第02讲 分式的基本性质（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第02讲 分式的基本性质 课程标准 学习目标 ①分式的基本性质 ②分式的约分 ③分式的通分 1. 掌握分式的基本性质，并能够通过性质对分式进行熟练的变形。 2. 掌握分式的约分和通分的方法，并能够运用分式的基本性质对分式进行熟练的通分和约分。 知识点01 分式的基本性质 1. 分式的性质的基本内容： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个 的整式，分式的值 。 2. 式子表达： （A、B、C均是整式且C≠0） 3. 分式的符号改变法则： 分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意 符号分式不会发生改变。 即： 【即学即练1】 1．不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】 3．若把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 知识点02 分式的约分 1. 公因式的概念： 一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的 。 2. 公因式的求法： 对分子分母进行因式分解，然后求出系数的 与 最低次幂。他们的乘积为公因式。 3. 最简分式的概念： 分子分母没有 的分式叫做最简公因式。 4. 约分的概念： 根据分式的 ，把分子分母的 约去，这个过程叫约分。 5. 约分的步骤： ①对分式中能 的分子或分母先进行因式分解。 ②约去分子分母的公因式即可。 【即学即练1】 4．分式中分子、分母的公因式为　 ． 【即学即练2】 5．下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】 6．化简下列分式： （1）； （2）． 知识点03 分式的通分 1. 通分的概念： 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值 的 的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做 。 2. 最简公分母的求法： 最简公分母＝所有系数的 ×所有因式的 。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确定所含有的因式。 3. 通分的步骤： ①将所有能分解因式的 分解因式。 ②求出 。 ③利用 在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成 。 【即学即练1】 7．分式与的最简公分母是（　　） A．abc B．a2b2c C．6a2b2c D．12a2b2c 【即学即练2】 8．分式，，﹣的最简公分母是（　　） A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2 C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2 【即学即练3】 9．通分： （1），，； （2），，． 题型01 根据分式的性质判断分式的变形 【典例1】下列式子从左到右的变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列式子从左到右变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列式子从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】下列各式中，正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝﹣ 题型02 判断分式的倍数变化 【典例1】若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【变式1】将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 【变式2】若分式中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的 题型03 判断最简分式 【典例1】下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】从代数式：3，a2﹣1，a+1中任选两个，组成一个最简分式 　 　．（写出一个即可） 题型04 分式的约分 【典例1】化简的结果是（　　） A．m B．4﹣m C． D． 【变式1】下列约分结果正确的是（　　） A． B．＝x﹣y C．＝﹣m+1 D． 【变式2】化简： （1）； （2）． 【变式3】先约分，再求值：，其中a＝﹣2，b＝． 题型05 求分母的最简公分母 【典例1】式子的最简公分母是（　　） A．36x2y2 B．24x2y2 C．12x2y2 D．6x2y2 【变式1】分式与的最简公分母是（　　） A．（x+y）2 B．2（x+y）3 C．2（x+y）2 D．2x+2y 【变式2】下列三个分式中的最简公分母是 　． 题型06 分式的通分 【典例1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（　　） A．6x2 B．x（x+y） C．x2 D．3x2（x+y） 【变式1】将分式与分式通分后，的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则的分子变为（　　） A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a 【变式2】通分，，． 【变式3】通分： （1），，； （2），，． 1．下列分式，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．阅读下列各式从左到右的变形 （1） （2） （3） （4） 你认为其中变形正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的 4．下列说法错误的是（　　） A．当x＝2时，分式无意义 B．当x＞5时，分式的值为正数 C．当分式时，m＝±3 D．分式与的最简公分母是3ab2 5．下列说法正确的是（　　） A．若分式的值为0，则x＝±2 B．是最简分式 C．把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） 6．分式、、的最简公分母是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2） C．（x+y）（x2﹣y2） D．（x﹣y）（x2﹣y2） 7．分式化简得，则x应满足的条件是（　　） A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0且x≠﹣1 D．x≠﹣1 8．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　） A． B． C． D． 9．把与通分后，的分母为（1﹣a）（a+1）2，则的分子变为（　　） A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a 10．把，，通分后，各分式的分子之和为（　　） A．2a2+7a+11 B．a2+8a+10 C．2a2+4a+4 D．4a2+11a+13 11．若成立，则x的取值范围是　 　． 12．若m为实数，分式不是最简分式，则m＝　 　． 13．若，则＝　 　． 14．小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测*部分的式子应该是　 ． 15．已知＝2，＝3，＝1，则＝　 　． 16．（1）通分：和； （2）约分：． 17．