专题04 椭圆（3基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题04 椭圆 椭圆的定义及其应用 1．（23-24高二上·天津·期末）若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据椭圆的定义进行求解. 【详解】由椭圆方程可知，解得. 又椭圆上一点M到两焦点的距离和为， 所以M到另一个焦点的距离为. 故选：B 2．（23-24高二上·天津·期末）如果椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离 A．6 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【详解】由椭圆知椭圆长轴长为设椭圆另一个焦点为，根据椭圆定义得：故选D 3．（23-24高二上·天津·期末）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆的定义及椭圆的通径求出，即可得出椭圆方程. 【详解】如图，    由椭圆定义知， 所以的周长为， 所以， 又最小时，轴，即为椭圆的通径，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为：， 故选：B 4．（23-24高二上·天津·期末）过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长是 ． 【答案】 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】求得，利用椭圆的定义可得出的周长. 【详解】在椭圆中，， 由题意可知，的周长为. 故答案为：. 由椭圆的几何性质求参数 1．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆：的离心率为，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：C 2．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆（）的短轴长为6，则实数的值为 . 【答案】3 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据方程分析，利用短轴长求解. 【详解】因为，所以，即. 故答案为：3 求椭圆的离心率 1．（23-24高二上·天津·期末）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、轨迹问题——圆 【分析】找过右顶点的切线和过上顶点的切线，从而可知这两条切线的交点在蒙日圆上，进而建立的方程，即可求解. 【详解】 如图，分别与椭圆相切，显然. 所以点在蒙日圆上， ，即， 所以椭圆的离心率. 故选：D 2．（23-24高二上·天津河东·期末）已知、为椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，直线经过点且垂直平分线段，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，利用垂直平分线的性质，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，直线为线段的垂直平分线，可得，即， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 椭圆离心率的最值（范围）问题 1．（23-24高二上·天津·期末）已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由圆与椭圆有交点得，即，可得，即可求解. 【详解】由题意知，以为直径的圆的方程为， 要使得圆与椭圆有交点，需， 即，得，即， 由，解得， 所以椭圆的离心率的最小值为. 故选：C 2．（23-24高二上·天津和平·期末）椭圆的两个焦点为，，点M是椭圆上一点，且满足．则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】将问题转化为当为短轴端点时，，即，进而可以求离心率的取值范围. 【详解】点M是椭圆上一点，且满足， 设为短轴端点，当时，必存在点，使，如图： 此时， 所以， 所以，即，即， 所以椭圆离心率的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围关键是要根据题目条件构造关于的不等式，然后解不等式即可. 3．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆C的一个焦点为，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为 ；若P为椭圆C上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】 1 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】根据椭圆的几何性质可以求出椭圆方程， 将所求等式的最小值转化为两点之间直线距离最短即可. 【详解】因为椭圆C的一个焦点为，所以椭圆C的焦点在y轴上，且， 因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以，得， 因为，所以椭圆C的标准方程为； 将M（3,3）代入椭圆方程，得 ，所以M点在椭圆外， 作图如下： 设椭圆C的另一个焦点为，则， 所以． 当，P，M三点共线时，取得最小值， 且最小值为， 所以的最小值为1； 故答案为：，1. 求直线方程、椭圆方程及参数 4．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆方程，左右焦点分别 ，.离心率，长轴长为4. (1)求椭圆方程. (2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以，为直径的圆交于C，两点.若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆中的弦长、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆的长轴、短轴、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意，设，的坐标分别为，，由椭圆的几何性质可得，解可得、的值，计算可得的值，将其代入椭圆的方程即可得答案； （2）假设存在斜率为1的直线，设其方程为，与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系分析，用表示，计算可得的值，分析可得结论． 