4.4.2二面角基础同步练习-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

4.4.2 二面角基础练习答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D C C C C D D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A B B D A B C B B B 题号 21 22 23 24 25 答案 C C B B B 2、 填空题 26． 27．/ 28． 29． 30．/ 31．或 32． 33． 34．或 35．1 3、 解答题 36．【答案】． 【分析】根据二面角的定义找到二面角的平面角易得答案. 【详解】解：∵平面，平面，平面， ∴，， ∴是二面角的平面角， ∵， ∴二面角的大小为． 37．【答案】． 【分析】先找到二面角的平面角，再在三角形中求出所要角的度数易得答案. 【详解】如图，设平面于O，连接AO，则为AB与平面所成的角． 作于D，连接DO． 平面，． ，平面BOD，平面BOD，， 平面BOD． 又平面OBD，． 就是二面角的平面角． 设，则在中， ． 在中，， ． 在中， ， ． ∴二面角为． 38．【答案】 【分析】结合线面垂直找出二面角的平面角后计算即可． 【详解】如图，设确定平面，直线l与平面相交于点O．连接． 因为，所以； 因为，所以， 故直线平面，所以， 所以为二面角的平面角． 因为， 所以二面角的度数是． 39．【答案】． 【分析】由题意知，，，因此三角形,三角形，三角形,都是直角三角形，利用勾股定理即可求出线段的长. 【详解】解：由题意知． ∵，， ∴， ， ∴． 40．【答案】(1)AB，AC，PB．（答案不唯一） (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义结合所给图形即可得出； （2）先找出二面角的平面角,再利用余弦定理进行求解. 【详解】（1）与EF异面的直线有：AB，AC，PB．（答案不唯一） （2）如图，取AB中点D，连接PD，CD．    ∵是正四面体，AB的中点D， ∴是正三角形，则． ∴是二面角的平面角， 在中，， ∴. 41．【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据底面是菱形，计算菱形面积，再根据棱锥体积公式计算. （2）先找到半平面PAC与底面ABCD所成二面角的平面角，再根据边的关系计算余弦值. 【详解】（1）因为，，底面为菱形， ∴，，即. . 所以. （2）∵平面ABCD，平面，. 而为菱形，即，且平面，. ∴平面. 而平面，故. 所以，和为半平面PAC与底面ABCD所成二面角的平面角. 在中，，，所以，得到， 因为和互为补角，所以 . 所以，半平面PAC与底面ABCD所成二面角的余弦值为或. 42．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件建系，然后求平面的法向量，最后根据向量内积求出距离即可. （2）根据已知条件和第（1）问条件，求得另一平面的法向量，再根据两法向量夹角公式即可求得二面角余弦值. 【详解】（1） 以为轴，以为轴，以为轴建系，连接， 所以， 所以，，， 设为平面的一个法向量， ，不妨令，则可得，此时， 所以. （2）易知平面的一个法向量为， 所以， 故二面角平面角的余弦值为：. 43．【答案】 【分析】作斜边上的高AD，连接PD，证明线线垂直，可得就是二面角的平面角，通过勾股定理及三角形面积的不同计算方法求得的正切值，即可求解二面角. 【详解】作斜边上的高AD，连接PD， 因为平面ABC，平面ABC， 所以，， 又因为，，平面PAD， 所以平面PAD，平面PAD， 所以，又因为， 则就是二面角的平面角， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以在直角三角形中，， 所以， 即二面角为. 44．【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据柱体、锥体体积公式计算，可得结果； （2）取中点，找到二面角的平面角，然后根据余弦定理计算即可. 【详解】（1）设，依题意可得，解得， 故棱的长为4. （2）取中点，连结、， 因为取、，所以就是二面角的平面角， 又、、，由余弦定理可知，， 所以二面角的余弦值为. 45．【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到两个半平面的公共棱，利用等腰三角形的中线与底边垂直，得到二面角的平面角，再借助边的关系求解即可. （2）先由点B向平面内的一条线做垂直，再证明线面垂直，利用面积的关系即可求解点到面的距离. 【详解】（1）取AC中点记作E，连接BE，， 因为为正三棱柱，为正三角形， E为AC中点，所以有， 又因为和是正三棱柱侧面的两条对角线， 所以， E为AC中点，所以有， 所以为二面角的平面角， 因为正三棱柱底面边长为2，所以， 又因为侧棱长为， 侧棱垂直于底面，即， 所以在直角三角形，， 所以， 所以二面角的大小为. （2）由点B向做，垂直为点F，连接BF， 由（1）知，，， 所以AC垂直于面内的两条相交直线， 所以面，面， 所以， 又因为， 所以BF垂直于面内的两条相交直线， 即BF为点B到面的距离， 由（1）知在直角三角形，， 所以， 又因为侧棱垂直于底面，即， 所以在中有，， 解得， 所以点到平面的距离为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4.2 二面角基础练习试卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫作二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的平面角是空间图形．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 3．如图正方体中，二面角的平面角是（    ） A． B． C． D． 4．已知二面角的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 5．