专题02 二次函数（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题02 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的最值问题 【解惑】已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最大值5，有最小值 B．有最大值0，有最小值 C．有最大值4，有最小值 D．有最大值4，有最小值0 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先把解析式化为顶点式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而确定离对称轴越远函数值越大，且最大值为5，再求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大，且最大值为5， 当时， ∵， ∴当时，， ∴四个选项中只有A选项说法正确符合题意， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．． 过点作于点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，过点N作， ∵正方形， 正方形，正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ， 同理可得：， ，， ∴， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：B． 2．已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值为 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．函数配方后得，当时，函数值y的最小值，则当，y有最小值可得m． 【详解】解∶， 当时，函数值y的最小值为， 根据题意，当时，y的值最小 ． 解得， 故答案为． 3．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键． 先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，据此求解即可． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 类型二、二次函数的系数关系问题 【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向判断①②，对称性，增减性判断③，根据时，取得最大值，判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；， 抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵时，取得最大值， ∴对于任意实数t，； 即，故④正确； 故答案为：①③④共3个， 故选：D． 【融会贯通】 1．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．根据对称轴为，得出，由此判断①，将点代入，结合得出由此判断②，再由开口方向，和增减性来比较的大小，由此判断③，根据图象与轴的交点和对称性判断④，将化成顶点式，得出当时，函数有最大值，再由，，和得出当时，函数有最大值，由此判断⑤即可． 【详解】对称轴为直线，抛物线开口向下， ，， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， ，故②正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， 与关于对称轴对称， ， ，故③正确； 与关于对称轴对称， 当时，， ，故④错误； ， ， 当时，函数有最大值， 直线过点， ， 由②可知，， ， ， 当时，函数有最大值，故⑤正确． 正确的有①②③⑤共4个． 故选：C． 2．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出四个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论数是 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据二次函数的图像和性质是解题的关键； 【详解】解：①由图象知和轴有两个交点， ， （正确）． ②由图象知；图象与轴交点在轴的上方，且二次函数图象对称轴为， ，，， 即 ③图象过点，对称轴为， 故时，则， 故当时，， ， 故； 故③④正确； 故答案为：①③④ 3．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解二次函数的开口方向，对称轴，与坐标轴交点的关系等知识． 根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点可对①⑤进行判断；根据抛物线的对称性可知时，，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据函数与方程的关系可对④进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ，则， ∴，所以⑤正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴是直线，且过点， 抛物线过点， 时，， ，所以②正确； 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最小值， （为任意实数）， 则，所以③正确； 方程即的两根为，，且， 抛物线与直线有两个交点，， 由图象可知，所以④错误． 故答案为：②③⑤． 类型三、二次函数的应用——图形问题 【解惑】如图，用长为的铝合金材料做一个如图所示的窗框，其中三个， (1)若，用含有x的式子表示的长，并求出x的取值范围； (2)求窗框的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)，最大面积为 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，二次函数的应用； （1）设，根据得出，，进而得出，根据窗框的周长为得出，进而求得的取值范围； （2）根据题意列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵ ∴， ∵ 则，即 ∴ ∴， ∵窗框的周长为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， （2）解：依题意， ∴当时，取得最大值 【融会贯通】 1．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏． (1)若米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙的长； (2)若米，求矩形菜园面积的最大值． 【答案】(1)4米 (2)50平方米 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的应用等知识，解题的关键根据旧墙的长度判断函数最值． （1）设，则，根据矩形的面积列方程即可解决问题； （2）根据矩形面积列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 由题意得，， 解得：或， 当时，，不符合题意， 当时，， ∴旧墙的长为4米； （2）解：设，则，设面积为， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． 2．又是一年秋风起，武汉某花圃基地计划将如图1所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉，其中花卉B区是正方形（边长不超过），育苗区一边与花卉B区重合，另一边长是．