专题07 计数原理（7大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（甘肃专用）

专题 07 计数原理 题型一 组合数与排列数的性质 1、（2023上·天水市·高二期末）若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的性质可得，结合排列数与组合数对计算即可. 【详解】由组合数的性质，得， 所以， 即， 解得或(舍去). 故选：C 2、（2023上·酒泉市·高二期末）（多选题）下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，根据组合数计算公式求出答案；C选项，根据排列数公式计算即可；D选项，根据阶乘定义计算即可. 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，，故，B正确； C选项，，故，C错误； D选项，，， 故，D正确. 故选：ABD 3、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）下列说法正确的是（ ） A. 已知，则可能取值为6 B. 已知，则可能取值为7 C. 在的二项式展开式中，常数项是84 D. 在的二项式展开式中，常数项是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A和选项B，根据组合数公式，有两种情况：，或，求解即可； 对于选项C和选项D，根据二项展开式的通项公式，当时为常数项，代入求解即可. 【详解】对于选项A和选项B， 因为，故，或，得， 故A错误，B正确； 对于选项C和选项D， 根据二项展开式的通项公式， 令，解得，∴，故C正确、D错误. 故选：BC. 4、（2023上·白银市·高二期末）若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用排列数与组合数的关系、组合数性质求解即得. 【详解】依题意，，又， 因此，而， 所以. 故答案为：6 题型二 排列组合 5、从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（ ） A. 10 B. 60 C. 243 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列定义即可求解． 【详解】不同的方法总数是 故选：B 6、（2023上·白银市·高二期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ） A. 7 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人， 由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种. 故选：B. 7、（2023上·白银市·高二期末）甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 3种 D. 9种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】甲､乙两人从3门课程中各选修1门， 由乘法原理可得甲､乙所选的课程不相同的选法有（种）. 故选：A 8、（2023上·庆阳市·高二期末）某车间有男工人20人，女工人15人，从中选一位工人参加技能培训，则不同选法的种数为（ ） A. 25 B. 35 C. 40 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】按照分类计数原理计算即可得解. 【详解】从男工人中选一人有20中选法，从女工人中选一人有15种选法，根据分类计数原理可得，不同的选法共有种. 故选：B. 9、（2023上·兰州市·高二期末）有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同安排方法为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】 先将5名学生分成两组，再分配即可求解. 【详解】将5名学生分成两组可以有两类， 一组人，一组人，则有， 一组人，一组人，则有， 所以不同的安排方法为种， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先分组后分配，5名学生分成两组，即一组人，一组人和一组人，一组人，再分配即可. 10、（2023上·白银市·高二期末）踢球时甲､乙､丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（ ） A 6种 B. 8种 C. 2种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，经过2次传到丙有“甲一乙一丙”1种方式，进而得到3次传给甲的情况，得到答案. 【详解】经过3次传到甲，必定经过2次传到乙或丙，且经过2次传到乙或丙的方式种数相等， 经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，经过2次传到丙有“甲一乙一丙”1种方式， 所以经过3次传到甲共有2种传递方式. 故选：C. 11、（2023上·酒泉市·高二期末）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】分三类计数相加即可得解. 【详解】分三类： 第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有种； 第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有种； 第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有种， 根据分类加法计数原理得共有种不同的选法. 故选：B 12、（2023上·白银市·高二期末）某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】至少有一名女生入选分为两类情况，利用组合相关知识即可求解. 【详解】分两类：一类是选1个女生，则有种；另一类是选2个女生，则有种. 所以不同选法种数共有. 故选:B . 13、（2023上·白银市·高二期末）安排5名志愿者完成四项工作，其中项工作需2人，项工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（ ） A. 66种 B. 60种 C. 54种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类计数原理和分步计数原理，分为甲去完成A项工作和甲不去完成A项工作，进而得到结果. 【详解】甲去完成项工作，有种不同的安排方式； 甲不去完成项工作，又项工作不安排甲完成，有种不同的安排方式， 故共有种不同的安排方式． 故选：D 14、（2023上·庆阳市·高二期末）分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【详解】C 试题分析：由题意得：有个居民家去两名水暖工，其他两个居民家各去一名水暖工，因此分配的方案共有种，选C. 考点：排列组合 15、（2023上·白银市·高二期末）（多选题）6本不同的画册要分给甲､乙､丙三人，每人最少一本，则下列说法正确的为（ ） A. 