福建省福州第四中学2024-2025学年高二上学期第一学段考试数学试题

高二数学 第 1 页（共 4 页） 2024-2025 学年福州四中第一学期第一学段试卷 高二数学 命题： 林铭辉 审核：郭菁 一、单选题：（每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求） 1．已知直线 l的斜率为 3，在 x轴上的截距为 2 3 3 ，则直线 l的方程为 ( ) A． 3 2y x  B． 3 2y x  C． 13 2 y x  D． 3 2y x   2．若 1 2 3{ , , }e e e    是空间的一个基底，且向量 1 2 2 3 1 3{ , , 3 }a e e b e e c e te             不能．．构成空间 的一个基底，则 (t  ) A． 3 B． 2 C． 1 D．0 3．已知 (0,0)A ， (2,0)B ， (2, 2)C  ， ( , 1)D m  四点共圆，则实数m的值为 ( ) A． 2 1 B． 2 1 C． 2 1 D．1 2 4．已知点 ( 1,2)A  ， (3,1)B ，直线 l过点 (0, 1)P  且与线段 AB有公共点，则直线 l的斜率的 取值范围 ( ) A． 2[ 3,0) (0, ] 3   B． 2( , ] [ 3, ) 3    C． 2[ 3, ] 3  D． 2( , 3] [ , ) 3    5．已知点 (1Q ，2，3)，平面 { | 0}P n PQ     ，其中 (2, 1,2)n   ，则点 ( 1A  ，0，1)到 平面 的距离是 ( ) A． 5 3 B． 7 3 C．2 D．3 6．若直线 2ax by  与圆 2 2 1: 4 O x y  相切，则圆 2 2( ) ( ) 2x a y b    与圆 (O ) A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 7．已知 1F ， 2F 是椭圆 2 2 1 36 25 x y   的左，右焦点，P是椭圆上任意一点，过 1F 引 1 2F PF 的 高二数学 第 2 页（共 4 页） 外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为 ( ) A．6 B．5 C．2 D．1 8．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的一条弦所在的直线方程是 5 0x y   ，弦的中点坐标 是 ( 4,1)M  ，则椭圆的离心率是 ( ) A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 5 5 二、多选题：（每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对得 6 分，有选错得 0 分，部分选对得部分分） 9．已知空间中三个向量 (1,2,0)a  ， ( 1,2,1)b    ， ( 1, 2,1)c    ，则下列正确的是 ( ) A． a与 c是共线向量 B．与 a同向的单位向量是 5 2 5( , ,0) 5 5 C． c在 a方向上的投影向量是 ( 1 ， 2 ， 0) D． a与 b  的夹角为 90 10．下列关于直线 :l y kx b  与圆 2 2: 1C x y  的说法正确的是 ( ) A．若直线 l与圆C相切，则 2 2b k 为定值 B．若 2 24 1b k  ，则直线 l被圆C截得的弦长为定值 C．若 2 24 1b k  ，则圆上仅有两个点到直线 l的距离相等 D．当 1 2 b  时，直线与圆相交 11．已知 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的左、右焦点，且 1 2| | 4F F  ，点 P是双 曲线上位于第一象限内的动点， 1 2F PF 的平分线交 x轴于点M ，过点 2F 作 2F E垂直于 PM 于点 E．则下列说法正确的是 ( ) A．若点 2F 到双曲线的渐近线的距离为 3，则双曲线的离心率为 2 B．当 1 2 60F PF  时，△ 1 2F PF 面积为 4 3 C．当 1| | 3PF a 时，点M 的坐标为 (1,0) D．若 1| | 11F E b ，则 2 350 7 a  高二数学 第 3 页（共 4 页） 三、填空题：（每题 5分，共 15 分） 12．若直线 l的一个方向向量是 (1, 3)d   ，则直线 l的倾斜角是 ． 13．若双曲线C与 2 2 1 9 x y  有共同渐近线，且与椭圆 2 2 1 40 20 x y   有相同的焦点，则该双 曲线C的方程为 ． 