【详解】（1）根据题意，设，的坐标分别为，， 根据椭圆的几何性质可得， 解得，，则， 故椭圆的方程为． （2）假设存在斜率为的直线，那么可设为， 则由（1）知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为， 圆心到直线的距离，得，即， 则， 联立得， 设，，，， 则，得，故， ，， ， 由可得 解得，得． 即存在符合条件的直线． 5.（23-24高二上·天津·期末）已知㭻圆：（）经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】椭圆中向量点乘问题、求直线与椭圆的交点坐标、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点，进而根据向量垂直满足的坐标关系求解. 【详解】（1）由题意可得所以， 所以椭圆方程为； （2）由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，， ， 所以，所以， 故，, 所以， 所以， 所以，解得， 故直线的方程为.    6．（23-24高二上·天津西青·期末）已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】椭圆中向量共线比例问题、椭圆中向量点乘问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由椭圆定义得，，由此即可得解. （2）由题意得，，设，联立椭圆方程，表示出点的坐标，结合求出斜率即可得解. 【详解】（1） 由题意得，， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 由（1）知，又，所以， 由题意，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），所以直线斜率存在且不为0， 设，直线和椭圆方程联立得，得， 当时，则， 因为直线与以为圆心的圆相切于点，即为中点， 则，， ，， 因为，所以，得， 因为，所以得. 所以直线或. 7．（23-24高二上·天津·期末2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据弦长求参数、根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可； 【详解】（1）解：依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； （2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 直线与椭圆的位置关系图形面积问题 8．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的弦长、根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由题设可得、，进而写出椭圆方程； （2）联立椭圆与直线，应用韦达定理、弦长公式及点线距离公式求，进而求面积. 【详解】（1）由题设且，则，故， 所以. （2）联立直线与椭圆，可得，显然， 所以，，故， 而到的距离， 所以的面积为. 9．（23-24高二上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程． 【答案】（1）（2）． 【知识点】椭圆中的定直线、根据a、b、c求椭圆标准方程 【解析】（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解即可. （2）把面积之比转化为纵坐标之间的关系，联立方程结合韦达定理可求. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：；解得，所以椭圆的方程为. （2）由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D(，)，E(，)，＜0＜ ①， ， ，②；③； 由①②得：，， 代入③得：，又，故， 因此，直线l的方程为． 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题，椭圆方程一般利用待定系数法，建立方程组进行求解，面积问题的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆：，离心率为，且经过点. (1)求C的方程： (2)过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方），且的面积为3（O为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程； （2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程. 【详解】（1）椭圆：，离心率为，且经过点， 则有，解得，所以椭圆C的方程为. （2）过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方）， 设直线的方程为， 椭圆左顶点为，，点N在x轴下方，直线的斜率， 由，消去得， 设，则有，得， ， 原点到直线的距离， 则有， 当时，方程化简为，解得； 当时，方程化简为，解得，不满足，舍去. 所以直线的方程为，即. 【点睛】方法点睛： 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 11．（23-24高二上·天津·期末）已知点在椭圆上，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于两点， ①若，求直线的方程； ②求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①直线的方程为或；② 【知识点】椭圆中向量共线比例问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】 （1）代入点得到方程，再结合离心率即可得到方程； （2）①利用设线法将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量的定义得到，代入计算即可；②利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式，再利用换元法得到其范围即可. 