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，300元． (1)设花卉B区的边长为，用含x的代数式表示下列各量： 花卉A的种植面积是 ，花卉B的种植面积是 ，花卉C的种植面积是 ． (2)花卉B区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ (3)如图2，为了方便游客拍照，基地计划在花卉A、B区铺设一条宽为a米（）且与大矩形边平行的小路，若小路铺设完成后，A，B，C三种花卉的总产值之和最小值为73000元，则a的值为 ．（直接填写答案） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用．熟练掌握正方形和长方形的面积公式，总价与单价和数量的关系，建立方程和函数表达式，是解题的关键． （1）根据矩形的面积计算公式可直接得到答案； （2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）设A，B，C三种花卉的总产值之和为y百元，求出，根据，得y有最小值，根据最小值为73000元得，解得． 【详解】（1）解：∵花卉B区的边长为x， ∴面积是． ∵育苗区另一边长是10， ∴花卉A区的一边长为：，另一边长为：． ∴面积为：． ∵花卉C区的一边长为：，另一边长为：， ∴面积为：． 故答案为：，，． （2）∵A，B两种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，A，B两种花卉的总产值相等， ∴． 化简得． 解得或（舍去）． 故花卉B区的边长为时，A，B两种花卉的总产值相等． （3）设A，B，C三种花卉的总产值之和为y百元． ∵花卉A、B区铺设一条宽为a米（）且与大矩形边平行的小路， ∴花卉A区种植面积：． 花卉B区种植面积：．则 ． ∵， ∴y有最小值． ∴． 解得或（舍去）． 故答案为：． 3．疫情期间小茗同学准备用一段长为米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（如图中矩形），墙长为米．设花圃的一边为米． (1)试问：花圃的面积能为平方米吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (2)如图，为方便进出，小茗同学决定在边上留一处长为米的门，且最终围成的花圃的最大面积为平方米，请直接写出：的值为_____． 【答案】(1)花圃的面积能为平方米，此时的值为米； (2)． 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）分别用含的式子表示出矩形的长和宽，按照矩形的面积公式即可列出方程求解即可； （2）由题意可知此时，根据二次函数的性质及可得关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，， 篱笆总长为米， 米， 由题意得， ， ∴解得或； 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴花圃的面积能为平方米，此时的值为米； （2）解：四边形为矩形， ，， ∵篱笆总长为米，小茗同学决定在边上留一处长为米的门， 米， 设围成的花圃的面积为平方米，依题意， ， 又，抛物线开口向下， 当时，有最大值， ， 解得（负值舍去）． 的值为． 类型四、二次函数的应用——销售问题 【解惑】某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒），列式，去括号合并同类项，即； （2）根据总利润等于单件利润乘上销量，列式，运用二次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）， ∴， ． （2）解：设每盒售价定为x（元）时，超市销售该糕点的日均毛利润为W（元）， 则： 即， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 答：当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 【融会贯通】 1．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件． (1)设降价x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y，______； (2)请你测算一下，当售价为多少元时，可使日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元 【分析】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用． （1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解； （2）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：； （2）解：设日销售利润为元，降价x元，由题意得： ， ， 当时，（元），此时售价为（元）； 答：每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元． 2．一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该加工品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是150元？若能，求出销售单价应y（件）为多少元；若不能，请说明理由． (3)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 【答案】(1)； (2)能，销售单价为15元/件； (3)每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元． 【分析】对于（1），根据待定系数法求出解析式即可； 对于（2），令，得到一元二次方程，求出解； 对于（3），根据单件利润乘以销售量得出二次函数，再配方讨论最大值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为，根据题意得 ， 解得， ∴与x之间的函数表达式为； （2）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是150元. 根据题意知，， 即， 化简得 解得或 ∵， ∴舍去， ∴； 答：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是150元，销售单价为15元/件； （3）根据题意知， ∵，当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为； ∴每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的关系式，一元二次方程的应用，二次函数求最大值，弄清题目中的等量关系是解题的关键． 3．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用．理解题意，掌握利用待定系数法求函数解析式和正确的找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天所获利润为w元，根据题意可列出关于w与x的关系式，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 根据表格可得：， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：设每天所获利润为元， 根据题意有：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元． 类型五、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)直接写出的长（用含的代数式表示）． (2)当落在上时，求的值． (3)当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时， ；当时， 【分析】（1）根据题意表示出，由勾股定理求解； （2）当落在上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （3）根据题意分三种情况：当时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 在等腰直角三角形中中 ． （2）解：当落在上时， 四边形是正方形，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动， 和、是等腰直角三角形. ， ． 