14．设 1F， 2F 为椭圆 1C 与双曲线 2C 的公共焦点， 1F， 2F 分别为左、右焦点， 1C 与 2C 在 第一象限的交点为M ．若 1 2MFF△ 是以线段 1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线 2C 的离心 率 72, 2 e      ，则椭圆 1C 离心率的取值范围是 ． 四、解答题：（共 6小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知平面内两定点 ( 1,0)M  ， (1,0)N ，动点 P满足 | | | | 2 3PM PN  ． （1）求动点 P的轨迹C的方程； （2）若直线 1y x  与曲线C 交于不同的两点 A、 B，求 | |AB ． 16．（15分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是边长为 1的正方形，侧棱 AP的 长为 2，且 AP与 AB、AD的夹角都等于 60，M 在棱 PC上， 1 2 PM MC   ，设 AB a   ， AD b   ， AP c   ． （1）试用 a， b  ， c表示出向量 BM  ； （2）求 BM  与 AP  所成的角的余弦值． 17．（15 分）已知圆C ，圆 2 21 : ( 3) 9C x y   ，圆 2 2 2 : ( 1) 9C x y   ，这三个圆有一条 公共弦． （1）当圆C 的面积最小时，求圆C的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线 l同时满足以下三个条件： 高二数学 第 4 页（共 4 页） ( )i 与直线 19 3 0x y   垂直； ( )ii 与圆C 相切； ( )iii 在 y轴上的截距大于 0，若直线 l与圆 2C 交于 D， E两点，求 | |DE ． 18．（17分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAB 平面 ABCD，AB AD ， / /AD BC ， 3PA BC  ， 2AB AD  ， 13PB  ． E为 PD中点，点 F 在 PC上，且 3PC FC ． （1）求证： AB 平面 PAD； （2）求二面角 F AE D  的余弦值； （3）线段 AC上是否存在点Q，使得 / /DQ 平面 FAE？说明理由． 19．（17 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     过点 ( 6,1)，其左右焦点分别为 1F ， 2F ， 且焦距为 4．直线 l过 2F 交椭圆于 A， B两点． （1）求椭圆C的方程； （2）当 1 90F AB  时， A在 x轴上方时，求 A、 B的坐标； （3）若直线 1AF 交 y轴于M ，直线 1BF交 y轴于 N，是否存在直线 l，使得 1 1F AB F MNS S  ， 若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由． 高二数学 第 1 页（共 14 页） 2024-2025 学年福州四中第一学期第一学段试卷 高二数学参考答案 一、单选题：（每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求） 1．已知直线 l的斜率为 3，在 x轴上的截距为 2 3 3 ，则直线 l的方程为 ( ) A． 3 2y x  B． 3 2y x  C． 13 2 y x  D． 3 2y x   解：直线 l在 x轴上的截距为 2 3 3 ，即点 2 3( ,0) 3 在直线 l上， 又直线 l的斜率为 3，所以直线 l的方程为： 2 30 3( ) 3 y x   ，即 3 2y x  ． 故选： B． 2．若 1 2 3{ , , }e e e    是空间的一个基底，且向量 1 2 2 3 1 3{ , , 3 }a e e b e e c e te             不能构成空间 的一个基底，则 (t  ) A． 3 B． 2 C． 1 D．0 解：由于 1 2a e e    ， 2 3b e e    ，所以 ,a b  不共线， 由于 , ,a b c   不能构成空间的一个基底，所以存在 x， y R 使得 c xa yb    ， 所以 3 0 x x y t y       ，解得 3x  ， 3y   ， 3t   ． 故选： A． 3．已知 (0,0)A ， (2,0)B ， (2, 2)C  ， ( , 1)D m  四点共圆，则实数m的值为 ( ) A． 2 1 B． 2 1 C． 2 1 D．