【详解】（1）因为点在椭圆上， 所以①， 因为椭圆的离心率为，所以， 因为，所以，② 由①②得，，所以椭圆的方程为. （2）设过点的直线交于两点， ①（i）当直线轴，则，所以不满足题意； （ii）当直线斜率存在，设直线方程为， 联立方程，化简得，； 因为，且 若，则， 所以，代入， 化简得，，解得， 所以直线的方程为或. ②（i）当直线轴，则的面积； （ii）由①中（ii）知， 又到直线的距离， 所以， 令，所以，所以， 因为，所以，所以； 综上所述，的面积取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，将直线与椭圆联立得到韦达定理式，根据交点横坐标的关系得到方程解出参数，再利用弦长公式和点到直线距离公式得到面积表达式，通过换元等方法求出其范围即可，最后不忘考虑直线斜率不存在的情况. 12．（23-24高二上·天津和平·期末）已知椭圆的左顶点为点A，上、下顶点分别为点B、C，左焦点为点F，且椭圆的焦距为，为等边三角形． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设过原点O且斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P、M均在第一象限．若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为 (2) 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）设椭圆左顶点为，上顶点为，下顶点为，左焦点为，由题意可得，解方程即可求出，可得椭圆的方程及离心率； （2）设直线l的方程为，由结合题意可得，即，分别联立直线l与直线和椭圆的方程解得，，再代入，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设椭圆左顶点为，上顶点为，下顶点为，左焦点为． 因为为等边三角形，所以，即， 因为焦距为，所以，又，故，，， 所以椭圆的方程为，离心率为． （2）设直线l的方程为，设点，则点， 设点，点B到直线l的距离为d， 因为，所以，即， 又因为点P，M均在第一象限，有，，即． 由点，点，易知直线AB的方程为， 由方程组，消去y，可得， 由方程组，消去y，可得． 由，可得，整理得， 解得，因为，所以，故直线l的方程为． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由可得，进一步得出，即，分别联立直线l与直线和椭圆的方程解得，，再代入，解方程即可得出答案. 13．（23-24高二上·天津滨海新·期末）设椭圆（）的上顶点为A，左焦点为F，已知椭圆的离心率，． (1)求椭圆方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或或或 【知识点】求椭圆中的弦长、求直线与椭圆的交点坐标、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据已知条件，求出，的值确定椭圆方程. （2）根据已知条件确定先确定点坐标，根据对称确定，确定坐标，求出解出坐标，求出，求出到直线的距离，进而确定三角形面积，得到关于方程，解出即可确定直线方程. 【详解】（1） 根据已知条件，，则，又因为，所以有， ，所以椭圆方程为. （2）根据已知条件，直线的斜率一定存在，若，则直线方程为， 与直线无交点，所以；因为，所以直线方程为， 联立直线与椭圆方程有：，即，， ，又因为，所以， 代入直线，得 ，所以，点关于轴的对称点的坐标为： ；联立，有，所以直线的斜率为 ，整理有：，设，则有， 因为， ，即，解得 所以，所以，整理有： ；因为所在直线方程为： 化为一般式，设点到直线的距离为，则 ，整理的，所以的面积为： ， ，整理有，即， 整理有：，解得或； 或整理有：，解得或； 综上所述，直线方程为或或或. 14．（23-24高二上·天津河北·期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)斜率为， 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】 （1）根据椭圆的焦点、短轴长求出即可得解； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程，求出弦中点，得出斜率即可得证； （3）由题意为线段的中点，表示出点坐标，代入椭圆求解斜率，再由点到直线距离求出高可得三角形面积，即可得解. 【详解】（1）由题意知， 又， 解得. 椭圆的方程为. （2）由题意，设直线的方程为， 由方程组消去得. 显然， 设， 则. 为线段的中点， ， ，故为定值. （3）如图，    若四边形为平行四边形，则为线段的中点， 即 点在椭圆上， ，解得，即； 结合（2）可得，， 设点到直线的距离为，则， 即 15.（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆的左、右焦点，离心率为，点是椭圆上的动点，的最大面积是． （1）求椭圆的方程； （2）圆E经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，为坐标原点，直线交椭圆于两点，且． （i） 求直线的斜率； （ii）当的面积取到最大值时，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）（i）；（ii）． 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据离心率建立等式，结合的最大面积是可求椭圆的方程； （2）（i）利用圆的对称性可得圆心为轴上一点，结合，，三点共线可以表示出点的坐标，代入椭圆方程可求点，进而可得直线的斜率； （ii）设出直线的方程，求出弦长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，结合面积公式及二次函数知识可求直线的方程． 【详解】（1）∵离心率，， ∴，， 面积的最大值为：， ∴，； ∴椭圆方程为． （2）（i）∵圆经过椭圆的两个焦点， ∴圆心为轴上一点，设点， ∵圆与椭圆在第一象限交于点，∴， ∵，，三点共线，且是圆的一条直径， ∴， 将点代入椭圆方程得到，即， ∴直线的斜率为． （ii）∵，∴直线的斜率也为，设直线，， 联立，得， ，∴， ，， ， 点到直线：的距离， ∴． ∴当，即时的面积最大，此时直线的方程为：． 【点睛】本题主要考查椭圆的方程和三角形面积的问题，方程求解的关键是明确的大小，面积问题一般结合弦长公式进行求解，侧重考查数学运算的核心素养. 直线与椭圆的位置关系探索性问题 16．（23-24高二上·天津·期末）已知点是椭圆上一点，,分别为椭圆的左、右焦点，，当，的面积为. (1)求椭圆的方程; (2)设过点直线和椭圆交于两点,，是否存在直线，使得与（是坐标原点）的面积比值为. 若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，直线的方程为. 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）结合椭圆的定义求得，从而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据与的面积比求得直线的方程. 