为中点，， ， ， ， ． （3）解：当时，如下图，设与交点为． ． ， ， ． 由题意可知是等腰直角三角形， ， ， ， ． 当时，如下图，设与交点为． 等腰直角三角形，， ． 在等腰直角三角形和中 ，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． 【融会贯通】 1．如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 【答案】(1)2，5 (2)当时，的面积最小，且最小值为 (3)当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据图②的面积，可得矩形的长和宽； （2）由题意得，，根据三角形的面积公式可得y与t的关系式，由图②得：，代入可得结论； （3）当为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算和的长，可得t的值． 【详解】（1）解：图②知，， 当时，P与A重合，， 即， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：2，5； （2）由题意得，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 当时，的面积最小，且最小值为； （3）当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，如下图所示，过F作于G， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； 当时，如下图所示，点E在的延长线上，此时四边形是正方形，， ； 当时，如下图所示，过点E作于点G， ， ， 同理得：， ， ， 综上所述：当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理得运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强． 2．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 【答案】(1)， (2)或时，的面积为 (3)时， 【分析】本题考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示三角形的面积是解题关键． 利用两点运动的速度表示出的长； 表示出的面积，由此得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出答案； 利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：，， ， ， 解得或， 当或时，的面积为； （3）解：， 故时，． 3．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． (1)填空： ； (2)当时，求x的值； (3)当时，求y与x之间的函数关系式； (4)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或4或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求解即可得； （2）先确定当时，点在上，点在上，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先确定当时，点在上，点在上，再过点作于点，然后证出，根据相似三角形的性质可得，利用三角形的面积公式求解即可得； （4）分①当点在上，点在上，即时，过点作于点；②点与点重合时；③当点运动到停止运动，点运动到中点时，利用相似三角形的性质和矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，动点分别从点同时出发，运动速度均为， ∴如图，当时，点在上，点在上， ∴，， ∴，即， ∴， 解得． （3）解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为， 则当时，点在上，点在上， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 又∵， ∴的面积为， 所以当时，与之间的函数关系式为． （4）解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为， 则分以下三种情况： ①如图，当点在上，点在上，即时，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； ②如图，点与点重合时， ∴，， ∵， ∴； ③如图，当点运动到停止运动，点运动到中点时，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时， 综上，的值为或4或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的几何应用等知识，较难的是题（4），正确分类讨论是解题关键． 类型六、二次函数的应用——线段、周长问题 【解惑】已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及的周长；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点使的周长最小，最小值为 (3)点M坐标为或时， 【分析】本题考查二次函数的与几何图形的综合题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键， （1）根据条件给出抛物线与轴的交点，，把点代入即求得的值，进而得到函数解析式； （2）根据题意可得点A、B关于对称轴对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小，利用、、坐标求、的长，求直线解析式，把代入即求得点的坐标； （3）由可得；当两三角形以为底时，高相等，即点和点到直线距离相等，若点在点上方，则有，由点坐标求直线解析式，即得到直线解析式，把直线解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点坐标； 若点在点下方，则此时所在的直线到直线的距离等于第一情况时到的距离，故可用平移的方法来求此时点的坐标 【详解】（1）解：已知抛物线与x轴相交于，两点，把点A，点B的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小；理由如下： 如图1，连接，    ∵抛物线解析式为， ∴以对称轴直线上， ∵点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵当C、P、B在同一直线上时，最小， ∵、、， ∴，， ∴最小， 设直线解析式为， 把点B代入得：， 解得：， ∴直线：， ∴， ∴点使的周长最小，最小值为； （3）解：存在满足条件的点M，使得；理由如下： ∵， ∴当以为底时，两三角形等高， ∴点C和点M到直线距离相等， ①若点M在点P上方，如图2，    ∴， ∵，，设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线：， ∴直线解析式为：， ∵， 解得：（即点C），， ∴点M坐标为； ②若点M在点P下方，如图3，    则点M所在的直线，且直线l到的距离等于直线到的距离， ∴直线：向下平移2个单位得即为直线l的解析式， ∵， 解得：或， ∵点M在x轴上方， ∴， ∴点M坐标为， 综上所述，点M坐标为或时，． 【融会贯通】 1．