1 2 解：设过四点的圆的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， 2 2( 4 0)D E F   ， 高二数学 第 2 页（共 14 页） 将 (0,0)A ， (2,0)B ， (2, 2)C  代入可得： 0 4 2 0 4 4 2 2 0 F D F D E F            ，解得 0 2 2 F D E       ， 所以圆的方程为 2 2 2 2 0x y x y    ， 将 ( , 1)D m  代入圆的方程得 2 2 1 0m m   ，解得 1 2m   ． 故选： D． 4．已知点 ( 1,2)A  ， (3,1)B ，直线 l过点 (0, 1)P  且与线段 AB有公共点，则直线 l的斜率的 取值范围 ( ) A． 2[ 3,0) (0, ] 3   B． 2( , ] [ 3, ) 3    C． 2[ 3, ] 3  D． 2( , 3] [ , ) 3    解：点 ( 1,2)A  ， (3,1)B ，直线 l过点 (0, 1)P  且与线段 AB有公共点， 直线 PA的斜率 2 ( 1) 3 1 0PA k       ，直线 PB的斜率 1 ( 1) 2 3 0 3PB k     ， 则直线 l的斜率满足 PAk k„ 或 PBk k… ， 即 3k „ 或 2 3 k  ，所以直线 l的斜率的取值范围为 2( , 3] [ , ) 3    ． 故选： D． 5．已知点 (1Q ，2，3)，平面 { | 0}P n PQ     ，其中 (2, 1,2)n   ，则点 ( 1A  ，0，1)到 平面 的距离是 ( ) A． 5 3 B． 7 3 C．2 D．3 高二数学 第 3 页（共 14 页） 解：根据题意可得 ( 2, 2, 2)QA      ， 又 { | 0}P n PQ     ， (2, 1,2)n   为平面 的法向量， 又 | | 3n  ， 4 2 4 6QA n         ，点 A到平面 的距离为 | | 6 2 | | 3 QA nd n        ． 故选：C． 6．若直线 2ax by  与圆 2 2 1: 4 O x y  相切，则圆 2 2( ) ( ) 2x a y b    与圆 (O ) A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 解：由题可得：圆心 (0,0)O 到直线 2ax by  的距离等于圆O的半径 1 2 ， 即 2 2 2 1 2 d a b    ，得 2 2 16a b  ， 圆 2 2( ) ( ) 2x a y b    圆心 ( , )O a b ，半径为 2 ， 两圆圆心距 2 2| | 4OO a b    ，大于两圆半径之和，所以两圆相离． 故选： A． 7．已知 1F ， 2F 是椭圆 2 2 1 36 25 x y   的左，右焦点，P是椭圆上任意一点，过 1F 引 1 2F PF 的 外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为 ( ) A．6 B．5 C．2 D．1 解：因为 P是焦点为 1F ， 2F 的椭圆 2 2 1 36 25 x y   上的一点， PQ为 1 2F PF 的外角平分线， 1QF PQ ， 设 1FQ的延长线交 2F P的延长线于点M ，所以 1| | | |PM PF ， 高二数学 第 4 页（共 14 页） 1 2| | | | 2 12PF PF a   ， 2 1 2| | | | | |MF PF PF   ， 所以由题意得OQ是△ 1 2FMF 的中位线，所以 | | 6OQ  ， 所以Q点的轨迹是以O为圆心，以 6为半径的圆，所以当点Q与 y轴重合时， Q与短轴端点取最近距离 6 5 1d    ． 故选： D． 8．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的一条弦所在的直线方程是 5 0x y   ，弦的中点坐标 是 ( 4,1)M  ，则椭圆的离心率是 ( ) A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 5 5 解：设直线 5 0x y   与椭圆相交于 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ， 由 1 2 8x x   ， 1 2 2y y  ， 直线 AB的斜率 1 2 1 2 1y yk x x     ， 由 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b        ，两式相减得： 1 2 1 2 1 2 1 22 2 ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y a b       ，  2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1y y x xb x x a y y         ，  2 2 1 4 b a  ， 由椭圆的离心率 2 2 31 2 c be a a     ， 故选：C． 