江苏省启东市中等专业学校（南校区）2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

启东市中等专业学校（南校区） 2024—2025学年第一学期高三职教高考班数学期中试卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D B C D A D A 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 12.2 13. 14. 15. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16.（8分）解：(1)因为，所以； 4分 （2）因为是关于的方程（、）的一个根，所以另一个根为， 又因为，， 所以，． 8分 17.（10分）解：（1）因为是偶函数，所以，即， 所以， 因为函数的对称轴为，所以的递增区间是； 4分 （2）因为函数的值域为，所以，即， 因为即的解集是， 所以，是方程的两根，所以，即， 所以，即，故． 10分 18.（12分）（1）， 所以，最小正周期为. 4分 （2）设，，， 在上严格增，在上严格减，，，，所以=的值域为． 8分 （3），即，因为为三角形内角，所以． ，即，解得. 所以△的面积为. 12分 19.（10分） 解：（1）由题意得a>0且△<0，解得0<a<1 ∴所求实数a的取值范围为( 0，1). 4分 （2） 由（1）得0 不等式解集为[-2,-1)(2,3] 10分 20.（12分）（1）由题意可知， 又因为该款手环万只全部售完年利润为万元， 所以，解得， 所以. 6分 （2）当时，的在对称轴处取得最大值， 最大值； 当时， 当且仅当，即时，等号成立. 综上当年产量为万只时，公司在该款运动手环的生产中所获的利润最大，最大为万元. 12分 21．（10分）（1） 5分 （2） 10分 22. （14分） （1）设等比数列的公比为,等差数列的公差为. 因为. 所以，解得. 所以. 所以. 又因为. 所以 解得 所以. 所以数列和的通项公式分别为. 4分 （2）因为. 所以. . 8分 （3）由,得. 所以①. 所以②. ①-②得：. . . 所以． 14分 23. （14分）解：（1）圆的圆心为，半径， 椭圆的半焦距． 又， ． 所求椭圆的方程为． 4分 （2） 圆的参数方程为 （3） ①当直线与轴垂直时，的方程为， 可求得，． 此时，． 10分 ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为． 由得． 设，，则，………12分 = = = 为定值，且定值为． 14分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 4 启东市中等专业学校（南校区） 2024—2025 学年第一学期高三职教高考班数学期中试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．） 1．已知全集U R= ，集合 A= 2 3 x Nx x−   ， ，集合 B= 1 2x x −  ，则 A B = ( ) A.  1 3x x−   B.  0 3x x  C.  1,0,1,2− D.  0,1,2 2．已知函数 )(xf 的定义域为 R，则“ 为奇函数)(xf ”是“ 0)0( =f ”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知向量a ，b 是单位向量且 ( 2 ) 0a b a− ⊥ = ，则向量a 与b 的夹角是 ( ) A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. 2π 3 4.在正项等比数列 na 中，若 3a ， 11a 是方程 0812 2 =+− xx 的两根，则 10444 loglog aa + 的值是 ( ) A．2 B. 3 C. 3 2 D. 2 3 5.若函数 axy = 与 x b y −= 在区间 ( )+，0 上都单调递减，则函数 bxaxy += 2 在区间 ( )+，0 上 ( ) A．单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 6.已知直线过抛物线 xy 42 = 的焦点 F，且与离心率为 2 的双曲线的渐近线平行，则该直线方程为 ( ) A． 0101 =+−=−− yxyx 或 B． 0101 =++=−+ yxyx 或 C． 0101 =−+=−− yxyx 或 D． 0101 =++=−− yxyx 或 7． 若圆 2 2 2 0x y x+ − = 与圆 2 2 2 4 4 0x y x y+ + − − = 的交点为 ,A B ，则线段 AB 的垂直平分线 的方程是 ( ) A. 1 0x y− + = B. 2 1 0x y− + = C.2 1 0x y− + = D. 1 0x y+ − = 8.将函数 ) 6 2sin(3)(  −= xxf 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 )(xg 的图象，若函数 )(xg 为奇函数，则的可能值为 ( ) A. 12 5 B. 6  C. 3 2 D. 12 7 2 / 4 9．