甲分得4本，则不同的分法有30种 B. 甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则不同的分法有60种 C. 每人2本，则不同的分法有540种 D. 甲至少分得3本，则不同的分法有150种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分组分配问题的解法即可得解. 【详解】对于A，不同分法有种，故A正确； 对于B，不同的分法有60种，故B正确； 对于C，不同的分法有种，故C错误； 对于D，若甲分得3本，则不同的分法有种， 若甲分得4本，则不同的分法有30种， 故共有种，故D正确． 故选：ABD. 16、（2023上·天水市·高二期末）（多选题）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误． 【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误 对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法 由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误 对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确 对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况， 只选物理不选历史，有种选法 选化学，不选物理，有种选法 物理与化学都选，不选历史，有种选法 故总数为种，故D错误 故选：ABD 17、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（ ） A. 偶数有60个 B. 比300大的奇数有48个 C. 个位和百位数字之和为7数有24个 D. 能被3整除的数有48个 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合简单的排列数计算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有种情况，则有3×20＝60个三位偶数，A正确； 对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4＝16个三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4＝24个三位奇数，则符合题意的三位数有16+24＝40个，B错误； 对于C，个位和百位数字之和为7有（1，6），（2，5），（3，4），共3种情况，则符合题意的三位数有个，故C正确； 对于D，能把3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有（1，2，3），（1，2，6），（1，3，5），（1，5，6），（2，3，4），（2，4，6），（3，4，5），（4，5，6）八种选择， 故能被3整除的数有个，故D正确； 故选：ACD 18、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ） A. 若任意选科，选法总数为 B. 若化学必选，选法总数为 C. 若政治和地理至少选一门，选法总数为 D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，先从两科中选一科，再从4科中选2科即可，对于B，先从两科中选一科，然后从3科中选1科即可，对于C，先从两科中选一科，然后分政治和地理都选或从政治和地理中选一科即可，对于D，化学、生物都选或从化学、生物中选一科即可 【详解】若任意选科，选法总数为，A错误； 若化学必选，选法总数为，B正确； 若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错误； 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确． 故选：BD. 19、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有______种． 【答案】25 【解析】 【分析】计算反面全是男生的方法数，运用排除法即可 【详解】从5名男生和2名女生中,选出3名代表的方法数为 从5名男生和2名女生中,选出3名代表全是男生的方法数为 所以从5名男生和2名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生的方法数为 故答案为：25 20、（2023上·白银市·高二期末）星期二下午的3节课排物理､化学和自习课各一节，要求第一节不排自习课，那么不同的排课方法种数为__________．（用数字作答）． 【答案】4 【解析】 【分析】由乘法原理可得答案. 【详解】将安排分为3步，第一步先安排第一节有2种方法，第二步排第二节有2种方法， 第三步排第三节只有1种方法，故不同的排课方法种数为：. 故答案为：4 21、（2023上·天水市·高二期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法． 【答案】150 【解析】 【分析】把5名医生分成3组，然后再分配即得. 【详解】根据题意，先把5名医生分成3组再分配， 一是分成3,1,1然后分配，共有种分配方法， 二是分成2,2,1然后分配，共有种分配方法， 所以共有种分配方法. 故答案为：150. 22、（2023上·酒泉市·高二期末）某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用组合知识分步计算即可. 【详解】由已知可得六名同学选三名同学有种方法，而全选男生的有种方法， 所以至少一名女生的方法有种方法. 故答案为：16 23、（2023上·白银市·高二期末）如图，三根绳子上共挂有6只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，每枪只能打破一只气球，而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法数是______． 【答案】60 【解析】 【分析】将6只气球进行编号为1，2，3，4，5，6号，则下方气球号码小于上方气球号码的排列方法数就是打破气球的方法数，将编号为1—6号的6只气球挂上3根绳子，按下方气球号码小于上方气球号码的排列，分3步进行，利用分步计数原理求解即可 【详解】解：将6只气球进行编号为1，2，3，4，5，6号，则下方气球号码小于上方气球号码的排列方法数就是打破气球的方法数，将编号为1—6号的6只气球挂上3根绳子，按下方气球号码小于上方气球号码的排列，分3步进行： （1）第一步，挂有1只气球的绳子，有种挂法； （2）第二步，挂有2只气球的绳子，有种挂法； （3）第三步，挂有3只气球的绳子，有种挂法； 所以由分步计数原理得，共有种方法， 因为一种挂法就是一种排列方法，也就是打破气球的方法，所以将这些气球都打破的不同打法数为60种方法， 故答案为：60 24、（2023上·白银市·高二期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案. （1）平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？ （2）分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？ 