二、多选题：（每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对得 6 分，有选错得 0 分，部分选对得部分分） 9．已知空间中三个向量 (1,2,0)a  ， ( 1,2,1)b    ， ( 1, 2,1)c    ，则下列说法正确的是 ( ) 高二数学 第 5 页（共 14 页） A． a与 c是共线向量 B．与 a同向的单位向量是 5 2 5( , ,0) 5 5 C． c在 a方向上的投影向量是 ( 1 ， 2 ， 0) D． a与b  的夹角为 90 解：已知空间中三个向量 (1,2,0)a  ， ( 1,2,1)b    ， ( 1, 2,1)c    ， 对于 A选项，因为 1 2 0 1 2 1     ，故 a、 c不共线， A错； 对于 B选项，与 a同向的单位向量是 1 2 5 2 5( , ,0) ( , ,0) | | 5 55 5 a a     ， B对； 对于C选项，c在 a方向上的投影向量是 2 5| | cos , (1,2,0) ( 1, 2,0) | | | | 5 a a cc a c a a a                    ， C对； 对于 D选项，因为 3 0a b    ，则 a、 b  不垂直，D错． 故选： BC． 10．下列关于直线 :l y kx b  与圆 2 2: 1C x y  的说法正确的是 ( ) A．若直线 l与圆C相切，则 2 2b k 为定值 B．若 2 24 1b k  ，则直线 l被圆C截得的弦长为定值 C．若 2 24 1b k  ，则圆上仅有两个点到直线 l的距离相等 D．当 1 2 b  时，直线与圆相交 解：圆 2 2: 1C x y  的圆心为 (0,0)，半径为 1， 对于 A选项，若 :l y kx b  与圆 2 2: 1C x y  相切， 则 2 | | 1 1 b k   ，可得 2 2 1b k  ，故 A正确； 对于 B选项，若 2 24 1b k  ，圆心到直线的距离为 2 | | 1 21 b k   ， 此时直线被圆截得的弦长为 2 22 1 3d  ，故 B正确； 高二数学 第 6 页（共 14 页） 对于C选项，因为 2 24 1b k  ，圆心到直线的距离为 2 | | 1 11 1 2 21 b k      ， 此时圆上有 3个点到直线 l的距离相等，故C错误； 对于 D选项，当 1 2 b  时，直线的方程为 1 2 y kx  ，即直线过定点 1(0, ) 2 ， 又因为 2 2 10 ( ) 1 2   ，可得点在圆内，故直线与圆相交，故D正确． 故选： ABD． 11．已知 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的左、右焦点，且 1 2| | 4F F  ，点 P是双 曲线上位于第一象限内的动点， 1 2F PF 的平分线交 x轴于点M ，过点 2F 作 2F E垂直于 PM 于点 E．则下列说法正确的是 ( ) A．若点 2F 到双曲线的渐近线的距离为 3，则双曲线的离心率为 2 B．当 1 2 60F PF  时，△ 1 2F PF 面积可能为 4 3 C．当 1| | 3PF a 时，点M 的坐标为 (1,0) D．若 1| | 11F E b ，则 2 350 7 a  解：对于 A：易知 2 (2,0)F ，又双曲线的一条渐近线方程为 0bx ay  ， 则 2F 到该渐近线的距离为 2 2 2 2 3b b ca b    ，又 2c  ， 所以 3b  ，所以 2 2 1a c b   ，得双曲线的离心率为 2ce a   ，故 A正确； 对于 B：在△ 1 2F PF 中， 1 2 60F PF  ， 1 2| | | | 2PF PF a  ， 则 2 2 21 2 1 2| | | | 2 | | | | 4PF PF PF PF a    ， 由余弦定理得 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | | | | |cos 2 | | | | PF PF FFFPF PF PF      ， 即 2 2 1 