第1章 特殊平行四边形 学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 · 3　 · 第一章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 在▱ABCD 中,AC,BD 是两条对角线,如果添加一个条件,可推出▱ABCD 是菱形,那么这个条件可 以是 (　 　 ) A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD 第 1 题图 　 第 3 题图 　 第 5 题图 　 第 6 题图 2. 在正方形 ABCD 中,对角线 AC 长为 4,这个正方形的面积是 (　 　 ) A. 8 B. 16 C. 8 2 D. 16 2 3. 如图,P 为菱形 ABCD 对角线 AC 上一点,PE⊥AB 于点 E,PF⊥AD 于点 F,若 PF= 3 cm,则点 P 到 AB 的距离 PE 的长是 (　 　 ) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm 4. 要求加工 4 个长为 4 cm、宽为 3 cm 的矩形零件,陈师傅对 4 个零件进行了检测,根据零件的检测结 果,图中不合格的零件是 (　 　 ) A 　 B 　 C 　 D 5. 如图是一张矩形纸片 ABCD,AB= 10,AD= 4,若用剪刀沿∠ABC 的平分线 BE 剪下,则 DE 的长等于 (　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图,平行四边形 ABCD 的周长是 26 cm,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AC⊥AB,E 是 BC 的中点, △AOD 的周长比△AOB 的周长多 3 cm,则 AE 的长度为 (　 　 ) A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 8 cm 7. 如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 的顶点 D 在 x 轴上,边 BC 在 y 轴上,若点 A 的坐标为 (12,13),则点 C 的坐标是 (　 　 ) A. (0,-8)　 　 　 B. (0,-5)　 　 　 C. ( -5,0)　 D. (0,-6) 第 7 题图 　 　 第 8 题图 　 　 第 9 题图 　 　 第 10 题图 8. (新考法·数学文化)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽 创建. “将一个几何图形,任意切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,且等于所分割成的小图 形的面积之和”是该原理的重要内容之一. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AD = 3,AB= 4,E 是 CD 边上一点,过点 E 作 EH⊥BD 于点 H,EG⊥AC 于点 G,则 EH+EG 的值是 (　 　 ) A. 2. 4 B. 2. 5 C. 3 D. 4 9. 如图,在矩形 ABCD 中,AD = 3AB,点 G,H 分别在边 AD,BC 上,连接 BG,DH,且 BG∥DH,当四边形 BHDG 为菱形时,AG AD 的值为 (　 　 ) A. 4 5 B. 3 5 C. 4 9 D. 3 8 10. 如图,在四边形 ABCD 中,∠A= ∠B= 90°,AD= 10 cm,BC= 8 cm,点 P 从点 D 出发,以 1 cm / s 的速度 向点 A 运动,点 M 从点 B 同时出发,以相同的速度向点 C 运动,当其中一个动点到达端点时,两个 动点同时停止运动. 设点 P 的运动时间为 t(单位:s),下列结论正确的是 (　 　 ) A. 当 t= 4 s 时,四边形 ABMP 为矩形 B. 当 t= 5 s 时,四边形 CDPM 为平行四边形 C. 当 CD=PM 时,t= 4 s D. 当 CD=PM 时,t= 4 s 或 6 s 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. 一个木匠要制作矩形的踏板. 他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次,就能 得到矩形踏板. 理由是 . 12. 如图,在菱形 ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE,若∠ABC=140°,则∠OED= . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 13. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AD= 4 cm,把纸片沿直线 AC 折叠,点 B 落在点 E 处,AE 交 DC 于点 O, 若 AO= 5 cm,则 AB 的长为 . 14. 菱形两对角线的差为 2 cm,菱形的面积为 24 cm2,则菱形的边长为　 　 　 　 . 15. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,延长 BC 到点 F,使 CF = 1 2 BC,连 接 EF. 若 AB= 10,则 EF 的长为 . 16. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= 10,BC= 8,线段 DE 的两个端点 D,E 分别在边 AC,BC 上滑动,且 DE= 6,若 M,N 分别是 DE,AB 的中点,则 MN 的最小值为　 　 　 　 . 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、解答题(共 52 分) 17. (6 分)如图,在▱ABCD 中,边 AB 的垂直平分线交 AD 于点 E,交 CB 的延长线于点 F,EF 与 AB 交 于点 G,连接 AF,BE. 求证:四边形 AFBE 是菱形. 18. (8 分)如图,在正方形 ABCD 中,以 AD 为边在 AD 下方作等边△ADE,连接 BE,CE. 求证:BE=CE. 19. (8 分)如图,在△ABC 中,D 是 AB 上一点,E 是 AC 的中点,过点 C 作 CF∥AB,交 DE 的延长线于 点 F. (1)求证:AD=CF; (2)连接 AF,CD. 如果 D 是 AB 的中点,那么当 AC 与 BC 满足什么条件时,四边形 ADCF 是菱形? 证 明你的结论. 20. (8 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,CD⊥BC,BC= 2AD,F 是 BC 的中点. (1)求证:四边形 AFCD 是矩形; (2)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,连接 DE,EF. 求证:DE=DC. 21. (10 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠D= 90°,AB=AC,∠DAC= ∠B,E 是 BC 的中点. (1)求证:四边形 AECD 是矩形; (2)若 AD= 8,CD= 6,F 是 AD 上的点,连接 CF,把∠D 沿 CF 折叠,使点 D 落在点 G 处,如图 2. 当 △AFG 为直角三角形时,求 CF 的长. 图 1 　 　 图 2 22. (新素养·推理能力) (12 分)在正方形 ABCD 中,E 是边 CD 上一点(点 E 不与点 C,D 重合),连 接 BE. 【感知】如图 1,过点 A 作 AF⊥BE 交 BC 于点 F. 求证:△ABF≌△BCE; 【探究】如图 2,取 BE 的中点 M,过点 M 作 FG⊥BE 交 BC 于点 F,交 AD 于点 G. (1)求证:BE=FG; (2)连接 CM,若 CM= 1,则 FG 的长为 ; 【应用】如图 3,取 BE 的中点 M,连接 CM. 过点 C 作 CG⊥BE 交 AD 于点 G,连接 EG,MG. 若 CM= 3, 则四边形 GMCE 的面积为 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 图 2　 　 　 　 　 　 　 　 图 3 · 4·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 19. (1)证明:如图,过点 E 作 EM⊥BC 于点 M,EN⊥CD 于 点 N,∵ ∠BCD= 90°, ∴ ∠MEN= 90°. ∵ E 是正方形 ABCD 对角线上的点, ∴ EM=EN. ∵ EF⊥DE, ∴ ∠DEF = 90°, ∵ ∠DEN = ∠DEF - ∠FEN, ∠MEF = ∠MEN-∠FEN,∠DEF= ∠MEN, ∴ ∠DEN= ∠MEF. 在△DEN 和△FEM 中, ∠DNE= ∠FME, EN=EM, ∠DEN= ∠FEM, ì î í ïï ï ∴ △DEN≌△FEM(ASA) . ∴ DE=EF. (2)解:CE+CG 的值是定值,定值为 4. ∵ EF=DE,四边形 DEFG 是矩形, ∴ 矩形 DEFG 是正方形. ∴ DE=DG,∠GDE= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=CD,∠ADC= 90°. ∵ ∠GDE= ∠ADC= 90°, ∴ ∠CDG+∠CDE= ∠ADE+∠CDE= 90°. ∴ ∠CDG= ∠ADE. ∴ △ADE≌△CDG(SAS) . ∴ AE=CG. 在 Rt△ABC 中,AB=BC= 2 2 , ∴ AC= AB2 +BC2 = 4. ∴ CE+CG=CE+AE=AC= 4. 第一章学业水平测试 1. C　 2. A　 3. C　 4. C　 5. C 6. B　 【解析】 ∵ ▱ABCD 的周长是 26 cm,∴ AB + AD = 13 cm,OB = OD. ∵ △AOD 的周长比 △AOB 的周长多 3 cm,∴ (OA+OD+AD)-(OA+OB+AB)= AD-AB= 3 cm. ∴ AB= 5 cm,AD = 8 cm. ∴ BC = AD = 8 cm. ∵ AC⊥AB,E 是 BC 的中点,∴ AE= 1 2 BC= 4 cm. 故选 B. 7. B　 8. A　 9. C 10. D　 【解析】根据题意,设 DP= t cm,BM= t cm. ∵ AD= 10 cm,BC= 8 cm, ∴ AP=(10-t)cm,CM=(8-t)cm. 