【答案】（1）945 （2）84 【解析】 【分析】（1）根据平均分组的分配规律，结合组合数的计算，即可得答案； （2）结合题意，利用隔板法即可求得答案. 【小问1详解】 根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案. 【小问2详解】 10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板， 则分成7组，故分配方案共有种. 25、（2023上·酒泉市·高二期末）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男､女生各有一名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答） （1）至少有一名队长参加该活动； （2）至多有两名女生参加该活动. 【答案】（1）825； （2）966. 【解析】 【分析】（1）分有一名队长和两名队长情况讨论得解或采用排除法得解； （2）分有两名女生､只有一名女生､没有女生三种情况讨论得解. 【小问1详解】 至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和有两名队长.故共有825种，或采用排除法有种. 【小问2详解】 至多有两名女生含有三种情况：有两名女生､只有一名女生､没有女生.故共有种. 题型三 排队问题 26、（2023上·兰州市·高二期末）某班组织文艺晚会, 准备从等个节目中选出个节目演出, 要求两个节目至少有一个被选中, 且同时被选中时, 它们的演出顺序不能相邻, 那么不同的演出顺序种数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 详解】只被选中一个时，有种； 都被选中时，有种； 一共有1140种 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 27、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】第一种排法：先排4名粉丝，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可 【详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有种情况． 则有种排法， 第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有种排法， 再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有种排法， 则歌手不相邻有种排法． 故选：CD 28、（2023上·兰州市·高二期末）从等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答） （1）若必须在内，有多少种排法？ （2）若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，在其余6人中选出4人，再与全排列，即可求解； （2）根据题意，先在其他4人中选出2人，将看成一个整体，再在2个空位中选出1个安排，结合分步计数原理，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，若必须在内，在其余6人中选出4人，再与全排列， 共有种排法. 【小问2详解】 解：根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法， 将看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法， 排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排，有种情况， 所以，共有种不同的排法. 29、（2023上·庆阳市·高二期末）有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？ （1）女生甲排在正中间； （2）名女生不相邻； （3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）； （4）名女生中间恰有名男生． 【答案】（1）种； （2）种； （3）种； （4）种. 【解析】 分析】（1）根据特殊元素优先排，其余元素再利用全排列即可求解； （2）不相邻问题利用“插空法”即可求解； （3）固定顺序问题即是所有元素全排列种类数的一半； （4）相邻问题用“捆绑法”，其余元素再利用全排列即可. 【小问1详解】 女生甲排在正中间，其余人有种排法，因此不同排法种数为种； 【小问2详解】 将名男生排成一排，有种排法，2名女生可以在 每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有种排法， 因此不同排法种数为种； 【小问3详解】 对7名学生全排列有种排法，因此不同排法种数为种； 【小问4详解】 选1名男生排在2名女生中间，有种排法，将3人看成1个元素， 与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有种， 又因为2名女生有种排法， 因此不同排法种数为种. 30、（2023上·庆阳市·高二期末）某电视台举办“我心中最美的人”主题演讲比赛，参赛选手共7位，其中男选手4位，女选手3位，分别求解下列问题 （1）女生甲不能排在第一场，女生乙不能排在最后一场，有多少种不同的排法？ （2）现7位选手排成一排，其中甲、乙、丙三人按从高至矮的顺序从左到右排列，则共有多少种不同的排法？（甲、乙、丙三位同学身高互不相等） 【答案】（1）3720 （2）840 【解析】 【分析】（1）本题是有两个限制条件的排列问题，按女生甲的出场顺序分类讨论即可求解（2）元素顺序一定用除法 【小问1详解】 根据题意，分2种情况讨论： ①女生甲排最后一场，有种情况； ②女生甲不排最后一场且不第一个出场，甲有5种排法，女生乙有5种排法，将剩余的5人全排列，此时有种排法． 故一共有种排法． 【小问2详解】 根据题意，首先把7名同学全排列，共有种结果，甲乙丙三人内部排列共有种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有种． 题型四 涂色问题 31、（2023上·白银市·高二期末）（多选题）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用分类计数原理即可得解. 【详解】当时，分四步： 第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案； 第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确； 当时，分四步： 第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案； 第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误； 当时，分四步： 第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案； 第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误； 当时，分四步： 第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案； 第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确. 