期末动点问题专题训练--2024-2025学年沪科版七年级上册数学期末提升专题训练

期末动点问题专题训练--2024-2025学年沪科版七年级上册数学期末提升专题训练 1．已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2． (1)求线段AC，CB的长； (2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm． ①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 2．如图，已知线段AB=18cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． (1)若点C恰好是AB中点，则DE=______cm； (2)若AC=8cm，求DE的长． (3)说明不论AC取何值（不超过18cm），DE的长不变． 3．已知数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B 表示的数是 ； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q 同时出发．如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P，B，Q为一组“平衡点”．求出点P运动多少秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”？ (3)若点P出发2秒后点Q再从点B 出发，并以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动至点处加速，以每秒5个单位长度的速度继续向左运动．直接写出当t等于何值时，P，Q之间的距离为6？ 4．如图，已知点C在线段AB上，线段AC=12厘米，BC=8厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)求线段MN的长； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其它条件不变，直接写出MN的长度； (3)动点P、Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒，是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，点B在线段AC上，且，．动点P从点A出发，沿AC以每秒3个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动。设点P的运动时间为t（s）． (1)线段AB、BC的中点之间的距离为______， (2)当点P到点C时，求PQ的长． (3)求PQ的长（用含t的代数式表示） (4)设时，直接写出t的值． 6．如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： （1）请在数轴上标出原点O的位置． （2）直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ （3）①若点F在数轴上，与点C的距离CF＝3.5，求点F表示的数； ②设动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速向终点D运动，运动时间为t秒，求点P，C之间的距离CP．(用含t的代数式表示) 7．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示数1，下列各数﹣1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是　　； （2）点A表示数﹣10，点B表示数20，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，则此时点P表示的数是　　； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 8．如图，数轴上点A、B分别表示的数是﹣2、6，动点P从A点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴运动，设运动时间为t秒． （1）AB长为　 　个单位长度； （2）当t＝2时，此时P点表示的数是　 　； （3）若另一动点Q从B点处与P点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴运动，经过多少秒后，点P、Q重合． 9．如图，数轴上三点、、对应的数是分别是、、，且，，若用表示、两点的距离，表示、两点的距离，则． （1）求的值． （2）若动点以每秒2个单位长度的速度从点向右出发运动，则动点运动多少秒时，动点到、两点的距离之和为12？ （3）若动点从点、动点从点同时向右运动，当动点运动到点时，动点、同时停止运动．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，已知动点运动的速度为每秒3个单位长度，动点运动的速度为每秒2个单位长度，请直接写出线段、、之间的数量关系． 10．