专题01 集合与常用逻辑用语（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题01 集合与常用逻辑用语 元素与集合的关系 1．（23-24高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列的公差为，集合.则（    ） A．不可能有无数个元素 B．当且仅当时，只有1个元素 C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 【答案】D 【分析】对于，选项，可取特殊数列验证即可；对于可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于，结合正弦函数的周期，即可判断. 【详解】选项，取，则，由，因为是无穷等差数列，正弦函数是周期为的函数，所以在每个周期上的值不相同，故错误； 选项，取，即，则，只有一个元素，故错误； 选项，假设只有2个元素，，这2个元素的乘积为，如图可知当等于或时，显然不是等差数列，与已知矛盾，故错误； 选项，当时, ， ， ， ， ， ，，所以最多有个元素， 又因为正弦函数的周期为，数列的公差为， 所以把周期平均分成份，所以个元素的和为0，故正确. 故选:. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断. 集合与集合的关系 2．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求集合，再根据集合间的关系和运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 所以之间没有包含关系，且，故ABC错误，D正确； 故选：D. 3．（21-22高三·北京西城区·期末）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】要想n的值大，则特征值要尽可能的小，，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，不妨令是只有1个元素的非空真子集，则，是含有两个元素的非空真子集，则时能保证n的值最大，同理可得：，以此类推，利用等差数列求和公式列出方程，求出n的最大值. 【详解】由题意，要想n的值大，则特征值要尽可能的小，可令，，，，，则，解得：或（舍去）. 故选：C 集合的交并补运算 4．（23-24高三上·北京东城·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集定义求解即可. 【详解】全集，集合， . 故选：C. 5．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由补集和并集的定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以， . 故选：A. 6．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，因此，. 故选：D. 7．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解对数函数不等式化简集合B，然后利用并集运算求解即可. 【详解】因为， 又，所以. 故选：A 8．（23-24高三上·北京西城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式求得集合，由此求得. 【详解】由解得或，所以， 所以. 故选：C 9．（22-23高三上·北京西城·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合A用列举法进行表示，从而可以确定. 【详解】集合， ， ， 故选：B. 10．（21-22高三上·北京·期末）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先用列举法表示出集合B，再根据交集的概念求出，即可得出结果. 【详解】，∴，即有2个元素 故选：B. 利用交并补求参数 11．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围. 【详解】集合表示直线上的点， 集合表示圆上的点，圆心为，半径， 为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即， 解得. 故答案为： 集合新定义 12．（21-22高三上·北京海淀区·期末）已知集合，集合，…（，）都是集合A的子集．如图，作m行列数表，其中第k行第l列的数为． 1 2 … … … … … … … … … 记，； ，； 对于m，n和，若存在集合，…满足下列条件： ①； ②； ③对任意的，的元素个数均为t． 则称有序数组是相容的． （1）求出所有相容的有序数组； （2）若是相容的，请直接给出t的值，并给出一个满足条件的数表． （3）求出所有相容的有序数组 【答案】（1）；（2）见解析；（3）不存在有序数组. 【分析】(1)由题知每个集合中的元素个数为n, 时，集合与集合的交集为空集，故可得解. (2)由题知数表是4行6列的表，每个集合的元素个数为3，即每行有三个数为1，故数表中所有数的和为12，故每列的和为2，即可得解. (3) 由题知数表是m行2n列的表，每个集合的元素个数为n，即每行有n个数为1，故数表中所有数的和为mn，故每列的和为，假设数表的第一行的前n列都为数字1，因为第一个集合与每一个集合交集的个数为2，故从n个元素中选出两个元素有多少种选择，下面就有多少行; 表左半部分按行算出数的和等于按列算出的和，由此得解. 【详解】（1），则，中每个集合中都有个元素. ，当时，，不妨设，， 则，且，因为A有两个子集，所以，. （2）当t=1时的数表 1 2 3 4 5 6 A1 1 1 1 0 0 0 A2 0 1 0 1 1 0 A3 0 0 1 0 1 1 A4 1 0 0 1 0 1 （3）由题意不妨设,当时，中有两个元素，故 ①，又， 所以=，故② 由①②得，无整数解，故不存在有序数组. 【点睛】本题是定义题， 关键是根据题中条件找到每行每列的信息，并找到m和n的关系. 13．