正三棱锥的几何性质讲义-2025届高三数学一轮复习

正棱锥的性质及应用 一．基本原理 1.斜高：空间几何体的顶点到其底边的距离，即为斜高，就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离，就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离. 2.正棱锥中的直角三角形 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高，底面为正方形，作于，则为斜高. ①.斜高、侧棱构成直角三角形，如图中． ②.斜高、高构成直角三角形，如图中. ③.侧棱、高构成直角三角形，如图中． 3.人教版教材必修二152页练习4有如下的设问：过所在平面外一点，作，垂足为，连接. （1）若，则为的________心. （2）若，，则为边的________点. （3）若，垂足都为，则为的________心. 注：显然，四点作成一个三棱锥（四面体），下面我们逐个分析其性质. （i）等腰四面体：当时，类似于等腰三角形，此时四面体的三条腰长相等. 上述习题第一问即是证明等腰四面体的一个重要性质： 结论1.顶点在底面的投影恰好是底面的外心.（公众号：凌晨讲数学） 证明：如图，由于，故根据勾股定理： ，即顶点在底面的投影恰好是底面的外心. 结论2.外接球：既然如此，根据外接球的性质，三棱锥外接球的球心在线段或者线段的延长线上，再次根据勾股定理，设外接球的半径为，的外接圆半径为，线段的长度为，则有：或. 特别地，若底面为正三角形，则三棱锥为正三棱锥，进一步，若三条棱长与底面三角形边长均相等，三棱锥为正四面体，由上述结论可得：假设棱长为，则外接球半径为. （ii）显然，有了（i）的分析，上述练习题的第二问简单，若，，则为边的中点. 结论3.过所在平面外一点，作，垂足为，连接.若 ，垂足都为，则为的垂心. 证明：由于，则，又因为，则面，即 ，这样的话，面，于是，则在边的高线上，同理可证得在的高线上，故为的垂心. 注：由证明可得：三条侧棱两两垂直可推得对棱相互垂直，把对棱相互垂直的四面体称为垂心四面体，即高过底面的垂心. 结论4.由上述推证易知：正三棱锥的对棱垂直. 结论5.正三棱锥的内切球 方法1.轴截面法 如图1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球半径.第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；第二步：求，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出. 方法2.等体积法 三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径，方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等.第一步：先算出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 二．典例分析 例1.（2019全国1卷）三棱锥的四个顶点都在球上，，为边长是2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 解析：由上述分析可知，设外接球的半径为，的外接圆半径为，三棱锥的高为，则，显然，，故欲算只需计算，而等腰四面体还有基本关系：，即只需计算出腰长即可，这样就可将已知条件利用起来解题. 解：设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形. 又，中余弦定理： ，作于，，，，，，又，两两垂直，，，，故选D. 方法2.由于正三棱锥的对棱垂直，再利用题干给的垂直关系，此题还可以做如下的证明，即将其还原到一个正方体中. 法2. 为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、中点， ，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D． 例2．金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.某金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 解析：如图， 设正四棱锥的底面边长为，设为底面的中心，高为， 设为的中点，则设斜高为，连接，设侧面与底面所成的角为， 由于，所以即为该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角， 由平面，平面,所以所以， 因为金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，即， 又，所以，故选：C. 例3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ） A． B． C． D． 解析：∵ 球的体积为，所以球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，，所以， 所以正四棱锥的体积， 所以，当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，，所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是．故选：C． 例4. 已知正四棱锥的底面边长为，高为3．以点为球心，为半径的球与过点的球相交，相交圆的面积为，则球的半径为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 解析：当公共圆面在四棱锥内部时，如下图所示， 设相交圆的圆心为，点为相交圆上的一点，也是两球的公共点，设球的半径为， 因为相交圆的面积为，所以相交圆的半径为1，即底面正方形边长为，所以，由勾股定理有，所以， 设，则①，②，联立①②解得．当公共圆面在四棱锥外部时，如下图所示， 同上可求，，，则③，④， 联立③④解得．故选：B． 例5.已知三棱锥的底面是边长为的等边三角形，，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的体积为_______，球的表面积为_______. 解析：如图所示：依题意得点到平面的距离为，所以，侧面高为， 所以，设球的半径为，所以则，得 设球的半径为，则，又，得所以球的表面积为 故答案为：； 三．习题演练 习题1.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 解析：设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得. 在正中，可得. 进而可得，，， 因此正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则，所以，球的表面积为. 故选：B. 习题2．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 解析：由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为，又，则，由得，解得，所以表面积为．故选：D． 习题3.在正三棱锥中，，是的中点，，则正三棱锥外接球的表面积为 ． 解析：取的中点，连接，因为，所以，又因为△是正三角形，所以，故平面，，又因为，，所以平面，且，故得到是三条两两垂直的，可以看做是正方体切下来的一个正三棱锥，故外接球的直径，因为，所以， 从而得到，所以其外接球的表面积为. 习题4.（2018全国二卷）. 如图，在三棱锥中，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 解析：（1）因为，为的中点，所以，且． 连结．因为，所以为等腰直角三角形，且 ，由知．由知平面． （2）过程略，所以与平面所成角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$