专题02 函数的概念与性质（5大考点）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题02 函数的概念与性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解函数的定义 · 理解函数的表示方法，会求函数解析式 · 理解函数的单调性 · 理解函数的奇偶性 考点预测 · 求函数的定义域和值域 · 函数的单调性 · 函数的奇偶性 · 分段函数 · 理解分段函数 课堂笔记 1．函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.函数的表示法 4.分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 5．增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 6.函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 7.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 8．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 9．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 10．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 11.常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)＝ 考点突破 考点1 函数的解析式 例1．已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 例2．若函数，则（    ） A． B． C． D． 练习1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 考点2 函数的定义域和值域 例1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 练习1．已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（    ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 练习2．已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 考点3 函数的单调性 例1．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 练习1．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 练习2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D．（，且） 考点4 函数的奇偶性 例1．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 例2．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 练习1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 练习2．已知函数是偶函数，在上是单调减函数，则（    ） A． B． C． D． 考点5 分段函数 例1．设函数，则（ ） A． B．4 C．6 D．8 例2．函数，则（   ） A． B． C． D．8 练习1．设，则（   ） A． B． C．1 D．-2 练习2．设函数则等于（    ） A．1 B．5 C．2 D． 模拟演练 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，，则（    ） A．-1或3 B．4 C．-1 D．不存在 2．已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．托马斯说：“函数是近代数学思想之花”.下列对应关系中，满足从集合到集合的一个函数是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 5．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，且，则（    ） A．3 B． C．17 D． 二、填空题 7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 8．已知函数则 . 三、解答题 9．已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由. 10．已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． $$专题02 函数的概念与性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解函数的定义 · 理解函数的表示方法，会求函数解析式 · 理解函数的单调性 · 理解函数的奇偶性 考点预测 · 求函数的定义域和值域 · 函数的单调性 · 函数的奇偶性 · 分段函数 · 理解分段函数 课堂笔记 1．函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.函数的表示法 4.分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 5．增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 6.函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 7.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 8．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 9．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 10．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 11.常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)＝ 考点突破 考点1 函数的解析式 例1．已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到新的等式，联立消去即可求得结果. 【详解】因为①， 函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数， 所以，即②， ②①得，即， 所以， 故选：B. 例2．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求解析式即可. 【详解】令，得，则，则． 故选：C． 练习1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：利用整体代换法可求函数解析式. 方法二：利用换元法可求函数解析式. 【详解】方法一：由，得. 方法二：令，则，所以，即. 故选：A. 练习2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 考点2 函数的定义域和值域 例1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域的定义求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以定义域为， 故选:C. 例2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶次根式的被开方数大于或等于零，分母不为零求解即可. 【详解】根据题意得，解得或. 故选：D. 练习1．已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（    ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案. 【详解】对于选项A，由图象可得，所以，A错误； 对于选项B，，，，故不是单调增函数，B错误； 对于选项C，由图象可得的定义域为，C错误； 对于选项D，由图象可得的值域为，D正确． 故选：D． 练习2．已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上单调递增，进而可求值域. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，所以值域为. 故选：B. 考点3 函数的单调性 例1．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数与指数函数的单调性，可得答案. 【详解】函数、函数与函数在上单调递增， 函数在上单调递减. 故选：C. 例2．下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A：的定义域为，且， 所以为奇函数，但在上单调递增，不符合题意， 故A错误； 对于B，易知，即不是奇函数，故B错误； 对于C，易知的定义域为，即不具有奇偶性，故C错误； 对于D，定义域为R，且，在R上单调递增，故D正确. 故选：D 练习1．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 练习2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D．（，且） 【答案】B 【分析】直接由解析式判断函数的奇偶性、单调性即可得解. 【详解】对于A，是偶函数，故排除； 对于B，在其定义域内既是奇函数又是减函数，故符合； 对于C，是非奇非偶函数，故排除； 对于D，（，且）在定义域内不是减函数，故排除. 故选：B. 考点4 函数的奇偶性 例1．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即. 故选：B. 例2．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性可得，代入函数解析式直接得出结果. 【详解】由偶函数性质得，. 故选：B 练习1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性求解. 【详解】根据题意，是定义在上的奇函数， 当时，， 则. 故选：B 练习2．已知函数是偶函数，在上是单调减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对称性、以及函数单调性比较函数值大小即可. 【详解】已知函数是偶函数，所以的图象关于直线对称， 因为在上是单调减函数，所以在上是单调递增函数， 所以. 故选：D. 考点5 分段函数 例1．设函数，则（ ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先求出的值，再代入即可求解. 【详解】, 故选：D 例2．函数，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，由内到外依次求函数值即得. 【详解】因，则． 故选：B. 练习1．设，则（   ） A． B． C．1 D．-2 【答案】A 【分析】利用分段函数的解析式求值. 【详解】，. 所以. 故选：A 练习2．设函数则等于（    ） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】由内向外代入计算即可. 【详解】由解析式可得：， 所以， 故选：C 模拟演练 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，，则（    ） A．-1或3 B．4 C．-1 D．不存在 【答案】B 【分析】根据函数图象，依次求解即可. 【详解】根据函数图象，由知，，或， 当，；当，不存在， 故选：. 2．已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】结合换元思想，令即可代入求解. 【详解】令，则. 故选：A 3．托马斯说：“函数是近代数学思想之花”.下列对应关系中，满足从集合到集合的一个函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，A不是； 对于B，集合中的每个值，按，在集合中都有唯一值与之对应，B是； 对于C，集合中没有元素与集合中的0对应，C不是； 对于D，当时，，D不是. 故选：B 4．已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】令代入题设关系式，即可求. 【详解】令，则. 故选：A 5．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可表格计算可得出的值. 【详解】由图象可得，由表格中的数据可得. 故选：C. 6．已知函数，且，则（    ） A．3 B． C．17 D． 【答案】A 【分析】代入即可求解. 【详解】在中取可得，所以， 故选：A 二、填空题 7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】利用函数为奇函数可得，利用解析式可求得即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 故答案为：. 8．已知函数则 . 【答案】 【分析】利用分段函数的性质依次计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为： 三、解答题 9．已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由. 【答案】(1)单调递增；证明见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】(1)利用定义法证明函数在上单调性步骤，取点，作差，判号，下结论； (2)由(1)可知在上单调递增，且，所以，然后整理判断即可. 【详解】（1）判断：在上单调递增. 证明：，且，有 因为，所以，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增； （2）判断：命题“，”真命题. 因为根据题意可知，，且， 由(1)可知在上的单调递增，所以，即. 所以命题“，”是真命题. 10．已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据分段函数的函数解析式求值即可； （2）根据实数和分类讨论，列不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得，因为， 所以. （2）当时，由得，，即，解得，因此； 当时，由得，，解得，因此； 综上所述，的取值范围是. $$