（23-24高三上·北京顺义·期末）给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质． (1)分别判断集合与是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合． 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质 (2) (3)，，或 【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足； （2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解； （3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解. 【详解】（1）集合中的，， 所以集合不具有性质， 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质； （2）若集合具有性质，记，则， 令，则，从而必有， 不妨设，则，且， 令，，则，且，且， 以下分类讨论： 1）当时，若，此时，满足性质； 若，舍；若，无解； 2）当时，则，注意且，可知无解； 经检验符合题意， 综上； （3）首先容易知道集合中有0，有正数也有负数， 不妨设，其中，， 根据题意， 且，从而或， 1）当时，， 并且，， 由上可得，并且， 综上可知； 2）当时，同理可得， 据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个， 分别是，，或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论. 判断充分必要 14．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出时的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论. 【详解】由题意，在中，对称轴， ∴当时，，解得：， ∴“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 15．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性. 【详解】当，且时， ，充分性满足； 当时， ，当，时， 是可以大于零的， 即当时，可能有，，必要性不满足， 故“，且”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 16．（23-24高三上·北京西城·期末）设，是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据数量积的定义，结合，利用充分、必要条件的定义，结合不等式性质进行分析判定. 【详解】若成立，则，所以充分性成立， 若成立，即, 等价于（因为）， 当，时，满足则，但， 故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 17．（23-24高三上·北京东城·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，结合逻辑用语判断即可. 【详解】，， 函数在单调递增，函数在上单调递减， 由得，得，满足充分性； 由得，得，满足必要性. “”是“”的充要条件. 故选：C. 18．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意首项得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由题意两直线均有斜率，所以， 若取，则有，但； 若，又， 所以，而， 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 利用充分必要条件求参数 19．（23-24高三上·北京石景山·期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系、充分不必要条件等知识确定正确答案. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 若直线与圆有两个不同交点， 则，， 符合题意的只有. 故选：A 根据全称（存在性）命题的真假求参数 20．（21-22高三上·北京昌平·期末）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．若，且，则中至少有一个大于1 C． D．的充要条件是 【答案】B 【分析】对于A，由指数的性质判断即可；对于B，利用反证法判断；对于C，举反例判断；对于D，通过举反例判断 【详解】解：对于A，由于恒成立，所以不存在，使成立，所以A错误； 对于B，假设，则与相矛盾，所以原命题正确，所以B正确； 对于C，当时，，所以C错误； 对于D，当时，满足，但，所以的充要条件是是错误的，所以D错误， 故选：B 21．（22-23高三·北京顺义·期末）若存在使得，则m可取的一个值为 ． 【答案】（内的任一值均可） 【分析】根据题意可知：函数有零点，则，解之即可，在所得到的范围内任取一个值即可求解. 【详解】因为存在使得， 也即函数有零点，则有，解得：， 所以可取内的任意一个值，取， 故答案为：.（内的任一值均可） 22．（22-23高三上·北京朝阳·期末）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式的符号做出判断即可求出实数的取值范围 【详解】由题意可知， ①若，即或， 当时，不等式为，显然不成立；当时，不等式为，显然，使成立，即符合题意； ②若，即，此时不等式对应的一元二次函数开口向下，满足条件； ③若，即或，此时不等式对应的一元二次函数开口向上， 若要满足题意，则需方程由两个不相等的实数根， 即，解得， 即满足条件时； 综合①②③可得，实数的取值范围为 故答案为： 1．（21-22高三上·北京东城·期末）已知点不共线，为实数，，则“”是“点在内（不含边界）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用向量共线的推论及充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】若，且，可知三点共线， 若，点在内部（不含边界），则； 反之不成立，例如时，此时在外部， 所以“”是“点在内（不含边界）”的必要不充分条件， 故选：B. 2．