故选：AD. 32、（2023上·兰州市·高二期末）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为____________． 【答案】72 【解析】 【分析】根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种； 故答案为：72 题型五 二项式定理 ①二项式定理展开式 33、（2023上·白银市·高二期末）在的展开式中，的系数是（ ） A. B. 56 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，由此根据x的指数，列式计算，求出参数，即可求得答案. 【详解】因为展开式的第项为， 所以令，则， 故的系数是， 故选：A 34、（2023上·白银市·高二期末）的展开式中，项的系数是（ ） A. 30 B. 30 C. 60 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理求解 【详解】由题意，当时，项的系数是 故选：C 35、（2023上·庆阳市·高二期末）展开式中的系数是（ ） A. 40 B. 80 C. 10 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定二项式，利用二项式定理直接计算作答. 【详解】的展开式中是， 所以的展开式中的系数是40. 故选：A 36、（2023上·天水市·高二期末）展开式的常数项为（ ） A. B. C. 100 D. 220 【答案】A 【解析】 【分析】先求得展开式的通项公式，分别求得展开式中常数项和项的系数，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意得展开式的通项公式为， 令，解得， 所以， 令，解得， 所以， 所以展开式的常数项为. 故选：A 37、（2023上·白银市·高二期末）的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 5 C. 15 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】求出的展开式中的通项，再结合两个式子相乘特点求解即可. 【详解】二项式的展开式中的通项， 则含的项的系数为. 故选：D 38、（2023上·庆阳市·高二期末）二项式的展开式中的系数是 _________ 【答案】40 【解析】 【分析】求得二项式展开式的通项公式，由此求得的系数. 【详解】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题. 39、（2023上·白银市·高二期末）在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128，则的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件利用二项式系数的性质求得，再利用二项展开式的通项公式求得的系数． 【详解】由条件可得，， 的展开式的通项公式， 令，解得，故的系数为. 故答案为：. 40、（2023上·白银市·高二期末） 的展开式中有理项的个数为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】先化简二项式展开式的通项公式，由此求得正确答案. 【详解】展开式的通项为， 要为有理项，则为整数，故可取，共有3项有理项. 故答案为： 41、（2023上·白银市·高二期末）（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 【答案】（1）4 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将转化为，然后根据二项式展开式求得正确答案. （2）将转化为然后利用二项式展开式求得正确答案. 【详解】（1） ， 除以15的余数为4. （2）证明： ， 原式能被96整除. 42、（2023上·庆阳市·高二期末）解答下列各题 （1）求的展开式中所有奇数项的二项式系数和； （2）已知二项式，求展开式中含项的系数. 【答案】（1）512；（2）14 【解析】 【分析】（1）根据二项式中奇数项的二项式系数和为求解. （2）根据二项式展开式，求出含有项时的值，从而求解. 【小问1详解】 的展开式中所有奇数项的二项式系数和为. 【小问2详解】 展开式的通项是， 令，解得， 即，即展开式中含项的系数为. ②二项式定理中的最值 43、（2023上·兰州市·高二期末）已知 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设，若，则（ ） A. 63 B. 64 C. 247 D. 255 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求出，根据求出，再由赋值法求解即可. 【详解】因为展开式只有第 5 项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以，，∴， ∴，令，得，令，得， ∴． 故选：C． 44、（2023上·兰州市·高二期末）已知的展开式中所有项的系数之和为. （1）求展开式中系数； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，解得，再由通项公式求解； （2）展开式中二项式系数最大的项是第5项，即可求解． 【小问1详解】 解：令，得，解得. ， 令，解得， 所以展开式中的系数为； 【小问2详解】 展开式中二项式系数最大的项是第5项， 所以，即展开式中二项式系数最大的项是. 45、（2023上·天水市·高二期末）已知． （1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）当时，最大的项的系数为；当时，最大的项的系数为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，求出或，分别求解即可； （2）根据题意得，求解计算即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以．所以或， 当时，展开式中二项式系数最大的项是和． 所以的系数为，的系数为， 当时，展开式中二项式系数最大的项是． 所以的系数为． 小问2详解】 因为，所以． 所以或（舍去）． 设第项的系数最大， 因为，所以． 所以， 又，所以．所以展开式中系数最大的项为第11项， ． 题型六 古典概型 46、（2023上·白银市·高二期末）（多选题）四位同学各在周六､周日两天中任选一天参加社区公益活动，则（ ） A. 四位同学选在同一天参加公益活动的概率为 B. 周六两位同学，周日两位同学参加公益活动的概率为 C. 周六､周日都有同学参加公益活动的概率为 D. 周六一位同学，周日三位同学参加公益活动的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用计数原理求解总情况，然后利用古典概型求解概率. 【详解】对A，四位同学各在周六､周日任选一天参加公益活动共有种结果，都在同一天即周六或者周日参加共有2种结果，故其概率为，故A正确； 对B，周六和周日各有两位同学参加的概率为,故B正确； 对C，不都在同一天即周六､周日都有同学参加的概率为,故C错误； 对D，周六一位同学，周日三位同学参加的概率为,故D正确. 