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）求a、b、c的值； （2）若点P运动到A、B之间，且到A点距离是到B点距离的2倍，求此时点P的对应的数；若运动到B、C之间时，是否存在点P，使它到A点距离是到B点距离的2倍，如果存在，请求出它所对应的数，如果不存在，请说明理由； （3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向终点C点运动，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为8？请说明理由． 11．如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别是-3，3和1，两动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒6个单位的速度沿往返运动，回到点A停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B匀速运动，设点P的运动时间为． （1）当点Р到达点B时，求点Q所表示的数是_________； （2）当时，求线段PQ的长； （3）当点P从点A向点B运动时，用含t的式子表示点P，Q之间的距离； （4）在整个运动过程中，当P，Q两点到点C的距离相等时，直接写出t的值． 12．如图，数轴上点A，B表示的数为a，b满足，动点P从A点出发，以每秒5个单位的长度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． （1）直接写出________，________； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若P、Q同时出发，问多少秒后P，Q之间的距离为2？ （3）若M为的中点，N为的中点，在点P运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的长度． 13．如图，点 A， B，C 在数轴上表示的数分别是3，3 和 1．动点 P ， Q 同时出发，动点 P 从点 A 出发，以每秒 6个单位的速度沿 A B向终点 B匀速运动；动点Q 从点C 出发，以每秒 1个单位的速度沿C B 向终点 B 匀速运动，当P、Q都到达终点后停止运动．设点 P 的运动时间为t(s) ． （1）当点 P 到达点 B 时，点Q 所表示的数是 ； （2）当t 0.5时，线段 PQ 的长为 ； （3）在整个运动过程中，当 P ， Q 两点到点C 的距离相等时，求t 的值． 14．已知在数轴上对应的数分别用表示，并且满足方程． （1）求线段的长； （2）动点分别从两点同时出发沿数轴向左运动，点的运动速度分别为3个单位长度/秒和2个单位长度/秒．设运动的时间为秒，请用含的式子表示线段的长； （3）在（2）的条件下，点是线段中点，当时，求的值． 15．把下列解答过程补充完整： 如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点M，N分别是和的中点． （1）若点C恰为的中点，求的长； （2）若，求的长； （3）试猜想：不论取何值（不超过），的长总等于_______________． 16．在数轴上原点表示数0，点表示的数是，点表示的数是，并且满足． （1）点表示的数为________，点表示的数为________； （2）若动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动的时间为秒，并且两点在点相遇．试求值及点所表示的数； （3）在（2）的条件下，若点运动到达点后按原速立即返回，点继续按原速原方向运动，点离开点多少秒后，两点的距离为4个单位长度？ 17．已知、两点在数轴上的位置如图所示，、分别表示数和，且．    （1）填空________，________； （2）若点在线段上，且，请你直接写出点对应的数； （3）现在有动点从点出发，以个单位秒的速度向右运动，同时另一动点恰好从点出发，以个单位秒的速度向左运动，设两动点在数轴上的点相遇．请解答下面问题： ①试求出点在数轴上所对应的数； ②两个动点和何时在数轴上相距个单位长度？ 18．已知数轴上有、、三点，分别表示有理数，，10，动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设点移动时间为秒． (1) ， （用含的代数式表示） (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，当点运动到点时，两点运动停止， ①当两点运动停止时，求点和点的距离； ②求当为何值时两点恰好在途中相遇． 19．如图点、在数轴上分别表示有理数、，且．请回答以下问题： (1)点表示的数为______，点表示的数为______，，中点对应的数为______． (2)若点对应的数为，只移动点，要使得，，其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法． (3)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动，设运动时间为秒，则： 当为何值时，点和点重合？ 当为何值时，，之间的距离为个单位长度？ 20．