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知圆：，直线：，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“ ”． 【答案】3 【分析】先分析圆C上恰有3个点到直线l的距离都是1，再利用充分条件的定义即可求解. 【详解】若圆C与直线相切，或相离都不可能有3个点到直线的距离为1， 故圆C与直线相交，即圆心C到直线的距离， 要使圆C上恰有3个点到直线l的距离是1，需，即 圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1，则 根据充分条件的定义知使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“” 故答案为：3 3．（21-22高三上·北京门头沟·期末）若集合（）满足：对任意（），均存在（），使得，则称具有性质． (1)判断集合，是否具有性质；（只需写出结论） (2)已知集合（）具有性质． （）求； （）证明：． 【答案】(1)集合具有性质；集合不具有性质； (2)（）；（）证明见解析. 【分析】(1)判断集合是否具有性质P，只要找出一个反例就可以说明不具备性质P； (2)（）由积为零，可以得到至少有一个因式为零； （）找出与的关系即可. 【详解】（1）集合具有性质； 集合不具有性质，只需要找到一个反例即可，如 ． （2）（）取，由题知，存在（），使得成立，即， 又，故必有． 又因为，所以． （）由（）得，当时，存在（）使得成立，又因为，故，即．所以． 又，所以， 故， 相加得： ，即． 4．（21-22高三上·北京朝阳·期末）对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记． (1)写出集合和； (2)证明：对任意，存在，使得； (3)设集合求证：中的元素个数是完全平方数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合与的公式，写出集合和即可； （2）任取，设，令，只需证明，即可证明结论成立； （3）任取，，可证明，且，，再设集合中的元素个数为，设，设集合，通过证明，，推出，即可完成证明． 【详解】（1），． （2）对任意，设， 则均为非负整数，且． 令，则，所以，且． （3）对任意，， 记，则，，…，均为非负整数， 且， 所以，且，． 设集合中的元素个数为，设． 设集合． 对任意，都有，，…，， 且，．所以． 若，其中，， 设，因为，所以， 记，则， 所以，并且有，所以，所以．所以． 因为集合中的元素个数为，所以中的元素个数为，是完全平方数． 【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等. 5．（22-23高三上·北京房山·期末）若对，，当时，都有，则称数列受集合制约. (1)若，判断是否受制约，是否受区间制约； (2)若，受集合制约，求数列的通项公式； (3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论. 【答案】(1)受制约，不受制约，理由见解析 (2)且. (3)是的充分不必要条件，证明见解析 【分析】（1）根据数列新定义，判断、且是否有成立即可判断； （2）由题设可得，利用等差数列的定义写出的通项公式； （3）由新定义判断、的推出关系，结合充分、必要性的定义得到结论. 【详解】（1）由、且，则，而， 显然，则，故受制约， 由、且， 当，即，故； 当，即，故. 故不受制约. 综上，受制约，不受制约. （2）由、且，有， 所以，又，， 故的奇数项、偶数项分别为首项为1、3，且公差均为2的等差数列， 当且，则， 当且，则， 综上，且. （3）结论：是的充分不必要条件，证明如下： 为真：受集合制约，由、且， 当，有成立，则，进而可得：①； 当，有成立，结合①有； 此时，受集合制约； 为真：受集合制约，由、且，有； 而，不一定有成立（反例：且，显然，有）， 故不一定受区间制约； 所以，受区间制约，必受集合制约，但受集合制约，不一定受区间制约； 综上，是的充分不必要条件. 6．（22-23高三上·北京西城·期末）已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． (1)判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; (2)若具有性质,证明:; (3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 【答案】(1)不具有性质,具有性质, (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出; (2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可. (3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可. 【详解】（1）解:由题知, 即 因为, 所以不具有性质, 由于, 即 因为 故具有性质, 因为 故; （2）“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3）设 规定时,, 时,, 则, 所以, 考虑数列, , 由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为, 所以, 所以, 由(2)知,从而, 当时,令, 当时,令, 此时均有, 所以中元素个数的最小值为. 【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答. 7．（21-22高三上·北京顺义·期末）数列：满足，称为数列的指数和. (1)若，求所有可能的取值； (2)求证:的充分必要条件是； (3)若，求的所有可能取值之和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题设，根据已知讨论的取值求出所有可能的取值. （2）结合反证思想，从充分性、必要性两方面证明即可. （3）由（2）分析知，则有中不同取值方式，进而判断不同系数情况下各项在所有可能中出现次数，即可确定可能取值之和. 