故选：ABD 47、（2023上·庆阳市·高二期末）已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】任意交换两个数的位置之后有：，，，，，，共种， 两个奇数相邻有，，共种， 所以两个奇数相邻的概率为. 故答案为： 48、（2023上·兰州市·高二期末）某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程，甲､乙､丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. （1）求三位同学选择的课程互不相同的概率； （2）若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？ 【答案】（1）； （2）10. 【解析】 【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果. （2）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》；②三位同学都选择《数学建模》，分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【小问1详解】 三位同学选择课程共有种情况，三位同学选择的课程互不相同共有种情况， 所以三位同学选择的课程互不相同的概率为. 【小问2详解】 分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》，共有种不同的情况； ②有三位同学选择《数学建模》共有种情况， 由分类加法计数原理得总共有种不同的选课种数， 所以三人共有不同的选课种数是10. 题型七 新文化题 49、（2023上·兰州市·高二期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有__________个. 【答案】225 【解析】 【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再分别求出各位上的种数，先用乘法原理求出各类种数，再由加法原理即得. 【详解】依题意，五位正整数中 “回文数”具有： 万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同， 求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法： 第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种， 百位选一个奇数有5种， 不同 “回文数”的个数为个， 第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种， 不同 “回文数”的个数为， 由分类加法原理得， 在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数“回文数”共有：个. 故答案为：225 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 07 计数原理 题型一 组合数与排列数的性质 1、（2023上·天水市·高二期末）若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2、（2023上·酒泉市·高二期末）（多选题）下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 3、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）下列说法正确的是（ ） A. 已知，则可能取值为6 B. 已知，则可能取值为7 C. 在的二项式展开式中，常数项是84 D. 在的二项式展开式中，常数项是 4、（2023上·白银市·高二期末）若，则实数__________. 题型二 排列组合 5、从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（ ） A. 10 B. 60 C. 243 D. 15 6、（2023上·白银市·高二期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ） A. 7 B. 12 C. 18 D. 24 7、（2023上·白银市·高二期末）甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 3种 D. 9种 8、（2023上·庆阳市·高二期末）某车间有男工人20人，女工人15人，从中选一位工人参加技能培训，则不同选法的种数为（ ） A. 25 B. 35 C. 40 D. 300 9、（2023上·兰州市·高二期末）有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同安排方法为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 10、（2023上·白银市·高二期末）踢球时甲､乙､丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（ ） A 6种 B. 8种 C. 2种 D. 4种 11、（2023上·酒泉市·高二期末）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 60种 12、（2023上·白银市·高二期末）某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 13、（2023上·白银市·高二期末）安排5名志愿者完成四项工作，其中项工作需2人，项工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（ ） A. 66种 B. 60种 C. 54种 D. 48种 14、（2023上·庆阳市·高二期末）分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 15、（2023上·白银市·高二期末）（多选题）6本不同的画册要分给甲､乙､丙三人，每人最少一本，则下列说法正确的为（ ） A. 甲分得4本，则不同的分法有30种 B. 甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则不同的分法有60种 C. 每人2本，则不同的分法有540种 D. 甲至少分得3本，则不同的分法有150种 16、（2023上·天水市·高二期末）（多选题）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 17、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（ ） A. 偶数有60个 B. 比300大的奇数有48个 C. 个位和百位数字之和为7数有24个 D. 能被3整除的数有48个 18、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ） A. 若任意选科，选法总数为 B. 若化学必选，选法总数为 C. 