数图象的交点坐标为（3，）或（﹣1，﹣3）， 则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为0＜x＜3． 点睛：此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数图象的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$