微专题02 乘法公式通关专练-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

微专题02 乘法公式通关专练 一、单选题 1．下列运算正确的是(   ) A． B． C． D． 2．下列各式计算正确的是（ ） A．2a+3b="6ab" B．a8÷a2=a4 C．（﹣2a2）3=﹣8a6 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2 3．已知实数m，n满足，则的最小值为（　 　） A． B． C． D． 4．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 5．已知a＋b＝5，ab＝3，则a2＋b2的值为（      ） A．19 B．25 C．8 D．6 6．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把正确结果的最后一项染黑了，正确的结果为，则被染黑的这一项应是（　　） A． B． C． D． 7．下列各式中，不能应用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是 （  ） A．(x＋2y)(x＋2y)＝x2＋4y2 B．(x－2)2＝x2－4 C．(x＋2)(x－3)＝x2＋x－6 D．(－x－1)(x－1)＝1－x2 9．在下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 10．已知实数m，n满足m﹣n2=2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（ ） A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16 11．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 13．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（　　） A．31 B．41 C．16 D．54 14．已知a= x+18， b= x+17，c= x+16，那么代数式++-ab-bc-ac的值是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．已知满足，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 16．下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 17．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 18．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 19．如图1，将一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿虚线裁开，把它分成四块形状大小一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（　　） A． B． C． D． 20．若是完全平方式，则常数k的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 二、填空题 21．如果，则 22．计算：992＋198＋1＝ ． 23． ． 24．已知，则代数-3x+3y+a+b的值是 ． 25．若实数a，b满足a﹣2b＝4，ab＝2，那么a2+4b2＝ ． 26．已知，则 ． 27．如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，其面积之和比其余面积（阴影部分）多25 平方米，则主卧与客卧的周长差为 ． 28．多项式++1是一个完全平方式，则= ． 29．已知x－＝5，则＋＝ 30．已知，，则 ． 31．已知，，则 ． 32．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的图案，已知该图案的面积为25，小正方形的面积为4，若用x，y表示小长方形的两邻边长（y＜x），则下列关系中正确的是 （填写序号）   ①x+y=5    ②x-y=2      ③4xy+4=25    ④y2+x2=25 33．已知，（m为任意实数），则P、Q的大小关系为P Q． 34．若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝ ． 35．如图，一块直径为的圆形彩色纸板，从中挖去直径分别为与的两个小圆，若，，则剩下的纸板的面积是 ． 三、解答题 36．先化简，再求值：4x（x﹣1）﹣（2x+1）（2x﹣1），其中x＝﹣1． 37．（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． ①请你检验这个等式的正确性． ②若，，，求出的值． （2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若，，求出的值． 38．计算： （1）；        （2） 39．计算： (1)； (2)． 40．小明发现：三个连续的正整数，中间正整数的平方的3倍与2的和等于这三个正整数的平方和． (1)验证：请把表示成三个连续的正整数的平方和． (2)探究：设小明“发现”中的中间正整数为n，请用含n的式子表示“发现”内容，并说明“发现”中结论的正确性． 41．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①； ②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果： ． 42．因式分解： (1) (2) (3)． 43．先化简，再求值： ，其中． 44．已知，求代数式的值 45．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是________；（请选择正确的一个） ①； ②； ③． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： 已知，，求的值． 46．我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加的简洁明了，从而更助于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试： (1)用代数式表示： ①a与b的差的平方； ②a与b的平方和与a，b两数积的2倍的差． (2)当，时，求第（1）题中①②所列的代数式的值． (3)由第（2）题的结果，你发现了什么等式? (4)利用你发现的结论，求：的值． 47．观察下列式子：2×4+1＝9；4×6+1＝25；6×8+1＝49；… （1）请你根据上面式子的规律直接写出第4个式子：　 　； （2）探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明等式成立的理由． 48．有一电脑程序：每按一次按键．屏幕的A区就会自动加上，同时B区就会自动减去．已知A，B两区初始状态显示的分别是和6（如图1），如图2是第一次按键后，A，B两区分别显示的结果． (1)从初始状态开始按键1次后，求A，B两区代数式的和． (2)从初始状态开始按键2次后，求A，B两区代数式的积．并求出这个积的最大值． 49．