已知三个整式x2+4x，4x+4，x2． （1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解； （2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分． 18．阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）， ∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 19．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，； 解决下列问题： （1）分式是 　 　分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 20．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有 　 　（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，求m的值； （3）若分式的“巧整式”为1﹣x． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 分式的基本性质 课程标准 学习目标 ①分式的基本性质 ②分式的约分 ③分式的通分 1. 掌握分式的基本性质，并能够通过性质对分式进行熟练的变形。 2. 掌握分式的约分和通分的方法，并能够运用分式的基本性质对分式进行熟练的通分和约分。 知识点01 分式的基本性质 1. 分式的性质的基本内容： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个 不等于0 的整式，分式的值 不变 。 2. 式子表达： （A、B、C均是整式且C≠0） 3. 分式的符号改变法则： 分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意 两个 符号分式不会发生改变。 即： 【即学即练1】 1．不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此即可得出答案． 【解答】解：A、原选项变形错误，不符合题意； B、原选项变形错误，不符合题意； C、原选项变形错误，不符合题意； D、，原选项变形正确，符合题意； 故选：D． 【即学即练2】 2．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【分析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【解答】解：＝﹣， 故选：C． 【即学即练3】 3．若把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【分析】根据分式的性质：分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，可得答案． 【解答】解：把分式中的x和y都扩大到原来的2倍， ＝×， 分式的值缩小为原来的， 故选：C． 知识点02 分式的约分 1. 公因式的概念： 一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的 公因式 。 2. 公因式的求法： 对分子分母进行因式分解，然后求出系数的 最大公因数 与 相同式子的 最低次幂。他们的乘积为公因式。 3. 最简分式的概念： 分子分母没有 公因式 的分式叫做最简公因式。 4. 约分的概念： 根据分式的 基本性质 ，把分子分母的 公因式 约去，这个过程叫约分。 5. 约分的步骤： ①对分式中能 因式分解 的分子或分母先进行因式分解。 ②约去分子分母的公因式即可。 【即学即练1】 4．分式中分子、分母的公因式为　4mn　． 【分析】观察分子分母，提取公共部分即可得出答案． 【解答】解：分式中分子、分母的公因式为4mn； 故答案为：4mn． 【即学即练2】 5．下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的概念判断即可． 【解答】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【即学即练3】 6．化简下列分式： （1）； （2）． 【分析】（1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【解答】解：（1）； （2）． 知识点03 分式的通分 1. 通分的概念： 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值 相等 的 同分母 的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做 最简公分母 。 2. 最简公分母的求法： 最简公分母＝所有系数的 最小公倍数 ×所有因式的 最高次幂 。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确定所含有的因式。 3. 通分的步骤： ①将所有能分解因式的 分母 分解因式。 ②求出 最简公分母 。 ③利用 分式的性质 在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成 最简公分母 。 【即学即练1】 7．分式与的最简公分母是（　　） A．abc B．a2b2c C．6a2b2c D．12a2b2c 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【解答】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：6a2b2c， 故选：C． 【即学即练2】 8．分式，，﹣的最简公分母是（　　） A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2 C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2 【分析】先把分式的分母分解因式，再找出最简公分母即可． 【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2， ∴分式，，﹣的最简公分母是x（x﹣1）（x+1）2． 故选：C． 【即学即练3】 9．通分： （1），，； （2），，． 【分析】（1）利用分式的基本性质把分母都化为12x（x+2）（x﹣2）2即可； （2）用分式的基本性质把分母都化为24x4y3z2即可． 【解答】解：（1）＝＝， ＝﹣＝﹣， ＝； （2）﹣＝﹣， ＝， ＝． 题型01 根据分式的性质判断分式的变形 【典例1】下列式子从左到右的变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A.变形正确，故选项A不符合题意； B.，变形正确，故选项B不符合题意； C.，变形正确，故选项C不符合题意； D.，变形不正确，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】下列式子从左到右变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、和不一定相等，故A不符合题意； B、和不一定相等，故B不符合题意； C、和a+b不一定相等，故C不符合题意； D、＝，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】下列式子从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、≠，故A错误，不符合题意； B、＝+，故B错误，不符合题意； C、＝，故C正确，符合题意； D、≠m+n，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列各式中，正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝﹣ 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：A、原式＝＝，故A符合题意． B、≠，故B不符合题意． C、≠，故C不符合题意． D、原式＝，故 D不符合题意． 