如图，P是线段AB上不同于点A，B的一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发，在线段AB上向左运动（无论谁先到达A点，均停止运动），点C的运动速度为1cm/s，点D的运动速度为2cm/s． (1)若AP＝PB， ①当动点C，D运动了2s时，AC＋PD＝　 　cm； ②当C，D两点间的距离为5cm时，则运动的时间为 　 　s； (2)当点C，D在运动时，总有PD＝2AC， ①求AP的长度； ②若在直线AB上存在一点Q，使AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长度． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)AC=9cm，CB=6cm； (2)①当点P在线段AC上时，PC=（9-m）cm，MC=（9-m）cm；当点P在线段BC上时，PC=（m-9）cm，MC=（9-m）cm； ②m的值为6或12． 【分析】（1）由线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2，可得答案； （2）①分当点P在线段AC上时和当点P在线段BC上两种情况分别计算即可； ②分情况列方程可得m的值． 【详解】（1）解：∵线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2， ∴AC=15×=9cm，CB=15×=6cm； （2）解：①当点P在线段AC上时， PC=AC-AP=（9-m）cm， MC=AC-AM=AC-AP=（9-m）cm； 当点P在线段BC上时， PC=AP-AC=（m-9）cm， MC=AC-AM=（9-m）cm； ②当点P在线段AC上时， 则MP=PC， ∴m＝9−m， 解得：m=6， 当点P在线段BC上时， 则MC=PC， ∴9−m＝m−9， 解得：m=12， 综上：m的值为6或12． 【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． 2．(1)9 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据中点的概念，AC=BC=，，可得到，代入AB的值即可； （2）分别算出BC、DC、CE的长，用DE+CE即为DE的长； （3）根据（1）中证明可知DE的长恒等于AB的一半，与AC的长无关． 【详解】（1）若点C是AB中点，则AC=BC=， ∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴， ∴， ∵AB=18cm， ∴cm， 故答案为9． （2）∵AB＝18cm，AC＝8cm， ∴BC＝AB−AC＝10cm， 又∵D为AC中点，E为BC中点， ∴CD＝＝4cm，CE＝5cm， ∴DE＝4+5=9cm； （3）由（1）中证明可得：， DE的长恒等于AB的一半，与AC的长无关， 所以不论AC取何值（不超过18cm），DE的长不变． 【点睛】本题考查了中点，熟练掌握中点的概念是解题的关键． 3．(1)；1 (2)当或时P，B，Q可以构成“平衡点” (3)t的值为1或6或48或60 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）分点B为，点Q为，点为的中点，根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解； （3）分和两种情况，根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10． ∴设点对应的数为，则有： ， 解得，； 设的贵点对应的数为，则： ， 故答案为：；1； （2）解：分三种情况： ①如图，当点B为的中点时，则点P对应的，Q对应的数为 ∴ ∵， 解得，； ②当为和中点时，如图，则点P对应的，Q对应的数为， 则， ∴， 解得： ； ③当点Q为的中点时，如图， ∴， ∴ 此时t不存在， 综上，t的值为或； （3）解： ， ； ∴当时，点表示的数为； 当时，从处以每秒5个单位的速度向左运动，则表示的数为； ①当时，且点在点右侧时， ， 解得，； 点在点左侧时， ∵， ∴， 解得，； ②当时，∵， ∴， 整理得，， 或， 解得，或， 综上，t的值为1或6或48或60． 4．(1)10cm (2) (3)存在，当为4或6.4或7时，C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点 【分析】（1）根据线段中点的定义分别求出MC，CN，即可得到答案； （2）同（1）求解即可； （3）分三种情况：当C为PQ的中点时，当P为CQ的中点时，当Q为PC的中点时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵M是AC的中点， ∴， 又∵N是BC的中点， ∴， ∴（厘米） （2）解：∵M是AC的中点， ∴， 又∵N是BC的中点， ∴， ； （3）解：如图所示：①当C为PQ的中点时，      解得：； ②当P为CQ的中点时，如图所示： 解得：； ③当Q为PC的中点时，如图所示：      解得： 综上所述，当为4或6.4或7时，C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，一元一次方程的应用，正确理解线段中点的定义是解题的关键． 5．