2 1 2 4 2 | | | | 41 2 2 | | | | a PF PF c PF PF      ，解得 21 2| | | | 4PF PF b  ， 高二数学 第 7 页（共 14 页） 所以△ 1 2F PF 的面积为 1 2 2 1 2 1 2 1 | | | | sin 3 2F PF S PF PF F PF b    ， 又 2b c  ，所以 1 2 23 4 3F PFS b  ，故 B错误； 对于C：因为 1| | 3PF a ， 1 2| | | | 2PF PF a  ，所以 2| |PF a ， 由角平分线定理可得 1 2 1 2 | | | | | | | | PF PF MF MF  ，则 1 1 2 2 | | | | 3 | | | | MF PF MF PF   ， 又 1 2| | | | 4MF MF  ，所以 1 2| | 3 | | 1MF MF   ， 故M 应在 x轴的正半轴，又 1( 2,0)F  ，所以 (1,0)M ，故C 正确； 对于 D：延长 2F A交 PF 于点H ，连接OE，如图， 易知 2PEH PEF   ，所以 2| | | |PH PF ，所以 1 1 1 2| | | | | | | | | | 2HF PF PH PF PF a     ， 又O、 E分别是 1 2F F ， 2HF 的中点，所以 1 1| | | | 2 OE HF a  ， 所以 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 | | | | | | 4 11cos cos 2 | || | 4 OF OE EF a bF OE FOE OF OE a             ， 又点 P在第一象限，故直线OE的斜率必小于渐近线 by x a  的斜率， 设渐近线 by x a  的倾斜角为 ， btan a  由 ，可得 22 2cos 2 a a a ca b      ， 则 2cos 2 aF OE  ，即 2 24 11 4 2 a b a a     ，整理得 2 23 11 4 0a b   ， 又 2 24b a  ，所以 2 23 11(4 ) 4 0a a    ， 高二数学 第 8 页（共 14 页） 解得 2 20 7 a  ，得 2 350 7 a  ，故 D正确． 故选： ACD． 三、填空题：（每题 5 分，共 15 分） 12．若直线 l的一个方向向量是 (1, 3)d   ，则直线 l的倾斜角是 3  ． 解：设直线 l的倾斜角是 ，可得： tan 3  ， [0  ， ) ， 解得 3   ． 故答案为： 3  ． 13．若双曲线C与 2 2 1 9 x y  有共同渐近线，且与椭圆 2 2 1 40 20 x y   有相同的焦点，则该双 曲线C的方程为 2 2 1 18 2 x y   ． 解：已知双曲线方程为 2 2 1 9 x y  ， 可得其渐近线方程为 1 3 y x  ， 易知椭圆 2 2 1 40 20 x y   的焦点为 ( 2 5,0) ， 不妨设双曲线C的标准方程为 2 2 2 2 1 x y a b   ， 因为双曲线C与 2 2 1 9 x y  有共同渐近线，且与椭圆 2 2 1 40 20 x y   有相同的焦点， 所以 2 2 1 3 20 b a a b       ， 解得 2 3 2 b a     ， 则双曲线C的标准方程为 2 2 1 18 2 x y   ． 故答案为： 2 2 1 18 2 x y   ． 14．设 1F ， 2F 为椭圆 1C 与双曲线 2C 的公共焦点， 1F ， 2F 分别为左、右焦点， 1C 与 2C 在 高二数学 第 9 页（共 14 页） 第一象限的交点为M ．若△ 1 2MF F 是以线段 1MF为底边的等腰三角形，且双曲线 2C 的离 心率 [2e ， 7] 2 ，则椭圆 1C 离心率的取值范围是 ． 解：设椭圆的方程为 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     ，双曲线的方程为 2 2 2 2 1( 0, 0) x y m n m n     ， 椭圆和双曲线的半焦距为 c，设 1| |MF s ， 2| |MF t ， 由题意可得 1 2| | 2t F F c  ， 由椭圆的定义，可得 2s t a  ， 由双曲线的定义，可得 2s t m  ， 解得 t a m  ， 设椭圆的离心率为 e，由 ce a   ， ce m  ， 所以 2a m c  ，即有 1 1 2 e e    ， 由 [2e ， 7] 2 ，可得 2[ 5 e ， 7 ] 16 ． 故答案为： 2[ 5 ， 7 ] 16 ． 