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）先求出点坐标，再求出直线的解析式，设，其中，则，可得是等腰直角三角形，得到，进而求出周长，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）设点坐标为，点坐标为，分三种情况：①当为对角线时；②当为对角线时；当为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分列出方程组解答即可求解； 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用及性质，平行四边形的性质，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1） 解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2） 解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，其中，则， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长 ， ， ， ∴当时，的周长有最大值，最大值为； （3） 解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点坐标为， ①当为对角线时，， 解得， ∴， ②当为对角线时，， 解得， ∴； ③当为对角线时，， 解得， 解得； 综上所述，存在点，以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 2．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，线段有最大值且为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可； （2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出，再结合，根据二次函数的性质求解即可． （3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强． 3．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． (1)求，满足的关系式及的值； (2)当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)当时，有最大值是 【分析】（1）在直线中，令和可得点和的坐标，代入抛物线中可解答； （2）连接交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，从而可以解答； （3）根据时，可得抛物线的解析式，如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设，则，表示的长，求得最大值，进而得到答案． 【详解】（1）解：直线中，当时，， ， 当时，， ， ， 将，代入抛物线中，得： ， ，； （2）解：如图1，当时，， ， 抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴是：， 由对称性可得， 要使的周长最小，只需最小即可， 如图1，连接交直线于点， 因为点与点关于直线对称，由对称性可知：， 因为两点之间线段最短，所以此时的周长最小， 所以的周长最小值为， 中，， 中，， 周长的最小值为； （3）解：当时，， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形， 设，则， ， ， ∴当时，有最大值是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键． 类型七、二次函数的应用——面积问题 【解惑】如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点为抛物线的顶点，点B在x轴上． (1)求m的值； (2)求抛物线的解析式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)6 (2) (3)6 【分析】（1）将点A的坐标代入，即可求出m的值； （2）设抛物线的解析式为，将顶点坐标代入可得，根据一次函数的解析式求得点B的坐标，再将点B的坐标代入，即可求得a的值，进而可得抛物线的解析式； （3）由点B和点A的坐标可得，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得； （2）设抛物线的解析式为， ∵顶点为， ∴． ∵x轴上的点B在直线上， ∴， ∵点B又在的图象上； ∴， 解得． ∴， ∴抛物线解析式为：； （3））∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式、一次函数与二次函数的交点问题、二次函数的面积问题，注意运用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数y的取值范围； (3)若P为二次函数图象上一点，且，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将，，代入函数解析式计算即可； （2）根据二次函数的图像和性质求解即可； （3）求出，得到，设，根据题意得到，求出或，确定边上的高，即可得到答案． 【详解】（1）解：将，，代入， ， 解得， ； （2）解：， 顶点坐标为， 当时，， 当时，， 故当时，求二次函数y的取值范围为； （3）解：，，， ， ， ， ， 设， 则， ， 或， 当时，得：， 解得， 点的坐标为或； 当，得：， 解得， 点的坐标为， 综上所述，当点的坐标为或或时，． 2．已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)点的坐标为 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）先求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．设点，则点，由，结二次函数的性质求解即可； （3）先求得点D坐标，连接，则轴．过点做交轴于点．根据等底等高的三角形面积相等得到，进而求得点N坐标和直线的解析式为．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线 抛物线过点 设二次函数的解析式为， 把代入，得：． 二次函数的解析式为； （2）解：设的解析式为，把点代入，得． 的解析式为． 如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点． 设点， 则点 ， ∵， 面积的最大值为12． （3）解：点的横坐标为， ，直线的解析式为． 连接，则轴．过点做交轴于点．则 ． ， ，则点的坐标为， ，直线的解析式为， 直线的解析式为． 点为抛物线与直线的在第二象限内的交点， 解方程组，解得或（舍去） 点的坐标为． 3．如图1，已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，且点C的坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)设点Q是在上方的抛物线上的点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)如图2，点D是点A关于抛物线对称轴的对称点，点P是在抛物线上第一象限的点．现将绕点A顺时针旋转得到，若直线的延长线交x轴于点，求出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）B，C两点关于直线对称，求出B点坐标，再由B，C两点坐标待定系数法求解析式； （2）根据四边形的面积等于，结合为定值，则当的面积最大值时，四边形的面积最大，过点Q作轴的垂线，交直线于点K，利用（1）中二次函数解析式求出点B，点A的坐标，再求出直线的解析式，设点，则，由，列出关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）将射线逆时针旋转就得到未旋转的位置，通过作辅助线求出直线的表达式且与抛物线的表达式联立方程组，解方程组即可求得P点坐标； 【详解】（1）解：∵点B与点关于直线对称， ∴， 把点，代入， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：由知，抛物线解析式为， 令，则， 解得， ， 令，则， ， ， 的面积为定值，即， 当的面积最大时，最大， 过点作轴交于， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 设点坐标为，则， ， ， ， 当时，最大，最大值为， 的最大值为； （3）解：如图3，作轴于点H，在上截取，连结并延长交抛物线于点P，连结． ∵抛物线与y轴交于点A， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴就是旋转前所在的位置． 