已知函数 1)( 1 += −xaxf （ 0a 且 1a ）的图象恒过定点 A，若点 A在直线 022 =−+ nymx 上，其中 nm, 均大于0 ，则 nm 1 1 2 + + 的最小值为 ( ) A. 2 1 B. 2 5 C. 22 D. 2 223+ 10.已知函数 )(xf 是定义在R 上的奇函数，且满足 )1()1( +−=+ xfxf ，当 10  x 时， baexf x +=)( ， ef −=      1 2 15 ，则 )2023()2022()3()2()1( fffff +++++  等于( ) A．0 B． e−1 C． 1−e D．2023 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分） 11．已知复数 )3()2( iiz ++= ，则 =zarg ____________． 12．过抛物线 )0(22 = ppxy 的焦点作直线交抛物线与 ),(),,( 2211 yxByxA 两点，若 3,5 21 =+= xxAB ，则 =p ． 13. 已知 π 3 sin( ) 4 3  + = ，则 π cos( 2 ) 2 − =________. 14.在等比数列 na 中， 95 ,aa 是方程 0242 =++ xx 的根，则 7 122 a aa 的值为 ． 15．曲线 242 xxy −+= 与直线 ( ) ( ) 022121: =−++−+ kykxkl 有一个公共点，则实数 k的取 值范围是_______． 三、解答题（本大题共 8小题，共 90分） 16．（8 分）已知复数满足 i)23(4  −=− （ i 为虚单位）．（1）求复数；（2）若复数是关于 x 的方程 02 =++ qpxx （ p 、 Rq ）的一个根，求 p ．q的值． 17.（10分）已知二次函数 ( ) baxxxf ++= 2 ，其中a ， Rb ． （1）若函数 ( ) xxfy 4−= 是偶函数，求函数 ( )xfy = 的递增区间； （2）若函数 ( )xfy = 的值域为  )+，0 ，且关于 x 的不等式 ( ) cxf  的解集是 ( )6+mm， ，求实数 c 的值． 3 / 4 18. （12分）平面向量 2(3sin ,cos ), (cos , 3)m x x n x= = − ，函数 3 ( ) 2 y f x m n= =  + . （1）求函数 ( )y f x= 的最小正周期； （2）若 [0, ] 2 x   ，求 ( )y f x= 的值域； （3）在△ ABC 中，内角 A B C、 、 的对边分别为a b c、 、 ，已知 ( ) 3f B = ， 2, 7a b= = ， 求△ ABC 的面积. 19.（10 分）已知二次函数 2 1( ) 4 f x ax ax= + + ，且 ( ) 0f x  对于 x R 恒成立. （1） 求 a 的取值范围； （2）解不等式： ( )2log 2 log 4a ax x− −  . 20．（12 分）2021 年 3 月 1 日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发 展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.根据市场调查某数码产品公 司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元.若该公司一年内共 生产该款运动手环 x 万只，并能全部销售完，平均每万只的销售收入为 ( )R x 万元，且 ( )R x 2 100 ,0 20 2100 9000 , 20 kx x k x x x −    =  −   ，当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润 为300万元 （1）求出 k 的值并写出年利润W （万元）关于年产量 x （万部）的函数解析式 ( )W x ； （2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 21. （10 分）（1）过点 3（1， ），且与圆 2 2 4x y+ = 相切的直线方程； （2）已知直线过点 3 3, 2 P   − −    ，且被圆 2 2 25x y+ = 截得的弦长为 8，求直线的方程. 4 / 4 22. （ 14 分）设  na 是等比数列 ,公比大于 0 ,其前 n 项和为 nS , 是等差数列 ,已知 1 3 21, 2a a a= = + , 4 3 5 5 4 6, 2a b b a b b= + = + ． （1）求数列 na 和 nb 的通项公式. （2）求数列 nS 的前n 项和 nT . （3）若 1 2 1n n nc a b+ −=  ,求数列 nc 的前n 项和 nG . 23.（14 分）已知椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = ( )0, 0a b  的左焦点F 为圆 0222 =++ xyx 的圆心，且椭圆的 离心率为 2 2 ． （1）求椭圆方程； （2）已知 P（ yx, ）为圆F 上任一点，求 yx + 的最大值； （3）已知经过点F 的动直线 l与椭圆交于不同的两点 ,A B，点 5 ( ,0) 4 M − ，证明： MBMA  为定值．