四、解答题：（共 6小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）解：（1）由椭圆的定义知， P点的轨迹为椭圆， 其中 1 , 3 , 2c a b    ， 所以所求动点 P的轨迹C的方程为 2 2 1 3 2 x y   ． （2）设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ， 联立直线与椭圆的方程 2 2 1 1 3 2 y x x y       消 y整理得： 25 6 3 0x x   ， 所以 1 2 6 5 x x   ， 1 2 3 5 x x   ，  2 2 21 2 1 2 6 3 8 3| | 1 1 ( ) 4 2 ( ) 4 ( ) 5 5 5 AB x x x x          ． 高二数学 第 10 页（共 14 页） 16．（15分）解：（1）因为 1 2 PM MC   ， 所以 2 3 BM BC CM BC CP         ， 因为四边形 ABCD是边长为 1的正方形， 所以 ( )CP AP AC AP AB AD AP AB AD                 ， 因为 BC AD   ， 所以 2 2 1 2( ) 3 3 3 3 BM AD AP AB AD AB AD AP                ， 因为 AB a   ， AD b   ， AP c   ， 所以 2 1 2 3 3 3 BM a b c       ； （2）由题意可知：| | | | 1a b   ，| | 2c  ，c与 a，b的夹角均为 60，a与 b  的夹角为 90， 所以 2 2 2 2 22 1 2 4 1 4 4 8 4 4 1 16 8 4 17( ) 3 3 3 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 BM a b c a b c a b a c b c                               ， 所以 17| | 3 BM   ， 因为 | | | | 2AP c    ， 所以 22 1 2 2 1 2 2 1 2 7( ) 1 2cos60 1 2cos60 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 BM AP a b c c a c b c c                                  ， 设 BM  与 AP  所成的角为 ， 则 7 7 173cos 34| || | 17 2 3 BM AP BM AP          ． 高二数学 第 11 页（共 14 页） 17．（15分）解：（1）依题意，由 2 2 2 2 ( 3) 9 ( 1) 9 x y x y         ，解得 1 5 x y      或 1 5 x y     ， 因此圆 1C 与圆 2C 的公共弦的两个端点坐标分别为 ( 1, 5)M   ， ( 1, 5)N  ， 当圆C的面积最小时，MN 是圆C的直径，则圆C的圆心为 ( 1,0) ，半径为 5 ， 所以圆C的标准方程是 2 2( 1) 5x y   ； （2）因为直线 l与直线 19 3 0x y   垂直，则设直线 l的方程为 19 0x y m   ， 而直线 l与圆C 相切，则有 | 1 0 | 5 2 5 md     ，解得 11m  或 9m   ， 又因为 l在 y轴上的截距大于 0，即 0 19 m  ，所以 11m  ， 即直线 l的方程为 19 11 0x y   ，而圆 2C 的圆心 2 (1,0)C ，半径 2 3r  ， 点 2C 到直线 : 19 11 0l x y   的距离为 2 |1 0 11| 6 5 52 5 d    ， 于是得 2 2 22 2 6 5 6 5| | 2 2 9 ( ) 5 5 DE r d     ． 18．（17分）解：（1）证明：在 PAB 中， 3PA  ， 2AB  ， 13PB  ，  2 2 2 2 2 23 2 ( 13)PA AB PB     ． 90PAB  ，即 AB PA ． 高二数学 第 12 页（共 14 页） 又 AB AD ，在平面 PAD中， PA AD A ， AB 平面 PAD； （2）解：平面 PAB 平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB ， AB AD ， AD 平面 ABCD， AD 平面 PAB，得 AD PA ，已证 AB PA ，且已知 AB AD ， 以 A为坐标原点，分别以 AD、AB、AP所在直线为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系， 则 (2D ，0， 0)， (0P ，0， 3)， (3C ，2， 0)． (0,0,3), (2,0,0), (3,2,0), ( 3, 2,3)AP AD AC CP          ， E 为 PD中点， 1 3( ) (1,0, ) 2 2 AE AP AD      ． 