先化简，再求值： （1），其中． （2）求当，代数式的值． 50．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”． （1）28是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k＋2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 乘法公式通关专练 一、单选题 1．下列运算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，单项式乘法法则，幂的乘方，乘法的完全平方公式进行计算即可解答． 【详解】解：A． ，故A选项错误； B． ，故B选项错误； C． ，故C选项正确； D． ，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，单项式乘法法则，幂的乘方，乘法的完全平方公式，熟练掌握它们运算法则是解题的关键． 2．下列各式计算正确的是（ ） A．2a+3b="6ab" B．a8÷a2=a4 C．（﹣2a2）3=﹣8a6 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2 【答案】C 【详解】试题分析：A、2a+3b=2a+3b，故错误；B、a8÷a2=a6，故错误；C、（﹣2a2）3=﹣8a6，故正确；D、（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2，故错误；故选C． 考点：①同底数幂的除法；②合并同类项；③幂的乘方与积的乘方；④完全平方公式． 3．已知实数m，n满足，则的最小值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简，再判断出，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴（当时，取等号）， ∴， ∴（当时，取等号）， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简是解本题的关键． 4．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积问题．利用分割法表示出阴影部分的面积，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积为： ； ∵， ∴原式； 故选C． 5．已知a＋b＝5，ab＝3，则a2＋b2的值为（      ） A．19 B．25 C．8 D．6 【答案】A 【分析】先根据完全平方公式得到a2+b2=（a+b）2-2ab，然后把a+b=5，ab=3整体代入计算即可. 【详解】因为a2+b2=（a+b）2-2ab，a+b=5，ab=3，所以a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19. 【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了整体代入的思想运用． 6．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把正确结果的最后一项染黑了，正确的结果为，则被染黑的这一项应是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：∵， ∴被染黑的这一项应是． 故选：C． 7．下列各式中，不能应用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的特点判断即可． 【详解】解：A、符合平方差公式的特点，故不符合题意； B、符合平方差公式的特点，故不符合题意； C、符合平方差公式的特点，故不符合题意； D、不符合平方差公式的特点，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了平方差公式：，即两个数的和乘以这两个数的差，掌握公式的特点是解题的 关键． 8．下列计算正确的是 （  ） A．(x＋2y)(x＋2y)＝x2＋4y2 B．(x－2)2＝x2－4 C．(x＋2)(x－3)＝x2＋x－6 D．(－x－1)(x－1)＝1－x2 【答案】D 【分析】分别根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的法则逐一判断即可得． 【详解】A. (x＋2y)(x＋2y)＝x2＋4xy+4y2，故选项A错误，不符合题意； B. (x－2)2＝x2－4x+4，故选项B错误，不符合题意； C. (x＋2)(x－3)＝x2-x－6，故选项C错误，不符合题意；     D. (－x－1)(x－1)＝1－x2，故选项D正确，符合题意；     故选D． 【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的法则． 9．在下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个数的和乘以这两个数的差，得这两个数的平方的差，能用平方差公式计算的整式的特点是：两个数的和乘以这两个数的差，据此解答． 【详解】A、符合特点，能用平方差公式计算； B、符合特点，能用平方差公式计算； C、不符合特点，不能用平方差公式计算； D、符合特点，能用平方差公式计算； 故选：C． 【点睛】此题考查整式乘法的平方差计算公式的特点，熟记平方差计算公式是解题的关键． 10．已知实数m，n满足m﹣n2=2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（ ） A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16 【答案】A 【详解】试题分析：把m﹣n2=2变形为n2=m﹣2，代入所求式子，根据配方法进行变形，利用偶次方的非负性解答即可． 解：∵m﹣n2=2， ∴n2=m﹣2≥0，m≥2， ∴m2+2n2+4m﹣3 =m2+2m﹣4+4m﹣3 =m2+6m+9﹣16 =（m+3）2﹣16， 则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（2+3）2﹣16=9． 故选A． 考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方． 11．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方幂的乘方，同底数幂的除法等运算法则逐项进行计算即可得出结论． 【详解】解：、，本选项错误，不符合题意； 、，本选项错误，不符合题意； 、，本选项错误，不符合题意； 、，本选项正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握这些运算法则是解答本题的关键． 12．已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值．熟练掌握完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值是解题的关键． 由题意知，即，计算求出的值，最后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 13．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（　　） A．31 B．41 C．16 D．