设直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴． 由，得（舍去）或， ∴． 【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，二次函数与面积问题全等三角形的判定与性质，图象的旋转，用待定系数法求函数解析式，用解方程组的方法求函数图象的交点坐标；解题的关键是深入挖掘题中的隐含条件，正确地作出辅助线． 类型八、二次函数的新定义 【解惑】定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．          (1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)n的值为或． 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图像即可； （2）分直线过“镜面函数”图像与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为函数的“镜面函数”的图像．    （2）解：如图，    对于，当时，， 函数与轴的交点坐标为； 当直线经过点时，； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：， 整理得，， 此时，， 解得， 综上，n的值为或． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为______； ②函数的“最优纵横值”为______； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． 【答案】(1)①  ② (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确理解“纵横值”和“最优纵横值”的定义是解题的关键． （1）①根据可得“纵横值”； ②计算得 利用反比例函数图象上点的坐标特征可得结论； （2）根据对称轴求得则 所以 ，由最优纵横值为，即可得出 解得 （3）由题意可知则，由当 时，二次函数的最优纵横值为，分两种情况讨论得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①点的“纵横值”为 故答案为：； ②， ， ， 时，的最大值是， 故答案为：； （2）解：∵二次函数 的顶点在直线上， ， ， ， ， ∵最优纵横值为， ， ， （3）解：∵二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ∵当 时，二次函数的最优纵横值为，当 即时，则时，有最大值为, 解得或 (舍去), 当 即时，则时，有最大值为， ， 解得或 (舍去)。 故的值为或． 2．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 【答案】（1）和；（2）；（3）或； 【分析】本题主要考查了抛物线的图象性质，抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点问题．熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）由抛物线与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标； （2）由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标； （3）①设与对称轴交于点G，若，则，由此可得关于m的绝对值方程，解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案． 【详解】解：（1）∵抛物线的极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 又∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴点D的纵坐标为， ∵ ， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①由（2）知：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点P坐标为，点， 设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴ ∴ ∵直线垂直平分， ∴， ∴， 解得：或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或． 3．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求m的值； (3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求n的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）把代入求解即可判断； （2）把代入可得与的关系，根据抛物线与只有一个交点可得，进而求解即可． （3）先证明一次函数过，计算当时，，当一次函数的图象过时，可得得：，可得一次函数为：，结合当时，满足条件；从而可得答案． 【详解】（1）解：把代入得： ， 二次函数的图象经过点，是“定点抛物线”． （2）解：∵抛物线为定点抛物线， ∴， 整理得：， ∴抛物线为， ∵抛物线为与直线只有一个公共点， ∴方程有两个相等实根， ∴方程有两个相等实根， ∴， 解得：； （3）解：∵定点抛物线过， 当时，， ∴一次函数过， 如图， 当时，， 当一次函数的图象过时， ∴， 解得：， ∴一次函数为：， ∴当时，即时，满足条件； 【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，新定义的含义，二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键． 【一览众山小】 1．如图，抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B．当时，一定有y随x的增大而增大 C．线段的长度不变，且等于2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数进行分析判断即可． 【详解】解：抛物线与x轴交于C、D两点， 有两个不相等的实数根，故，选项A错误； 抛物线开口向上，顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间， 当对称轴在轴右边，时，不是y随x的增大而增大，故选项B错误； 抛物线的对称轴为直线，点C在点D的左侧， ， ， 抛物线为， 当时，， 解得， ， ，故选项C正确； 当顶点为时，，故选项D错误； 故选C． 2．如图，已知二次函数的对称轴为直线，顶点的纵坐标为，有下列说法： ①；②时，的值随值的增大而减小；③；④若关于的一元二次方程有实数根，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线的位置可判断①，根据抛物线的性质，从而判断②，③，由抛物线与直线交点个数判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴在轴的左边， ∴， ∴，故①正确． 由图象得：当时，随的增大而增大，故②是错误的； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 由图象得，当时，，故③是正确的； ∵若关于的一元二次方程有实数根， ∴关于的一元二次方程有实数根， ∴，故④是正确的， 故选：C． 3．已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ． 【答案】或7 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为0或， 故答案为：或7． 4．