专题8.3 椭圆、双曲线与抛物线 (考点精讲)-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题8.3 椭圆、双曲线与抛物线方程 一、【考纲要求】 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 3.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质； 4.了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想. 二、【考向预测】 1.椭圆、双曲线及抛物线的标准方程； 2.椭圆、双曲线的离心率； 3.椭圆、双曲线及抛物线的简单几何性质应用 三、【知识清单】 知识点1：椭圆 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 知识点2 双曲线 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点3 抛物线 1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2、抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 [常用结论与提醒] 1、椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 2.双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 3.抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 四、【方法技巧】 1.求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置. 2.确定椭圆或双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆或双曲线与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。 3.求离心率通常有两种方法 (1)直接利用公式：椭圆的离心率e＝＝(0<e<1)，双曲线的离心率e＝＝(e>1). (2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 4.利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来得到已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算. 五、【考点分类剖析】 考点一：椭圆的标准方程 例1.在方程中，下列，，全部正确的一项是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式练习1】已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为 ． 【变式练习2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 【变式练习3】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【变式练习4】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 考点二：椭圆的焦点、焦距、长短轴及离心率 例2. 已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（    ） A．10 B．49 C．50 D．1201 【变式练习1】已知椭圆的焦距为6，则的值是（   ） A．5 B．32 C．5或77 D．32或50 【变式练习2】椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【变式练习3】已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式练习4】曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【变式练习5】椭圆的短轴长为 ，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 . 【变式练习6】椭圆的离心率 ，过右焦点作直线交椭圆于A、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为 ． 【变式练习7】椭圆的离心率为，则 . 【变式练习8】已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为 ． 考点三：双曲线的定义及标准方程 例3.若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【变式练习1】以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式练习2】中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D．. 【变式练习3】已知双曲线的虚轴长为4，离心率为，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式练习4】已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ． 【变式练习5】过点的等轴双曲线的方程为 . 【变式练习6】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【变式练习7】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【变式练习8】求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知，当为何值时， ①方程表示双曲线；②表示焦点在轴上的双曲线；③表示焦点在轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值． 考点四：双曲线的渐近线方程及离心率 例4 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式练习2】双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（    ）． A． B．4 C． D． 【变式练习3】若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为：（    ） A． B．4 C． D．2 【变式练习4】若双曲线的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式练习5】双曲线的离心率（   ） A．与有关，但与无关 B．与有关，且与有关 C．与无关，但与有关 D．与无关，且与无关 【变式练习6】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式练习7】若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 . 【变式练习8】已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 ． 【变式练习9】已知双曲线方程为，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点和焦点坐标、离心率及渐近线方程． 考点五：抛物线标准方程 例5.已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】已知抛物线经过点，写出的一个标准方程： . 【变式练习4】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 【变式练习5】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 考点六：抛物线准线方程、焦点 例6.抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知曲线过抛物线的焦点，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【变式练习3】已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式练习4】已知抛物线，则焦准距是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式练习5】若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 【变式练习6】抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 椭圆、双曲线与抛物线方程 一、【考纲要求】 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 3.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质； 4.了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想. 二、【考向预测】 1.椭圆、双曲线及抛物线的标准方程； 2.椭圆、双曲线的离心率； 3.椭圆、双曲线及抛物线的简单几何性质应用 三、【知识清单】 知识点1：椭圆 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 知识点2 双曲线 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点3 抛物线 1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2、抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 [常用结论与提醒] 1、椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 2.