54 【答案】D 【分析】根据数字的特点，分别将31、41和16写成两个正整数的平方差的形式，而54不能写成两个正整数数的平方差的形式，则问题得解． 【详解】解：∵31＝（16+15）（16﹣15）＝162﹣152， 41＝（21+20）（21﹣20）＝212﹣202， 16＝（5+3）（5﹣3）＝52﹣32， 54不能表示成两个正整数的平方差． ∴31、41和16是“创新数”，而54不是“创新数”． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式在新定义类计算中的简单应用，正确将所给的数字拆成平方差的形式是解题的关键． 14．已知a= x+18， b= x+17，c= x+16，那么代数式++-ab-bc-ac的值是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由a= x+18， b= x+17，c= x+16，可求出，，，然后根据，即可求得答案． 【详解】解：∵a= x+18， b= x+17，c= x+16， ∴，，， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式的运算、完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式把转化成，从而达到化繁为简的效果，属于中档题型． 15．已知满足，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，两式相加可得，根据完全平方式将其变形为，由非负数的性质即可得出，的值，以此即可求解． 【详解】解：，， ，， 两式相加得：， 即， ， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题关键是熟练掌握完全平方公式：． 16．下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的除法运算法则判断A，利用单项式除以单项式的计算法则判断B，利用完全平方公式判断C，利用积的乘方运算法则判断D． 【详解】解：A、a6÷a2=a4，正确，故此选项不符合题意； B、3a2b÷b=3a2，正确，故此选项不符合题意； C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项符合题意； D、（-2a2）3=-8a6，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的除法am÷an=am-n，幂的乘方（am）n=amn，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，掌握运算法则是解题关键． 17．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意先利用多项式相乘的计算法则去括号，再进行同类型合并化简即可. 【详解】解：. 【点睛】本题考查整式的混合运算与化简，熟练掌握多项式相乘的计算法则以及合并同类项法则进行计算是解题的关键. 18．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，积的乘方运算，再利用各自的运算法则逐一分析即可，熟记运算法则是解本题的关键． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 19．如图1，将一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿虚线裁开，把它分成四块形状大小一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键确定空白正方形的边长．据此解答即可． 【详解】解：由题意得：图2中空白部分是一个边长为的正方形， ∴中间空白部分的面积是． 故选：C． 20．若是完全平方式，则常数k的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先将转化成的形式，再计算即可． 【详解】解：， ∵是完全平方式， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 二、填空题 21．如果，则 【答案】8 【分析】把已知变形得到x2=1-x，x+1-=0，再推出x3=x-x2，= x+1，求得= x3+3x2+3x+1， 然后代入原式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴x2=1-x，x+1-=0， ∴x3=x-x2，= x+1， ∴= (x+1)3=(x+1)(x+1)2=(x+1)(x2+2x+1)= x3+3x2+3x+1， ∴ =2x2+x3+3x2+3x+1+3 =x3+5x2+3x+4 = x-x2+5x2+3x+4 =4x2+4x+4 =4(x2+x+1) =4(1-x+x+1) =8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，利用已知变形得到= x3+3x2+3x+1，是解题的关键． 22．计算：992＋198＋1＝ ． 【答案】10000 【分析】将992化为后利用完全平方公式计算，再将结果相加即可． 【详解】解：原式= = =10000． 故答案为：10000． 【点睛】本题考查用完全平方公式简便运算．熟记完全平方公式并能对原式正确变形是解题关键． 23． ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．已知，则代数-3x+3y+a+b的值是 ． 【答案】-13． 【分析】先由条件求出x-y与a+b的值，将代数式整理后整体代入求值即可． 【详解】∵∣x−y−3∣+(a+b+4)2=0,∣x−y−3∣≥0，(a+b+4)2≥0， ∴x-y=3，a+b=-4， ∴代数-3x+3y+a+b=-3（x-y）+a+b=-3×3+(-4)=-9-4=-13． 故答案为：-13． 【点睛】本题考查代数式的值问题，关键掌握非负数的性质，会利用性质求出x-y与a+b的值，会把代数式整理，整体代入求值． 25．若实数a，b满足a﹣2b＝4，ab＝2，那么a2+4b2＝ ． 【答案】24 【分析】根据题意可知a2+4b2可以分解为（a﹣2b）2+4ab  ，即可解答 【详解】∵实数a，b满足a﹣2b＝4，ab＝2， ∴a2+4b2＝（a﹣2b）2+4ab＝42+4×2＝24． 故答案是：24． 【点睛】此题主要考查二元一次方程的解，解题关键在于把a2+4b2转化为（a﹣2b）2+4ab 26．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式及偶次方的非负性，解题的关键是熟记完全平方公式．直接根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴，即 故答案为1． 27．如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，其面积之和比其余面积（阴影部分）多25 平方米，则主卧与客卧的周长差为 ． 【答案】20 【分析】设客卧边长为，主卧边长为，，根据题意列方程可得，即可求出主卧与客卧的周长差． 【详解】设客卧边长为，主卧边长为， ∵ ∴ ∴ 主卧与客卧的周长差 故答案为：20． 【点睛】本题考查了二元一次方程的问题，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． 28．