(1) (2)10 (3)当时，PQ＝15-5t；当时，PQ＝ 5t-15；当时，PQ＝ 2t； (4)， 【分析】（1）设点AB的中点为M，BC的中点为N，分别求出BM和BN的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程=时间×速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当0≤t≤3时，当3＜t≤5时，当时，分别求出PQ的长即可； （4）根据（3）中求出PQ的长，分别等于AC，求出t的值即可． 【详解】（1）设点AB的中点为M，BC的中点为N， ∵AB=9，BC=6， ∴BM=4.5，BN=3， ∴MN=BM+BN=． 故答案为：； （2）当P到点C时，t=15÷3=5， ∴PQ=2×5=10． （3）当P到点C时，t＝15÷3＝5． ∴PQ＝2×5＝10． （3）当点P、Q相遇时，t＝15÷（3＋2）＝3． 当时，PQ＝15-5t．   当时，PQ＝ 5t-15． 当时，PQ＝ 2t． （4）当0≤t≤3时，PQ=15-5t=×15，解得t=； 当3＜t≤5时，PQ=5t-15=×15，解得t＝． 当5<t≤时，PQ=2t=×15，t=3.75（舍）． ∴或． 【点睛】本题在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 6．（1）见解析；（2），，，，平方最大为A，平方数最大为49；（3）①0.5或-6.5；②当0<t≤时， CP= 2-3t；当<t< 2时，CP= 3t-2；当t ≥2时，CP=6 【分析】（1）点C，D表示的数互为相反数，即可找出原点O的位置； （2）点A，B，C在原点O的左侧，故都为负数，点D在原点O的右侧，故为正数，数长度即可； （3）①根据数轴上两点之间的距离即可求解； ②根据数轴上两点之间的距离用含t的代数式即可表示． 【详解】（1）如图： （2）由数轴可得：，，，， 平方最大为A，平方数最大为49； （3）①由题可得：当F在C的右边时：， 当F在C的左边时：， 点F表示的数为：0.5或-6.5； ② 当P点在C点的左侧或C点时，即0<t≤时， CP= BC-PB=2-3t， 当P点在C点右侧直到到达D点时，即<t< 2时，CP=PB-BC= 3t-2， 当P点在C点右侧到达D点不动时，即t ≥2时，CP=CD=6． 【点睛】本题考查了数轴、列代数式，运用代数式表示数轴上两点的距离是解决本题的关键． 7．（1）C1，C3；（2）①-40或0或10；②50或80或35 【分析】（1）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案； （2）①（Ⅰ）当点P在A的左侧时，根据PA＝2PB列方程求解； （Ⅱ）当点P在A、B之间时，根据2PA＝PB或PA＝2PB列方程求解； ②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、B为P、A关联点四种可能列方程解答． 【详解】解：（1）∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C1表示的数为﹣1， ∴AC1＝1，BC1＝2， ∴C1是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C2表示的数为2， ∴AC2＝4，BC1＝1， ∴C2不是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C3表示的数为4， ∴AC3＝6，BC3＝3， ∴C3是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C4表示的数为6， ∴AC4＝8，BC4＝5， ∴C4不是点A、B的“关联点”； 故答案为：C1，C3； （2）①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点 P 表示的数为x， （Ⅰ）当点P在A的左侧时，则有：2PA＝PB，即2（﹣10﹣x）＝20﹣x， 解得x＝﹣40； （Ⅱ）当点P在A、B之间时，则有2PA＝PB或PA＝2PB，即： 2（x+10）＝20﹣x或x+10＝2（20﹣x）， 解得x＝0或x＝10； 因此点P表示的数为﹣40或0或10． 故答案为：﹣40或0或10； ②若点P在点B的右侧， （Ⅰ）若点P是点A、B的“关联点”，则有2PB＝PA，即2（x﹣20）＝x+10， 解得x＝50； （Ⅱ）若点B是点A、P的“关联点”，则有2AB＝PB或AB＝2PB，即2×（20+10）＝x﹣20或20+10＝2（x﹣20）， 解得x＝80或x＝35； （Ⅲ）若点A是点B、P的“关联点”，则有2AB＝PA，即2×（20+10）＝x+10， 解得x＝50． 因此点P表示的数为50或80或35． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：关联点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的2倍，列式可得结果． 8．（1）8；（2）-6或2；（3）过8或秒后，点P、Q重合． 