故选：A． 题型02 判断分式的倍数变化 【典例1】若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【分析】先根据题意得出算式，再根据分式的基本性质得出即可． 【解答】解： ＝ ＝ ＝•， 所以如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：C． 【变式1】将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 【分析】将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较． 【解答】解：∵把分式中的x与y同时扩大为原来的3倍， ∴原式变为：＝＝9×， ∴这个分式的值扩大9倍． 故选：B． 【变式2】若分式中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的 【分析】根据题意先将x，y都扩大原来的3倍，再与原来的分式进行比较即可． 【解答】解：分式的x，y都扩大原来的3倍变为：＝＝， 即x，y都扩大原来的3倍后分式的值不变， 故选：C． 题型03 判断最简分式 【典例1】下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义判断即可． 【解答】解：A、是最简分式，不符合题意； B、是最简分式．不符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，符合题意； 故选：D． 【变式1】分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：分子分母有公因式x2﹣1， ；；这三个是最简分式． 故选：C． 【变式2】从代数式：3，a2﹣1，a+1中任选两个，组成一个最简分式 　（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【分析】根据最简分式的定义即可求解，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 （即分子与分母互素）叫最简分式． 【解答】解：分式为． 故答案为：（答案不唯一）． 题型04 分式的约分 【典例1】化简的结果是（　　） A．m B．4﹣m C． D． 【分析】先把分式的分子和分母分解因式，再进行约分即可． 【解答】解： ＝ ＝﹣ ＝． 故选：D． 【变式1】下列约分结果正确的是（　　） A． B．＝x﹣y C．＝﹣m+1 D． 【分析】依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【解答】解：A、，错误； B、，错误； C、＝﹣＝﹣m+1，正确； D、分式的分子、分母都是两数和的形式，没有公因式，不能进行约分，错误． 故选：C． 【变式2】化简： （1）； （2）． 【分析】（1）约去公因式axy，可得结论； （2）先分解因式，再约去公因式x﹣y． 【解答】解：（1） ＝； （2） ＝ ＝． 【变式3】先约分，再求值：，其中a＝﹣2，b＝． 【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a、b的值代入即可求出答案． 【解答】解：原式＝， ＝， ＝， 当a＝﹣2，b＝时， 原式＝＝． 题型05 求分母的最简公分母 【典例1】式子的最简公分母是（　　） A．36x2y2 B．24x2y2 C．12x2y2 D．6x2y2 【分析】先确定2、3、6的最小公倍数，再取x、y的最高次幂，然后把它们的积作为最简公分母． 【解答】解：式子的最简公分母是6x2y2． 故选：D． 【变式1】分式与的最简公分母是（　　） A．（x+y）2 B．2（x+y）3 C．2（x+y）2 D．2x+2y 【分析】先把因式分解，再根据最简公分母的概念解答． 【解答】解：＝， ∴与的最简公分母是2（x+y）2， 故选：C． 【变式2】下列三个分式中的最简公分母是 　x（x﹣1）2（1+x）　． 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：三个分式中的最简公分母是x（x﹣1）2（1+x）， 故答案为：x（x﹣1）2（1+x）． 题型06 分式的通分 【典例1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（　　） A．6x2 B．x（x+y） C．x2 D．3x2（x+y） 【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为2（x﹣y）（x+y），即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴分式的分子应变为6x2， 故选：A． 【变式1】将分式与分式通分后，的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则的分子变为（　　） A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a 【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的性质判断即可． 【解答】解：两分式的最简公分母为（1+a）（1﹣a）2， ∴＝＝， 则的分子变为1﹣a． 故选：A． 【变式2】通分，，． 【分析】找出各项中两式的最简公分母，通分即可． 【解答】解：它们的最简公分母是3（x﹣3）2（x+3）， ， ， ． 【变式3】通分： （1），，； （2），，． 【分析】依据最简公分母的概念，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母；接下来结合所得最简公分母，将两组分式利用分式的基本性质变形为同分母的形式即可得解． 【解答】解：（1），，； （2），，． 1．下列分式，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据最简分式的定义逐个判断即可． 【解答】解：＝，＝，＝b+2，这三个不是最简分式， 所以最简分式有：，，共2个， 故选：B． 2．阅读下列各式从左到右的变形 （1） （2） （3） （4） 你认为其中变形正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式、分子、分母改变其中两项的符号，结果不变，可得答案； （3）根据分式的加法，可得答案； （4）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案． 【解答】解：（1）分子分母乘以不同的数，故（1）错误； （2）只改变分子分母中部分项的符号，故（2）错误； （3）先通分，再加减，故（3）错误； （4）分子分母乘以不同的数，故（4）错误； 故选：D． 3．将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的 【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质化简即可． 【解答】解：＝＝， 即分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 4．下列说法错误的是（　　） A．当x＝2时，分式无意义 B．当x＞5时，分式的值为正数 C．当分式时，m＝±3 D．分式与的最简公分母是3ab2 【分析】根据分式无意义的条件判断A；根据分式值为正数的条件判断B；根据分式的值为0的条件判断C；根据确定最简公分母的方法判断D． 