多项式++1是一个完全平方式，则= ． 【答案】 【分析】根据完全平方式得出ax=±2×5x×1，再求出即可． 【详解】解：∵多项式25x2+ax+1是一个完全平方式， ∴ax=±2×5x×1 解得：k=±10， 故答案为：±10． 【点睛】本题考查理了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2-2ab+b2． 29．已知x－＝5，则＋＝ 【答案】27 【分析】根据题目将x－＝5两边平方，便可求解了. 【详解】解：x－＝5 ＋-2=25 ＋=27 【点睛】根据题目特点，进行平方运算，便可找到答案.务必熟悉这类题目，属于常考题. 30．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的展开，两式相加消去两字母积即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴，， 两式相加得， ， ∴， 故答案为：． 31．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】根据进行代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． 32．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的图案，已知该图案的面积为25，小正方形的面积为4，若用x，y表示小长方形的两邻边长（y＜x），则下列关系中正确的是 （填写序号）   ①x+y=5    ②x-y=2      ③4xy+4=25    ④y2+x2=25 【答案】①②③ 【详解】因为正方形图案的边长5，同时还可用（x+y）来表示，故①x+y=5正确； 因为正方形图案面积从整体看是25， 从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4）， 所以有（x+y）2=25，4xy+4=25，即xy=， 所以（x-y）2=（x+y）2-4xy=25-21=4，即x-y=2， 故②、③正确； x2+y2=（x+y）2-2xy=25-2×=，故④错误， 故答案为①②③. 33．已知，（m为任意实数），则P、Q的大小关系为P Q． 【答案】＜ 【分析】用Q减去P，利用完全平方公式变形，得出差与0的大小，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ = = = ∴Q＞P，即P＜Q， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了完全平方公式在代数式的值大小比较中的应用，熟练掌握完全平方公式及求差比大小的方法，是解题的关键． 34．若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝ ． 【答案】4． 【分析】把m3n+mn3+2m2n2因式分解后，再根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵m+n＝2，mn＝1， ∴m3n+mn3+2m2n2 ＝mn（m2+2mn+n2） ＝mn（m+n）2 ＝1×22 ＝4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 35．如图，一块直径为的圆形彩色纸板，从中挖去直径分别为与的两个小圆，若，，则剩下的纸板的面积是 ． 【答案】 【分析】由图可知剩余部分的面积等于大圆面积减去两个挖去的小圆面积，利用圆的面积公式即可列式、化简，然后利用完全平方式计算即可． 【详解】根据题意得，阴影部分的面积， 化简可得，， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的面积、完全平方式、整式的混合运算，应用完全平方式求得是解题的关键． 三、解答题 36．先化简，再求值：4x（x﹣1）﹣（2x+1）（2x﹣1），其中x＝﹣1． 【答案】﹣4x+1，5 【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并化简得到最简结果，把x的值代入计算即可求出结果． 【详解】解：原式＝4x2﹣4x﹣4x2+1 ＝﹣4x+1 当x＝﹣1时，原式＝4+1＝5 【点睛】本题主要考查化简求值题型，熟练运用单项式乘以多项式、平方差公式等知识点是解题的关键，属于基础题型． 37．（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． ①请你检验这个等式的正确性． ②若，，，求出的值． （2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若，，求出的值． 【答案】（1）①见解析；②3；（2） 【分析】（1）①利用完全平方公式将等式右边展开，合并同类项即可得到结论； ②将数值代入计算即可； （2）根据，，利用求出结果即可． 【详解】解：（1）①等式右边 ， ∴左边右边， ∴式子正确； ②当，，时， ； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查整式的乘法公式—完全平方公式，已知字母的值求代数式的值，等式的变形计算，正确掌握等式各项之间的关系是解题的关键． 38．计算： （1）；        （2） 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据幂与整式的混合运算法则即可求解；         （2）根据整式的混合运算法则即可求解． 【详解】（1） = =； （2） = = =． 【点睛】此题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟知幂的运算、整式的混合运算及乘法公式的运用． 39．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)2500 【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值； （2）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】此题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 40．小明发现：三个连续的正整数，中间正整数的平方的3倍与2的和等于这三个正整数的平方和． (1)验证：请把表示成三个连续的正整数的平方和． (2)探究：设小明“发现”中的中间正整数为n，请用含n的式子表示“发现”内容，并说明“发现”中结论的正确性． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）依据题意，分别计算，进而可以得解； （2）首先写出结论，然后分别计算等式的左边与右边，进而可以得解． 本题主要考查了整式的混合运算，解题时要熟练掌握并准确进行计算． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：由题意，． 上式右边左边． 等式成立． 41．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①； ②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果： ． 【答案】(1)，， (2)①；②； (3) 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）配上因式后，连续利用平方差公式进行计算，得出答案． 