【详解】（1）由题设，，又， 所以当时，；当中有两个，一个1，则可能值为1, -3, -5；当中有一个，两个1，则可能值为-1,3,5；当时，； 综上，. （2）证明充分性：当时，可得； 证明必要性：当时，用反证法， 假设，则矛盾. 从而； 所以的充分必要条件是，得证. （3）当时，由（2）知：，反之亦然. 当时，有中不同取值方式， 其中与，与，，与在所有指数和中出现的总次数都是种， 因此这些项对指数和的总贡献为零，另一方面，在所有指数和中出现次， 从而所有指数和之和为 . 【点睛】关键点点睛：第三问，注意第二问结论的应用，易知有中不同取值方式，而其中任一项确定，都对应种其余项的组合，又即所有可能值中该项抵消，而只有所在项出现次，即可求和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 元素与集合的关系 1．（23-24高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列的公差为，集合.则（    ） A．不可能有无数个元素 B．当且仅当时，只有1个元素 C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 集合与集合的关系 2．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三·北京西城区·期末）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 集合的交并补运算 4．（23-24高三上·北京东城·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·北京西城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高三上·北京西城·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高三上·北京·期末）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 利用交并补求参数 11．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是 ． 集合新定义 12．（21-22高三上·北京海淀区·期末）已知集合，集合，…（，）都是集合A的子集．如图，作m行列数表，其中第k行第l列的数为． 1 2 … … … … … … … … … 记，； ，； 对于m，n和，若存在集合，…满足下列条件： ①； ②； ③对任意的，的元素个数均为t． 则称有序数组是相容的． （1）求出所有相容的有序数组； （2）若是相容的，请直接给出t的值，并给出一个满足条件的数表． （3）求出所有相容的有序数组 13．（23-24高三上·北京顺义·期末）给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质． (1)分别判断集合与是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合． 判断充分必要 14．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（23-24高三上·北京西城·期末）设，是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（23-24高三上·北京东城·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 利用充分必要条件求参数 19．（23-24高三上·北京石景山·期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 根据全称（存在性）命题的真假求参数 20．（21-22高三上·北京昌平·期末）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．若，且，则中至少有一个大于1 C． D．的充要条件是 21．（22-23高三·北京顺义·期末）若存在使得，则m可取的一个值为 ． 22．（22-23高三上·北京朝阳·期末）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为 ． 1．（21-22高三上·北京东城·期末）已知点不共线，为实数，，则“”是“点在内（不含边界）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知圆：，直线：，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“ ”． 3．（21-22高三上·北京门头沟·期末）若集合（）满足：对任意（），均存在（），使得，则称具有性质． (1)判断集合，是否具有性质；（只需写出结论） (2)已知集合（）具有性质． （）求； （）证明：． 4．（21-22高三上·北京朝阳·期末）对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记． (1)写出集合和； (2)证明：对任意，存在，使得； (3)设集合求证：中的元素个数是完全平方数． 5．（22-23高三上·北京房山·期末）若对，，当时，都有，则称数列受集合制约. (1)若，判断是否受制约，是否受区间制约； (2)若，受集合制约，求数列的通项公式； (3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论. 6．（22-23高三上·北京西城·期末）已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． (1)判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; (2)若具有性质,证明:; (3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 7．（21-22高三上·北京顺义·期末）数列：满足，称为数列的指数和. (1)若，求所有可能的取值； (2)求证:的充分必要条件是； (3)若，求的所有可能取值之和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$