【解答】解：A、当x＝2时，分式无意义，故本选项说法正确，不符合题意； B、当x＞5时，分式的值为正数，故本选项说法正确，不符合题意； C、当分式时，m＝3，故本选项说法错误，符合题意； D、分式与的最简公分母是3ab2，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 5．下列说法正确的是（　　） A．若分式的值为0，则x＝±2 B．是最简分式 C．把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） 【分析】A．由分式值为零的条件得x2﹣4＝0且x﹣2≠0，即可判断； B．将分子分母进行因式分解，由最简分式的定义即可判断； C．按要求扩大倍数进行化简，即可判断； D．按最简公分母定义找出最简公分母，即可判断． 【解答】解：A．分式的值为0，则x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得x＝2，结论错误，故不符合题意； B.＝，结论错误，故不符合题意； C.＝，结论正确，故符合题意； D．最简公分母是ab（x﹣y），结论错误，故不符合题意； 故选：C． 6．分式、、的最简公分母是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2） C．（x+y）（x2﹣y2） D．（x﹣y）（x2﹣y2） 【分析】根据最简公分母的概念解答即可． 【解答】解：分式、、的最简公分母是（x+y）（x﹣y）， 故选：A． 7．分式化简得，则x应满足的条件是（　　） A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0且x≠﹣1 D．x≠﹣1 【分析】根据分式有意义的条件、分式的约分法则解答即可． 【解答】解：当x2+x≠0，即x≠0和﹣1时，＝， 故选：C． 8．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：＝＝x+y，故选项A不符合题意； 的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意； ＝，故选项C符合题意； ＝＝，故选项D不符合题意； 故选：C． 9．把与通分后，的分母为（1﹣a）（a+1）2，则的分子变为（　　） A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【解答】解：＝＝， 故的分子为1+a． 故选：B． 10．把，，通分后，各分式的分子之和为（　　） A．2a2+7a+11 B．a2+8a+10 C．2a2+4a+4 D．4a2+11a+13 【分析】先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行解答即可． 【解答】解：， ， ， 所以把，，通分后， 各分式的分子之和为﹣（a+1）2+6（a+2）+3a（a+1）＝2a2+7a+11， 故选：A． 11．若成立，则x的取值范围是　x≠1　． 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为：x≠1 12．若m为实数，分式不是最简分式，则m＝　0，﹣4　． 【分析】直接利用最简分式的定义结合分式的性质得出答案． 【解答】解：∵分式不是最简分式， ∴m＝0或﹣4时，都可以化简分式． 故答案为：0，﹣4． 13．若，则＝　　． 【分析】由，得a＝，代入所求的式子化简即可． 【解答】解：由，得a＝， ∴＝． 故答案为：． 14．小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测*部分的式子应该是 　x﹣1　． 【分析】直接利用分式的性质结合约分即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴*部分的式子应该是x﹣1， 故答案为：x﹣1． 15．已知＝2，＝3，＝1，则＝　　． 【分析】分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解． 【解答】解：因为＝2，＝3，＝1， 所以＝①，＝②，＝1③， ①+②+③得++＝++1， 通分可得＝， 所以＝， 所以＝． 故答案为：． 16．（1）通分：和； （2）约分：． 【分析】（1）通分时先分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，计算即可； （2）先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，计算即可． 【解答】解：（1）＝； ＝； （2）原式＝ ＝． 17．已知三个整式x2+4x，4x+4，x2． （1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解； （2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分． 【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可； （2）先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可 【解答】解：（1）x2+（4x+4）＝（x+2）2 或 x2+（x2+4x）＝2x2+4x＝2x（x+2）； （2）＝＝ 或＝＝． 18．阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）， ∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式． 【解答】解：设＝＝＝k， 则：， （1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z）， ∵x+y+z≠0， ∴k＝2， ∴原式＝＝＝． 19．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，； 解决下列问题： （1）分式是 　真　分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【分析】（1）认真读懂题意，利用题中给出的定义判断； （2）依据题意化简即可； （3）依据题意化简后分情况讨论出结果即可． 【解答】解：（1）分式是真分式； 故答案为：真； （2）； （3）原式＝， ∵分式的值为整数， ∴x+2＝±1或±13， ∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15． 20．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有 　①③　（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，求m的值； （3）若分式的“巧整式”为1﹣x． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【分析】（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x+m的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵，2x﹣3是整式， ∴①是“巧分式”； ∵，不是整式， ∴②不是“巧分式”； ∵，x﹣y是整式， ∴③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）∵分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7， ∴（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x+m， ∴x2﹣4x﹣21＝x2﹣4x+m， ∴m＝﹣21； （3）①∵分式的“巧整式”为1﹣x． ∴， ∴，即A＝2x2+2x； ②∵， 又x+1是整式， ∴是“巧分式”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$