双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 3.抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 四、【方法技巧】 1.求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置. 2.确定椭圆或双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆或双曲线与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。 3.求离心率通常有两种方法 (1)直接利用公式：椭圆的离心率e＝＝(0<e<1)，双曲线的离心率e＝＝(e>1). (2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 4.利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来得到已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算. 五、【考点分类剖析】 考点一：椭圆的标准方程 例1.在方程中，下列，，全部正确的一项是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据椭圆方程的特征及的关系求解． 【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，且， ∴， 故选：C． 【变式练习1】已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据离心率可得的值，根据通径可得的值，求出后可得椭圆的标准方程. 【解析】由题设有，故，解得，故，故 故椭圆的标准方程为：， 故答案为：. 【变式练习2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 【答案】 【分析】设椭圆方程为，得到方程组，求出，得到答案. 【解析】设椭圆方程为，则， 解得，故椭圆方程为. 故答案为： 【变式练习3】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分焦点在x轴，y轴两种情形，结合几何性质列式求解； （2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解. 【解析】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，， 则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为. 则，所以，，， 即椭圆方程为. 若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为. 【变式练习4】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由题意得，解出该方程组即可由椭圆焦点在x轴上或在y轴上得解； （2）先求出椭圆焦点即可得椭圆焦点坐标为，进而可设圆方程为且，解出和即可得解. 【解析】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为或. （2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为， 因为椭圆与有相同的焦点，且经过点， 所以可设椭圆方程为，且，解得， 故，解得（舍去）或，故. 所以椭圆的标准方程为. 考点二：椭圆的焦点、焦距、长短轴及离心率 例2. 已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（    ） A．10 B．49 C．50 D．1201 【答案】D 【分析】由条件知椭圆的焦点在轴上，半焦距长，短半轴长，根据的关系，可求. 【解析】椭圆C：的一个焦点为，过点， ∴，∴ ，∴. 故选：D. 【变式练习1】已知椭圆的焦距为6，则的值是（   ） A．5 B．32 C．5或77 D．32或50 【答案】D 【分析】分情况讨论焦点位置，分别计算可得的值. 【解析】根据椭圆方程可知当焦点在轴上时，可得，解得； 当焦点在轴上时，可得，解得； 综上可知，的值是32或50. 故选：D 【变式练习2】椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，得到，即可判断. 【解析】对于椭圆：， 对于椭圆：， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D. 【变式练习3】已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出长轴，再根据算出即可. 【解析】由题意得，，所以 所以， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 【变式练习4】曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的a、b、c即可判断求解． 【解析】曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率， 因为，所以， 曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中，，， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率 故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对； 故选：B 【变式练习5】椭圆的短轴长为 ，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 . 【答案】 【分析】现根据椭圆方程得到的值，再结合椭圆的几何性质及定义即可求解. 【解析】由椭圆， 则，即， 所以短轴长为，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为. 故答案为：2 ；. 【变式练习6】椭圆的离心率 ，过右焦点作直线交椭圆于A、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为 ． 【答案】 16 【分析】根据方程可得，即可得离心率；根据椭圆定义求的周长. 【解析】由椭圆方程可知：， 所以椭圆的离心率； 所以的周长. 故答案为：；16. 【变式练习7】椭圆的离心率为，则 . 【答案】3或 【分析】根据椭圆的离心率公式，分为和两种情况求解． 【解析】∵表示椭圆，∴且． 当时，则，∴， ∴，解得； 当时，则，∴， ∴，解得， 综上：或． 故答案为：3或． 【变式练习8】已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合椭圆的定义与性质计算即可 【解析】如图，取线段的中点M，连接， 因为，， 所以，且， 所以， 设， 所以C的离心率为 ， 故答案为： 考点三：双曲线的定义及标准方程 例3.若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的特点列不等式可解. 【解析】曲线是双曲线，则异号.则，解得. 故选：D. 【变式练习1】以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程可得其顶点与焦点，结合双曲线标准方程，可得答案. 【解析】由椭圆，则左右顶点分别为与， 由，则左右焦点分别为与， 设双曲线方程为，则，，解得， 所以可得. 故选：B. 【变式练习2】中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【解析】：令 ，得， 又双曲线焦点在x轴上， 等轴双曲线的一个焦点为， 即， ∴， 故等轴双曲线的方程为. 故选：A. 【变式练习3】已知双曲线的虚轴长为4，离心率为，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合，求得的值，即可求解. 【解析】由题意，双曲线的虚轴长为，离心率为， 可得，即， 因为，即，解得：. 所以曲线的方程为. 故选：C. 【变式练习4】已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ． 【答案】 【分析】由题意可知，结合可求出，从而可写出的一个标准方程． 【解析】因为，所以， 所以， 又因为，则，即， 又因为，所以， 解得， 当时，的一个标准方程为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 【变式练习5】过点的等轴双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意设出双曲线方程，代入点的坐标，利用待定系数法求解即可. 【解析】因为双曲线为等轴双曲线， 所以设双曲线方程为，， 将点代入得，解得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 【变式练习6】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数即可． （2）结合已知双曲线，设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可求出答案． 【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 【变式练习7】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线的方程为或，然后根据已知条件来求得正确答案. （2）双曲线的方程为，然后根据已知条件来求得正确答案. 【解析】（1）方法一 根据题意，设所求双曲线的标准方程为， ，即．① 双曲线经过点， ．