【分析】（1）根据A，B所对应的数，直接求解即可； （2）分两种情况，分别求出P表示的数，即可； （3）分四种情况分别列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）∵数轴上点A、B分别表示的数是﹣2、6， ∴6-(-2)=8，即AB=8， 故答案是：8； （2）∵当点P沿数轴向左运动，得﹣2-2×2=-6，当点P沿数轴向左运动，得﹣2+2×2=2， ∴P点表示的数是：-6或2， 故答案是：-6或2； （3）设运动的时间为t秒， ①当P，Q同时向右运动， 则2t-2=6+t，解得：t=8， ②当P向右运动，Q向左运动， 则2t-2=6-t，解得：t=， ③当P，Q同时向左运动， 则-2-2t=6-t，解得：t=-8（不合题意，舍去）， ④当P向左运动，Q向右运动， 则-2-2t=6+t，解得：t=-（不合题意，舍去）， 综上所述：过8或秒后，点P、Q重合． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，根据题意，列出一元一次方程．是解题的关键． 9．（1）20；（2）10或16；（3）2EF= BP-AQ 【分析】（1）先求出a，c的值，进而求出AB的值，进而即可求解； （2）设动点运动t秒时，动点到、两点的距离之和为12，分3种情况讨论，列出方程，即可求解； （3）设P，Q的运动时间为t，分别表示出、、的长，即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴a=16，c=-8， ∴AC=16-（-8）=24， ∵， ∴AB=4，即：|b-a|=4 ， ∵， ∴b=a+4=16+4=20； （2）设动点运动t秒时，动点到、两点的距离之和为12， ①当点P在A点的左侧时，则AP=24-2t，BP=28-2t， ∴24-2t+28-2t=12，解得：t=10， ②当点P在B点的右侧时，则AP=2t-24，BP=2t-28， ∴2t-24+2t-28=12，解得：t=16， ③当点P在A、B两点的之间时，这种情况不存在， 综上所述：t=10或16； （3）设P，Q的运动时间为t，则BP=28-2t，AQ=16-3t， ∵点为线段的中点， ∴点对应的数为：， ∵点为线段的中点， ∴点F对应的数为：， ∴EF= ∵BP-AQ=12+t， ∴2EF= BP-AQ． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点之间的距离，一元一次方程的应用，根据点的位置，表示出两点间的距离，找出等量关系，列出方程，是解题的关键． 10．（1）a=-24，b=-10，c=10；（2）点P所对应的数是或4；（3）6秒，理由见解析 【分析】（1）由绝对值及偶次方的非负性，可求出a，b，c的值； （2）由点A，B对应的数可求出线段AB的长，分点P在线段AB上及点P在线段BC上两种情况考虑，由AP=2BP可得出关于t的一元一次方程，解之可求出t值，结合点A对应的数可求出此时点P对应的数； （3）分P、Q相遇前及相遇后两种情况考虑：点P、Q相遇前和点P、Q相遇后，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x值． 【详解】（1）∵， ∴a+24=0，b+10=0，c-10=0， 解得：a=-24，b=-10，c=10； （2）AB=-10-（-24）=14， ①当点P在线段AB上时，t=2（14-t）， 解得：t=， ∴点P的对应的数是； ②当点P在线段BC上时，t=2（t-14）， 解得：t=28， ∴点P的对应的数是-24+28=4． 综上所述，点P所对应的数是或4； （3）设点Q开始运动后第秒时，P、Q两点之间的距离为8， ∵AB=14，BC=20，AC=34， ∴点P从B运动到C，运动时间为(s)，即点P运动时间为：， 点Q从A运动到C，运动时间为(s)，即点Q运动时间为：， 点P、Q相遇前，， 解得：； 点P、Q相遇后，， 解得：(舍去)， 综上所述，当Q点开始运动后第6秒时，P、Q两点之间的距离为8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b，c的值；（2）分点P在线段AB上及点P在线段BC上两种情况，求出t的值；（3）分P、Q相遇前及相遇后两种情况，求出x的值． 11．（1）2；（2）线段PQ的长是1.5；（3），之间的距离为或；（4）的值为或或或． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式，时间=路程÷速度，路程=速度×时间，列式计算即可求解； （2）求出t=0.5时，P、Q点的坐标，再根据两点间的距离公式可求线段PQ的长； （3）分两种情况讨论可求线段PQ的长； （4）分4种情况讨论可求t的值． 【详解】解：（1）根据题意可得， 故点Q所表示的数是2； 故答案为：2； （2）， 故线段PQ的长是1.5； （3）PQ的长度分以下几种情况： ①当点P在点Q的左边时，可得； ②当点Р在点Q的右边时，可得， ∴，之间的距离为或； （4），两点到点C的距离相等有以下四种情况： ①第一次相遇前，依题意可得， 解得； ②第一次相遇，依题意可得，解得； ③第二次相遇，依题意可得，解得； ④第二次相遇后，依题意可得，解得． 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴和两点间的距离，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 12．