【详解】（1）由， 由. ，故， ， ， ， 即椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为 ， 设，则， ，③， 由①③得代入②得， 解得， 直线的方程为， 故存在直线，使得与的面积比值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是利用面积公式将面积比转化为两点纵坐标的比，再结合韦达定理求得的两根关系求出参数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 椭圆 椭圆的定义及其应用 1．（23-24高二上·天津·期末）若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24高二上·天津·期末）如果椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离 A．6 B．10 C．12 D．14 3．（23-24高二上·天津·期末）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末）过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长是 ． 由椭圆的几何性质求参数 1．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆：的离心率为，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 2．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆（）的短轴长为6，则实数的值为 . 求椭圆的离心率 1．（23-24高二上·天津·期末）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津河东·期末）已知、为椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，直线经过点且垂直平分线段，则该椭圆的离心率为 . 椭圆离心率的最值（范围）问题 1．（23-24高二上·天津·期末）已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津和平·期末）椭圆的两个焦点为，，点M是椭圆上一点，且满足．则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆C的一个焦点为，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为 ；若P为椭圆C上一动点，，则的最小值为 ． 求直线方程、椭圆方程及参数 4．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆方程，左右焦点分别 ，.离心率，长轴长为4. (1)求椭圆方程. (2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以，为直径的圆交于C，两点.若，求直线的方程. 5.（23-24高二上·天津·期末）已知㭻圆：（）经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 6．（23-24高二上·天津西青·期末）已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程. 7．（23-24高二上·天津·期末2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 直线与椭圆的位置关系图形面积问题 8．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积. 9．（23-24高二上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程． 10．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆：，离心率为，且经过点. (1)求C的方程： (2)过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方），且的面积为3（O为坐标原点），求直线的方程. 11．（23-24高二上·天津·期末）已知点在椭圆上，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于两点， ①若，求直线的方程； ②求的面积的取值范围. 12．（23-24高二上·天津和平·期末）已知椭圆的左顶点为点A，上、下顶点分别为点B、C，左焦点为点F，且椭圆的焦距为，为等边三角形． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设过原点O且斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P、M均在第一象限．若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程． 13．（23-24高二上·天津滨海新·期末）设椭圆（）的上顶点为A，左焦点为F，已知椭圆的离心率，． (1)求椭圆方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程． 14．（23-24高二上·天津河北·期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积. 15.（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆的左、右焦点，离心率为，点是椭圆上的动点，的最大面积是． （1）求椭圆的方程； （2）圆E经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，为坐标原点，直线交椭圆于两点，且． （i） 求直线的斜率； （ii）当的面积取到最大值时，求直线的方程． 直线与椭圆的位置关系探索性问题 16．（23-24高二上·天津·期末）已知点是椭圆上一点，,分别为椭圆的左、右焦点，，当，的面积为. (1)求椭圆的方程; (2)设过点直线和椭圆交于两点,，是否存在直线，使得与（是坐标原点）的面积比值为. 若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是利用面积公式将面积比转化为两点纵坐标的比，再结合韦达定理求得的两根关系求出参数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$