若政治和地理至少选一门，选法总数为 D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为 19、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有______种． 20、（2023上·白银市·高二期末）星期二下午的3节课排物理､化学和自习课各一节，要求第一节不排自习课，那么不同的排课方法种数为__________．（用数字作答）． 21、（2023上·天水市·高二期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法． 22、（2023上·酒泉市·高二期末）某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为__________. 23、（2023上·白银市·高二期末）如图，三根绳子上共挂有6只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，每枪只能打破一只气球，而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法数是______． 24、（2023上·白银市·高二期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案. （1）平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？ （2）分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？ 25、（2023上·酒泉市·高二期末）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男､女生各有一名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答） （1）至少有一名队长参加该活动； （2）至多有两名女生参加该活动. 题型三 排队问题 26、（2023上·兰州市·高二期末）某班组织文艺晚会, 准备从等个节目中选出个节目演出, 要求两个节目至少有一个被选中, 且同时被选中时, 它们的演出顺序不能相邻, 那么不同的演出顺序种数为 A. B. C. D. 27、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（ ） A. B. C. D. 28、（2023上·兰州市·高二期末）从等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答） （1）若必须在内，有多少种排法？ （2）若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？ 29、（2023上·庆阳市·高二期末）有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？ （1）女生甲排在正中间； （2）名女生不相邻； （3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）； （4）名女生中间恰有名男生． 30、（2023上·庆阳市·高二期末）某电视台举办“我心中最美的人”主题演讲比赛，参赛选手共7位，其中男选手4位，女选手3位，分别求解下列问题 （1）女生甲不能排在第一场，女生乙不能排在最后一场，有多少种不同的排法？ （2）现7位选手排成一排，其中甲、乙、丙三人按从高至矮的顺序从左到右排列，则共有多少种不同的排法？（甲、乙、丙三位同学身高互不相等） 题型四 涂色问题 31、（2023上·白银市·高二期末）（多选题）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ） A. B. C. D. 32、（2023上·兰州市·高二期末）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为____________． 题型五 二项式定理 ①二项式定理展开式 33、（2023上·白银市·高二期末）在的展开式中，的系数是（ ） A. B. 56 C. 8 D. 34、（2023上·白银市·高二期末）的展开式中，项的系数是（ ） A. 30 B. 30 C. 60 D. 60 35、（2023上·庆阳市·高二期末）展开式中的系数是（ ） A. 40 B. 80 C. 10 D. 60 36、（2023上·天水市·高二期末）展开式的常数项为（ ） A. B. C. 100 D. 220 37、（2023上·白银市·高二期末）的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 5 C. 15 D. 35 38、（2023上·庆阳市·高二期末）二项式的展开式中的系数是 _________ 39、（2023上·白银市·高二期末）在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128，则的系数为__________． 40、（2023上·白银市·高二期末） 的展开式中有理项的个数为__________. 41、（2023上·白银市·高二期末）（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 42、（2023上·庆阳市·高二期末）解答下列各题 （1）求的展开式中所有奇数项的二项式系数和； （2）已知二项式，求展开式中含项的系数. ②二项式定理中的最值 43、（2023上·兰州市·高二期末）已知 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设，若，则（ ） A. 63 B. 64 C. 247 D. 255 44、（2023上·兰州市·高二期末）已知的展开式中所有项的系数之和为. （1）求展开式中系数； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 45、（2023上·天水市·高二期末）已知． （1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 题型六 古典概型 46、（2023上·白银市·高二期末）（多选题）四位同学各在周六､周日两天中任选一天参加社区公益活动，则（ ） A. 四位同学选在同一天参加公益活动的概率为 B. 周六两位同学，周日两位同学参加公益活动的概率为 C. 周六､周日都有同学参加公益活动的概率为 D. 周六一位同学，周日三位同学参加公益活动的概率为 47、（2023上·庆阳市·高二期末）已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______. 48、（2023上·兰州市·高二期末）某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程，甲､乙､丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. （1）求三位同学选择的课程互不相同的概率； （2）若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？ 题型七 新文化题 49、（2023上·兰州市·高二期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有__________个. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$