（1）8，；（2）点P、Q同时出发，2.5或3秒后，P、Q之间距离恰好等于2；（3）线段的长度不发生变化，其值为11． 【分析】（1）根据非负数的性质可得出a和b的值； （2）分为点P、Q相遇之前和点P、Q相遇后两种情况分别求解； （3）分为P在AB两点之间运动时和P运动到点B的左侧时两种情况进行求解． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴a=8，b=． （2） 若点P、Q同时出发，设t秒后，时，分两种情况 ①点P、Q相遇之前 解得 ②点P、Q相遇后 解得． 答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒后，P、Q之间距离恰好等于2 （3）线段的长度不发生变化，都等于11，理由如下： ①当P在两点之间运动时 ∵M为的中点，N为的中点 ∴       ∴ ②当P运动到点B的左侧时 ∵M为的中点，N为的中点 ∴， ∴ ∴线段的长度不发生变化，其值为11． 【点睛】本题考查了数轴、非负数的性质和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是注意分情况进行讨论． 13．（1）2；（2）1.5；（3）或或2． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式，时间=路程÷速度，路程=速度×时间，列式计算即可求解； （2）求出t=0.5时，P、Q点所表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段PQ的长； （3）分3种情况讨论可求t的值． 【详解】解：（1）∵点 P 到达点 B 所需时间=[3-（-3）]÷6=1， ∴点Q 所表示的数=1×1+1=2． 故答案是：2； （2）当t 0.5时，点Q 所表示的数是（1×0.5+1）=1.5， 点P 所表示的数是（-3+6×0.5）=0． ∴线段PQ的长是1.5； 故答案是：1.5； （3）①相遇前，依题意有 1-（-3+6t）=t， 解得t=； ②当P追上Q时，依题意有 （6-1）t=1-（-3）， 解得t=； ③当P到达B停止运动后， Q到达B时，此时P ， Q 两点到点C 的距离相等，依题意有t=2． 综上所述，t的值为或或2． 【点睛】考查了一元一次方程的应用及数轴上两点的距离，掌握路程问题等量关系和数轴知识是解题的关键． 14．（1）；（2）；（3）的值为4或8． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b的值，再根据两点间距离公式求解即可； （2）分别用t表示出，再根据求解即可； （3）点在点的右侧和点在点的左侧两种情况列式计算即可． 【详解】解：（1）∵ ∴ （2）， （3）为的中点 ①当点在点的右侧时， ， 即 解得，； ②当点在点的左侧时 即 解得，， 综上，t的值为4或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的就任，偶次方以及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，解题的关键是：（1）利用偶次方及绝对值的非负性求出a，b的值；（2）根据数量关系，用含t的代数式表示出P、Q两点表示的数；（3）根据题意列出一元一次方程． 15．（1）8；（2）8；（3） 【分析】（1）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可； （2）根据线段的和差求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可； （3）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可说明结论． 【详解】解：（1）∵点C恰为的中点，， ∴， ∴点M，N分别是和的中点， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵点M，N分别是和的中点 ∴， ∴； （3）猜想：不论取何值（不超过），的长总等于． ∵点M、N分别是AC和BC的中点， ∴MC=AC，CN=BC， ∴MN=（AC+BC）=AB=×16=8cm， ∴不论AC取何值（不超过16cm），MN的长不变 【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 16．（1），5；（2），；（3）6秒或14秒 【分析】（1）根据绝对值的非负性，解得m、n的值，即可解题； （2）分别写出点P、Q所表示的数，再根据相遇时，点P、Q表示同一个数解题即可； （3）分两种情况讨论，当在右边时，或当在左边时，结合数轴上两点间的距离解题即可． 【详解】（1） 点表示的数为，点表示的数为5， 故答案为：-10；5； （2）点P表示的数是：，点Q表示的数是：， 根据题意得， 解得 ， 此时点表示的数是； （3）从运动到时，距离点4，点到达点时，相距10， 当在右边时， 解得 当在左边时， 解得 综上所述，当或时，两点的距离为4个单位长度． 【点睛】本题考查数轴、数轴上的动点，涉及绝对值、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17．