如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键掌握二次函数的性质．设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点，根据题意可得：，，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点， ，，， ，， ，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 5．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现超市决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元），之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式． (2)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？ (3)设销售这种菠萝蜜总共获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)12元 (3)当销售单价为51.5元时，每天获利最大，最大利润是2645元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意求出y与x之间的函数关系式为是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求出函数关系式． （2）根据总利润每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可； （3）设获得总利润为元，再建立二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意可知，将和代入中得， 解得： y与x之间的函数关系式为 故答案为： ； （2）根据题意得 整理得：， 解得：， 又要让顾客获得更大实惠， ． 答：这种干果每千克应降价12元． （3）销售这种菠萝蜜总共获利 ， ∵，， ∴当时，每天获利最大，最大利润为2645元， 此时销售单价为元 即：当销售单价为51.5元时，每天获利最大，最大利润是2645元． 6．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，连接，，其中，． (1)求抛物线的表达式及点坐标； (2)点是线段上一动点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点、的坐标分别代入得到、的方程组，则解方程组得到抛物线解析式，然后解方程得到点坐标，从而确定的长； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：把，分别代入得， 解得， 抛物线解析式为； 当时，， 解得，， ； （2）设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 设， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，（a，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 7．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形，证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）把点代入可求出，即可得出抛物线解析式，配方即可得出顶点坐标； （2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点的坐标，根据勾股定理的逆定理即可得结论； （3）先根据、坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，用表示出点坐标及的长，求出二次函数取得最大值时的值，代入即可得答案． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ∵， ∴顶点． （2）∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点， ∴， ∴，， ∴点， ∴，，， ∵；；， ∴， ∴是直角三角形． （3）存在，理由如下： 过点作轴，交于， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，待定系数法求解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值求法及勾股定理的逆定理是解题关键． 8．如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点（1，3）就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点． 设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． (1)求抛物线经过的定点的坐标； (2)是否存在实数，使顶点在轴上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键． （）将抛物线的解析式进行整理得，可得“定点”的坐标为； （）根据判断即可； （）先求出，再根据的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，得点、、三点共线，从而根据当过点和过点，即可求解的取值范围为． 【详解】（1）解：， 当，即时，， ∴无论为何值一定等于， ∴抛物线一定过定点． ∴． 故答案为：； （2）解：不存在，理由如下： ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴不存在实数，使顶点在轴上； （3）解：∵当时，， ∴， ∵，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短， ∴点、、三点共线， ∵在直线上， ∴当过点时得， ， 解得， 当过点时得， ， 解得， ∴的取值范围为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的最值问题 【解惑】已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最大值5，有最小值 B．有最大值0，有最小值 C．有最大值4，有最小值 D．有最大值4，有最小值0 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值为 3．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．    类型二、二次函数的系数关系问题 【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出四个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论数是 （填序号） 3．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ． 类型三、二次函数的应用——图形问题 【解惑】如图，用长为的铝合金材料做一个如图所示的窗框，其中三个， (1)若，用含有x的式子表示的长，并求出x的取值范围； (2)求窗框的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值． 【融会贯通】 1．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏． (1)若米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙的长； (2)若米，求矩形菜园面积的最大值． 2．又是一年秋风起，武汉某花圃基地计划将如图1所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉，其中花卉B区是正方形（边长不超过），育苗区一边与花卉B区重合，另一边长是．