在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一面的距离的倍，那么这个二面角的度数是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 6．二面角是指（    ） A．两个相交平面组成的图形 B．从一个平面内的一条直线出发的一个半平面和这个平面组成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．过棱上一点在两个面内分别作棱的垂线，这两条射线所成角 7．以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，折叠时使二面角为90°，此时为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法：①二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系；②当二面角的平面角为直角时，称为直二面角；③两个相交平面形成四个二面角．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．二面角是指（    ） A．两个平面相交所组成的图形 B．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形 C．从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形 D．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 10．长方体中，，，则二面角为（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，已知边长为2的菱形中，，沿对角线折成空间四边形，使二面角的大小为60°，则的长是（    ）        A． B． C． D． 12．如图，已知矩形中，是的中点，又是平面外一点，且平面，则二面角的平面角为（    ）    A． B． C． D．以上均不是 13．如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 14．二面角的范围是（    ） A． B． C． D． 15．如图，己知菱形的边长为10，，将这个菱形沿对角线折成的二面角，则A，C两点间的距离为（    ） A．5 B．15 C． D．7.5 16．如图，在长方体中，，，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 17．如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． B． C． D． 18．已知点A是二面角内一点，且二面角是，，，、为垂足，若，则线段的长是（    ）    A． B． C． D． 19．正三棱锥的高是，侧棱长为，那么侧面与底面所成的二面角是（    ） A． B． C． D． 20．如图所示，二面角的大小为，从空间一点P向二面角的两个面α，β分别作垂线PE，PF，垂足分别是E，F，，，则点E，F之间的距离为（        ）    A．2 B． C． D．3 21．三棱锥中，，，，则二面角等于（    ）    A． B． C． D． 22．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 23．正方体中，二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 24．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（    ）    A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角所成的角为 D．异面直线与所成的角为 25．如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 26．若是二面角的平面角，则的范围是 ． 27．在正方体-中，平面与平面所成的角是 28．在二面角内有一点P，过P作于点A，作于点B，若，则二面角的大小为 . 29．如图，，，，，图中二面角的平面角是 ． 30．如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是 ． 31．点在二面角的平面上，点到平面的距离为，点到棱的距离为，则二面角的大小为 ． 32．如果一个二面角的平面角大小为，那么从一个平面内任一点到另一个平面的距离与该点到棱的距离之比为 ． 33．边长为的正方形沿对角线折叠成直二面角后，的长为 ． 34．在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面距离的倍，则这个二面角的大小为 . 35．正三棱锥的底面边长是2，侧面和底面所成的二面角为，则正三棱锥高的长度为 . 三、解答题 36．如图所示，在三棱锥中，平面，，求二面角的大小．      37．如图，在小于的二面角中，，，AB与成角，求二面角的度数． 38．如图所示，在二面角内有一点A，过A作于B，作于C，如果，那么二面角是多少度？ 39．如图，二面角的大小是，点、是棱上的两点，线段、分别在平面、内，，，，，，求线段的长．    40．如图所示，已知正四面体各棱长为2，E，F分别为和的中点．    (1)写出与异面的任意三条直线； (2)求二面角的平面角的余弦值； 41．如图所示，已知四棱锥，底面为菱形，，交于点，平面ABCD，且，.    (1)求四棱锥的体积； (2)求半平面PAC与底面ABCD所成二面角的余弦值. 42．如图，棱长为a的正方体中，求： (1)点C到平面的距离； (2)二面角平面角的余弦值. 43．如图所示，已知直角三角形的直角边的长分别是平面，求二面角的大小． 44．在长方体中，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为. (1)求棱的长； (2)求二面角的余弦值. 45．如图所示，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为．求： (1)二面角的大小； (2)求点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$