由 3PC FC 知， 1 2 4(3,2,0) ( 1, ,1) (2, ,1) 3 3 3 AF AC CF AC CP              ． 设平面 AEF 的法向量为 ( , , )n x y z ， 由 3 0 2 42 0 3 n AE x z n AF x y z                ，令 2z  ，得 ( 3,3,2)n   ． 又 AB 平面 PAD，平面 PAD的法向量为 (0,2,0)AB   ．  3 2 3 22cos , 22| || | 2 9 9 4 n ABn AB n AB             ， 由题知，二面角 F AE D  为锐角，二面角 F AE D  的余弦值为 3 22 22 ； （3）解：设Q是线段 AC 上一点，则存在 [0 ，1]使得 AQ AC   ．  (3,2,0), ( 2,0,0)AC DA     ，  (3 2,2 ,0)DQ DA AQ DA AC             ． DQ  平面 AEF ，要使 / /DQ 平面 AEF ，则 0DQ n    ， 即 (3 2  ， 2 ， 0) ( 3  ，3， 2) 0 ． 高二数学 第 13 页（共 14 页） 即 (3 2) ( 3) 2 3 0 2 0         ．解得 2  ． 2 [0   ，1]， 线段 AC 上不存在Q，使得 / /DQ 平面 AEF ． 19．（17分）解：（1）因为 ( 6,1)为椭圆C上的点，且椭圆C的焦距为 4， 所以 2 2 2 2 2 6 1 1 2 4 a b c a b c          ，解得 2 2 8 4 a b     ，故椭圆方程为 2 2 1 8 4 x y   ． （2）设 1(A x ， 1)y ， 1 1 290 ( 90 )F AB F AF      ，  2 21 2 1 1 1 1 1 1( 2, ) ( 2, ) 4 0AF AF x y x y x y           ， 又 A在椭圆上，满足 2 2 1 1 1 8 4 x y   ，即 2 2 1 1 4(1 )8 xy   ，  2 2 1 1 4 4(1 ) 08 xx     ，解得 1 0x  ，即 (0,2)A ． 直线 : 2AB y x   ， 联立 2 2 2 1 8 4 y x x y        ，解得 8( 3 B ， 2) 3  ； （3）设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ， 3(0, )M y ， 4(0, )N y ， 直线 : 2l x my  ， 则 1 1 2 1 2 1 2 1 | | | | 2 | | 2F AB S F F y y y y     ， 高二数学 第 14 页（共 14 页） 1 1 3 4 3 4 1 | | | | | | 2F MN S FO y y y y     ． 联立 2 2 2 1 8 4 x my x y       ，得 2 2( 2) 4 4 0m y my    ． 则 1 2 2 4 2 my y m     ， 1 2 2 4 2 y y m    ． 由直线 1AF 的方程： 1 1 ( 2) 2 yy x x    ，得M 纵坐标 13 1 2 2 yy x   ； 由直线 1BF 的方程： 2 2 ( 2) 2 yy x x    ，得 N的纵坐标 24 2 2 2 yy x   ． 若 1 1F AB F MN S S  ，即 1 2 3 42 | | | |y y y y   ， 1 2 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 8( )| | | | | | | | 2 | | 2 2 4 4 ( 4)( 4) y y y y y yy y y y x x my my my my                ， 1 2| ( 4)( 4) | 4my my    ， 2 1 2 1 2| 4 ( ) 16 | 4m y y m y y    ， 代入根与系数的关系，得 2 2 2 4 4| 4 16 | 4 2 2 m mm m m         ，解得 3m   ． 存在直线 3 2 0x y   或 3 2 0x y   满足题意．