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，300元． (1)设花卉B区的边长为，用含x的代数式表示下列各量： 花卉A的种植面积是 ，花卉B的种植面积是 ，花卉C的种植面积是 ． (2)花卉B区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ (3)如图2，为了方便游客拍照，基地计划在花卉A、B区铺设一条宽为a米（）且与大矩形边平行的小路，若小路铺设完成后，A，B，C三种花卉的总产值之和最小值为73000元，则a的值为 ．（直接填写答案） 3．疫情期间小茗同学准备用一段长为米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（如图中矩形），墙长为米．设花圃的一边为米． (1)试问：花圃的面积能为平方米吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (2)如图，为方便进出，小茗同学决定在边上留一处长为米的门，且最终围成的花圃的最大面积为平方米，请直接写出：的值为_____． 类型四、二次函数的应用——销售问题 【解惑】某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 【融会贯通】 1．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件． (1)设降价x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y，______； (2)请你测算一下，当售价为多少元时，可使日销售利润最大？最大利润是多少？ 2．一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该加工品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是150元？若能，求出销售单价应y（件）为多少元；若不能，请说明理由． (3)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 3．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 类型五、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)直接写出的长（用含的代数式表示）． (2)当落在上时，求的值． (3)当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 【融会贯通】 1．如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 2．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 3．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． (1)填空： ； (2)当时，求x的值； (3)当时，求y与x之间的函数关系式； (4)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 类型六、二次函数的应用——线段、周长问题 【解惑】已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及的周长；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 2．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． (1)求，满足的关系式及的值； (2)当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值． 类型七、二次函数的应用——面积问题 【解惑】如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点为抛物线的顶点，点B在x轴上． (1)求m的值； (2)求抛物线的解析式； (3)连接，求的面积． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数y的取值范围； (3)若P为二次函数图象上一点，且，求P点的坐标． 2．已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 3．如图1，已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，且点C的坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)设点Q是在上方的抛物线上的点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)如图2，点D是点A关于抛物线对称轴的对称点，点P是在抛物线上第一象限的点．现将绕点A顺时针旋转得到，若直线的延长线交x轴于点，求出此时点P的坐标． 类型八、二次函数的新定义 【解惑】定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．          (1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，直接写出的值． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为______； ②函数的“最优纵横值”为______； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． 2．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 3．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求m的值； (3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求n的取值范围． 【一览众山小】 1．如图，抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B．当时，一定有y随x的增大而增大 C．线段的长度不变，且等于2 D． 2．如图，已知二次函数的对称轴为直线，顶点的纵坐标为，有下列说法： ①；②时，的值随值的增大而减小；③；④若关于的一元二次方程有实数根，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ． 4．如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 5．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现超市决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元），之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式． (2)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？ (3)设销售这种菠萝蜜总共获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 6．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，连接，，其中，． (1)求抛物线的表达式及点坐标； (2)点是线段上一动点，若，求点的坐标． 7．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点（1，3）就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点． 设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． (1)求抛物线经过的定点的坐标； (2)是否存在实数，使顶点在轴上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，求的取值范围． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$