② 由①②得，， 双曲线的标准方程为． 方法二 设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 解得 双曲线的标准方程为． 【变式练习8】求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知，当为何值时， ①方程表示双曲线；②表示焦点在轴上的双曲线；③表示焦点在轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值． 【答案】(1)①或；②；③； (2)或. 【分析】（1）根据方程表示双曲线，以及由焦点位置得到参数满足的条件，从而得出答案. （2）分焦点位置进行讨论可得答案. 【解析】（1）①若方程表示双曲线，则须满足或， 解得或． ②若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足， 解得； ③若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足， 解得． （2）若焦点在轴上， 则方程可化为，     ，即． 若焦点在轴上， 则方程可化为， ，即． 综上，的值为或． 考点四：双曲线的渐近线方程及离心率 例4 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求解即可. 【解析】因为双曲线的离心率为， 所以，故，即，， 解得，故，即渐近线方程是，故D正确. 故选：D 【变式练习1】若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据渐近线方程即可求解. 【解析】因为的一条渐近线方程为，所以，解得． 故选：C 【变式练习2】双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【解析】由双曲线的方程知两顶点，， 渐近线方程为， 由对称性，不妨求到直线的距离，． 故选：C． 【变式练习3】若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为：（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，注意，结合直线平行列方程求参数值即可. 【解析】由题设且，故， 所以，双曲线的渐近线方程为， 其中一条与平行，所以，则． 故选：A． 【变式练习4】若双曲线的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合双曲线参数关系及等差数列性质可得方程，化简即可. 【解析】由已知， 又实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列， 即，， 化简可得， 等式左右同除， 则，， 解得或（舍）， 故选：C. 【变式练习5】双曲线的离心率（   ） A．与有关，但与无关 B．与有关，且与有关 C．与无关，但与有关 D．与无关，且与无关 【答案】A 【分析】将双曲线转化为标准方程，即可根据离心率的公式求解. 【解析】双曲线的标准方程为， 它的焦点在轴上，离心率，它与无关，与有关， 故选：A. 【变式练习6】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系转化为关于的齐次方程，再转化为关于离心率的方程，即可求解. 【解析】由题意可知，双曲线的通径长为，如图所示， 则，若，所以，所以， 由于，所以，解得，因为，所以． 故选：C 【变式练习7】若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 . 【答案】 【分析】由离心率公式可得，根据双曲线的渐近线方程及斜率公式即可求解. 【解析】由题意，即，可得， 所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为. 故答案为：. 【变式练习8】已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的渐近线方程可以确定与的等量关系，转化解出离心率． 【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为， ， ， 故答案为：． 【变式练习9】已知双曲线方程为，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点和焦点坐标、离心率及渐近线方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【解析】：双曲线的方程可化为， 可得，所以，可得， 所以实轴长为，虚轴长为，焦距为， 顶点坐标为，焦点坐标为， 离心率，渐近线方程为． 考点五：抛物线标准方程 例5.已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【解析】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 【变式练习1】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的标准方程中参数的几何意义即可列式求解. 【解析】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为. 故选：C. 【变式练习2】已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标直接写出抛物线方程. 【解析】因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是. 故选：B 【变式练习3】已知抛物线经过点，写出的一个标准方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用抛物线的标准方程计算即可. 【解析】依题意可得的标准方程可设为或， 将点的坐标代入得，则的标准方程为或. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式练习4】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可知抛物线焦点在y轴上，设其方程为，根据焦点和准线求得，即可得方程； （2）设抛物线方程为，根据弦长列式求解即可. 【解析】（1）显然抛物线焦点在y轴上， 设其方程为，焦点，准线， 依题意，，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）设抛物线方程为，由，得， 于是，解得，即， 所以所求抛物线的标准方程为. 【变式练习5】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 【答案】(1) (2) (3)或． (4)或或或． 【分析】（1）根据焦点位置得到，则得到其标准方程； （2）根据准线方程得到，则得到其标准方程； （3）利用待定系数，设出抛物线方程，代入所过得点即可； （4）根据距离求出，则得到其标准方程. 【解析】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （2）焦点在轴正半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （3）由题意，抛物线方程可设为或， 将点的坐标代入，得或， 或． 所求抛物线的标准方程为或． （4）由焦点到准线的距离为，可知． 所求抛物线的标准方程为或或或． 考点六：抛物线准线方程、焦点 例6.抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案. 【解析】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为， 则，故焦点坐标为. 故选：C. 【变式练习1】已知曲线过抛物线的焦点，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数图象过定点可知即为的焦点，即可得出其准线方程. 【解析】易知函数过轴上定点，即为的焦点， 故的准线方程为. 故选：C. 【变式练习2】如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据抛物线定义求出，再代入回抛物线方程求出其纵坐标，最后计算面积即可. 【解析】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 如图：过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知，设，则，解得， 将代入可得， 所以的面积为. 故选：B. 【变式练习3】已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点的坐标代入方程求出，从而可求出抛物线的方程，进而可求出其准线方程. 【解析】由于抛物线：过点，所以，， 所以抛物线方程为，，， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 【变式练习4】已知抛物线，则焦准距是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据标准方程可得，即可根据的几何意义求解. 【解析】由可得，所以， 故焦准距为， 故选：D 【变式练习5】若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 【答案】 【分析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义得到关于的方程，求解即可. 【解析】由得，所以准线方程为， 因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2， 即，解得， 故答案为：. 【变式练习6】抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则, 所以, 故答案为：2. 2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$