（1），；（2）；（3）①，②秒或秒 【分析】（1）由根据非负性可得a=-30,b=70 （2）由（1）可知，， 设，因为，则， 即，解出x即可求得点C对应的数. （3）①设M在数轴上表示的点为x，则AM=x+30,BM=70-x，根据运动时间相等，列出方程解出即可. ②对PQ两动点进行分类讨论，分相遇前距离20个单位以及相遇后距离20个单位，分别列出方程解方程即可. 【详解】解：（1）， ，， （2）由（1）可知，， 设，因为，则， 即， 解得， 即， 故点对应的数为． （3）①由题意可得：设在数轴上对应的数为， 则，， 由题意可得， 解得， 故在数轴上对应的数为． ②设两动点相距个单位时用时秒， 有两种情况如下， 在两点相遇之前，两点距离为，如图， 则有，解之得， 在两点相遇之后，两点距离为，如图， 此时， 解得． 故两动点运动秒或秒时，相距个单位长度． 【点睛】熟练掌握数轴，有理数加法、乘法运算，绝对值，运动点问题，两点距离等知识是解题的关键． 18．(1)； (2)①24；②或 【分析】（1）利用数轴上两点的距离公式求出的长度，根据路程速度时间，用表示出， 再利用即可； （2）①先利用数轴上两点的距离公式求出的长度，再利用时间路程速度算出从运动到的时间，算出的运动路程，最后减去即可；②先利用的长度算出比晚出发的时间，再分两种情况：当返回前相遇；当返回后相遇，列方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：个单位长度， ∵动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设点移动时间为秒， ∴，； （2）解：①由数轴可知：个单位长度， ∴从运动到的时间为：， ∵当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动 ∴当从运动到时，的运动时间也是, ∴的运动路程为：个单位长度， ∵此时在处 ∴； ②由数轴可知：个单位长度， ∵当点运动到点时，点从点出发， ∴比晚出发了： 故的运动时间为， 当返回前相遇，， 解得：， 当返回后相遇，， 解得：， 综上所述，当等于或时，两点恰好在途中相遇． 【点睛】此题考查的是数轴上的动点问题与一元一次方程，根据路程速度时间，将各个线段用时间表示，并找到等量关系列方程是解决此题的关键． 19．(1)；； (2)A是中点时：C向左移动5个单位； B是中点时，C向右移动13个单位； C是中点时，C向右移动4个单位 (3)当时，点和点重合； 当点运动秒或秒时，，之间的距离为个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）利用非负数的性质、数轴的知识求解即可； （2）分情况讨论C点的运动，再根据距离来判断符合题意的可能情况； （3）①设点P运动t秒，用t表示出点P和Q，然后分情况应用一元一次方程，解决问题即可． ②分情况讨论，列出方程，解决所有的可能即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点表示的数为，点表示的数为， ，中点对应的数为：， 故答案为：；；． （2）解：点对应的数为， 当点移动到位置时，点到、两点的距离相等，都是，此时点需要向左移动个单位； 当点移动到位置时，点到、两点的距离相等，都是，此时点需要向右移动个单位； 当点移动到位置时，点到、两点的距离相等，都是，此时点需要向右移动个单位． 综上，A是中点时：C向左移动5个单位； B是中点时，C向右移动13个单位； C是中点时，C向右移动4个单位； （3）解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，根据题意得： ， 解得：， 当时，点和点重合； 当在的右边时， 根据题意得， 解得：， 当在的左边时， 根据题意得， 解得：， 当点运动秒或秒时，，之间的距离为个单位长度． 20．(1)①12；②4 (2)①；②或 【分析】（1）①先根据线段和差求出，再根据运动速度和时间求出的长，从而可得的长，由此即可得； ②设运动时间为，先求出的取值范围，再求出当点重合时，，从而可得当时，点一定在点的右侧，然后根据建立方程，解方程即可得； （2）①设运动时间为，则，从而可得，再根据当在运动时，总有可得在点的运动过程中，点始终在线段上，此时满足，然后根据即可得出答案； ②分点在线段上和点在的延长线上两种情况，分别根据线段和差即可得． 【详解】（1）解：①， ， 当动点运动了时，， ， ， 故答案为：12； ②设运动时间为， 点运动到点所需时间为，点运动到点所需时间为， 则， 由题意得：， 则， 当点重合时，，即， 解得， 所以当时，点一定在点的右侧， 则，即， 解得， 即当两点间的距离为时，运动的时间为， 故答案为：4． （2）解：①设运动时间为，则， ， ， 当在运动时，总有，即总有， 的值与点的位置无关， 在点的运动过程中，点始终在线段上，此时满足， ， 又， ， 解得， 答：的长度为； ②由题意，分两种情况： （Ⅰ）当点在线段上时， ， 点在点的右侧， ，， 代入得：，解得； （Ⅱ）当点在的延长线上时，则， 代入得：； 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了线段的和差、一元一次方程的几何应用等知识，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$