【详解】（1）解：图（1）中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图（2）中阴影部分是长为，宽为的长方形， 因此其面积为， 由于图1、图2阴影部分的面积相等可得，， 故答案为：，，； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积是正确解答的前提． 42．因式分解： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解 （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解 （3）用十字相乘法进行因式分解 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【点睛】本题考查利用公式法和十字相乘法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 43．先化简，再求值： ，其中． 【答案】，6 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ，， ， 当时，原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 44．已知，求代数式的值 【答案】3 【分析】先把代数式进行化简，然后利用整体代入进行求解即可． 【详解】原式 由得 所以原式 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式及单项式乘以单项式，还结合了整式的化简求值，熟练掌握运算法则及整体思想是解题的关键． 45．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是________；（请选择正确的一个） ①； ②； ③． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： 已知，，求的值． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此可以得出的等式，故②正确； 故答案为：②． （2）解：∵， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 46．我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加的简洁明了，从而更助于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试： (1)用代数式表示： ①a与b的差的平方； ②a与b的平方和与a，b两数积的2倍的差． (2)当，时，求第（1）题中①②所列的代数式的值． (3)由第（2）题的结果，你发现了什么等式? (4)利用你发现的结论，求：的值． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3) (4) 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据（1）中代数式，将，代入求值即可； （3）根据（2）中代数式的值相等即可得出； （4）利用（3）中的等式，将按照等式形式表示即可求出． 【详解】（1）解：①a与b的差的平方：； ②a与b的平方和：；a，b两数积的2倍：， a与b的平方和与a，b两数积的2倍的差：； （2）解：当，时， ①； ②； （3）解：根据（2）可知：； （4）解：， ． 【点睛】本题考查代数式相关知识，根据题意列出代数式，并按要求找出等式是解决问题的关键． 47．观察下列式子：2×4+1＝9；4×6+1＝25；6×8+1＝49；… （1）请你根据上面式子的规律直接写出第4个式子：　 　； （2）探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明等式成立的理由． 【答案】（1）8×10+1＝81；（2）2n(2n+1)+1＝(2n+1)2，理由见解析． 【分析】（1）根据上面式子的规律即可写出第4个式子； （2）探索以上式子的规律，结合(1)即可写出第n个等式． 【详解】解：观察下列式子：2×4+1＝9＝32；4×6+1＝25＝52：6×8+1＝49＝72；… （1）发现规律：第4个式子：8×10+1＝81＝92； 故答案为：8×10+1＝81； （2）第n个等式为：2n(2n+1)+1＝(2n+1)2， 理由：2n(2n+1)+1＝4n2+4n+1＝(2n+1)2． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律，总结规律． 48．有一电脑程序：每按一次按键．屏幕的A区就会自动加上，同时B区就会自动减去．已知A，B两区初始状态显示的分别是和6（如图1），如图2是第一次按键后，A，B两区分别显示的结果． (1)从初始状态开始按键1次后，求A，B两区代数式的和． (2)从初始状态开始按键2次后，求A，B两区代数式的积．并求出这个积的最大值． 【答案】(1)2 (2)；积的最大值为1 【分析】（1）根据图2中A，B两区的代数式计算求值即可； （2）由题意得出A、B两区的代数式，再计算代数式的积，利用配方法求最大值即可. 【详解】（1）解：由题意得A，B两区代数式的和=； （2）解：从初始状态开始按键2次后， A区代数式为：-4+a，B区代数式为：-6-a， ∴两区代数式的积=， 当a=5时，积有最大值1. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握完全平方公式是解题关键． 49．先化简，再求值： （1），其中． （2）求当，代数式的值． 【答案】（1），-11；（2）25 【分析】（1）原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值； （2）原式利用，单项式乘以多项式以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式整体代入计算即可． 【详解】解：（1） = = 当时， 原式==-11； （2） = = ∵， ∴， ∴原式===25． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 50．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”． （1）28是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k＋2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ 【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析． 【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28写成两个连续偶数的平方差即可； （2）计算，整理即可得到结果． 【详解】（1）是， ∵， ∴28是“神秘数”； （2）是， ∵， k取非负整数 故两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数． 【点睛】本题是一道新定义类型的题目，主要考查了整式的运算，熟练运算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$