当四边形 ABMP 为矩形时,AP=BM, 即 10-t= t,解得 t= 5. 故 A 选项不符合题意; ∵ ∠A= ∠B= 90°,∴ AD∥BC. 当四边形 CDPM 为平行四边形时,DP=CM, 即 t= 8-t,解得 t= 4. 故 B 选项不符合题意; 当 CD=PM 时,分两种情况: ①四边形 CDPM 是平行四边形, 此时 CM=PD,即 8-t= t,解得 t= 4. ②四边形 CDPM 是等腰梯形, 如图,过点 M 作 MG⊥AD 于点 G,过点 C 作 CH⊥AD 于 点 H,则四边形 ABMG,ABCH 为矩形. ∴ ∠MGP= ∠CHD= 90°,AB=GM,AB=HC. ∴ GM=HC. ∵ PM=CD,GM=HC, ∴ Rt△MGP≌Rt△CHD(HL) . ∴ GP=HD. ∵ DH=AD-AH=AD-BC= 2, ∴ GP= 2. ∴ AG=AP+GP= 10-t+2. ∵ BM= t, ∴ 10-t+5 = t,解得 t= 6. 综上,当 CD=PM 时,t= 4 s 或 6 s. 故 C 选项不符合题意,D 选项符合题意. 故选 D. 11. 有一个角为直角的平行四边形是矩形 12. 20°　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OD=OB. ∵ DE⊥BC 于点 E,∴ OE 为直角三角形 BED 斜边上的 中线. ∴ OE= 1 2 BD. ∴ OB=OE. ∴ ∠OBE= ∠OEB. ∵ ∠ABC= 140°,∴ ∠OBE= 70°. ∴ ∠OED= 90°-70° = 20°. 13. 8 cm　 【解析】根据折叠的性质,可知∠BAC= ∠EAC. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB∥CD. ∴ ∠BAC= ∠ACD. ∴ ∠EAC= ∠ACD. ∴ AO=CO= 5 cm. 在 Rt△ADO 中,DO= AO2 -AD2 = 3 cm. ∴ AB=CD=DO+CO= 3+5 = 8(cm) . 14. 5 cm　 【解析】如图,菱形 ABCD 对角线交于点 O. 设菱形的对角线长为 2x,2y, 则菱形的面积为 2xy= 24. 根据题意,得 2x-2y= 2,解得 x= 4,y= 3. ∴ AO= 3 cm,BO= 4 cm. ∵ 菱形对角线互相垂直, ∴ △ABO 为直角三角形. ∴ AB= AO2 +BO2 = 5 cm. 15. 5 16. 41 -3　 【解析】如图,连接 CM,CN. ∵ 在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 10,BC= 8, ∴ AB= AC2 +BC2 = 2 41 . ∵ DE= 6,点 M,N 分别是 DE,AB 的中点, ∴ CN= 1 2 AB= 41 ,CM= 1 2 DE= 3. 当 C,M,N 在同一直线上时,MN 取最小值, 此时 MN=CN-CM= 41 -3. ∴ MN 的最小值为 41 -3. 17.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠AEG= ∠BFG. ∵ ∠AEG= ∠BFG,∠AGE= ∠BGF,AG=BG, ∴ △AGE≌△BGF(AAS) . ∴ AE=BF. ∵ AE∥BF,∴ 四边形 AFBE 是平行四边形. ∵ EF⊥AB,∴ 平行四边形 AFBE 是菱形. 18.证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BAD= ∠ADC= 90°,AB=CD. ∵ △ADE 是等边三角形, ∴ ∠EAD= ∠ADE= 60°,AE=ED. ∴ ∠BAD-∠EAD= ∠ADC-∠ADE,即∠BAE= ∠CDE. 又∵ AB=CD,AE=ED, ∴ △ABE≌△DCE(SAS) . ∴ BE=CE. 19. (1)证明:∵ CF∥AB, ∴ ∠ADF= ∠CFD,∠DAC= ∠FCA. ∵ E 是 AC 的中点,∴ AE=CE. ∴ △ADE≌△CFE(AAS) . ∴ AD=CF. (2)解:当 AC⊥BC 时,四边形 ADCF 是菱形. 证明如下:由(1)知,AD=CF. ∵ AD∥CF,∴ 四边形 ADCF 是平行四边形. ∵ AC⊥BC,∴ △ABC 是直角三角形. ∵ 点 D 是 AB 的中点,∴ CD= 1 2 AB=AD. ∴ 四边形 ADCF 是菱形. 20.证明:(1)∵ F 是 BC 的中点,∴ BF=CF= 1 2 BC. ∵ BC= 2AD,∴ AD= 1 2 BC. ∴ AD=CF. ∵ AD∥BC, ∴ 四边形 AFCD 是平行四边形. ∵ CD⊥BC,∴ ∠DCF= 90°. ∴ ▱AFCD 是矩形. (2)如图,连接 DF 交 CE 于点 G. ∵ BC= 2AD,F 是 BC 的中点, ∴ AD=BF. ∵ AD∥BC, ∴ 四边形 ABFD 是平行四边形. ∴ AB∥DF. ∵ CE⊥AB,∴ CE⊥DF. ∵ F 是 BC 的中点,∴ EF= 1 2 BC=CF. ∴ DF 是线段 CE 的垂直平分线. ∴ GE=GC,∠DFE= ∠DFC. ∴ △DGE≌DGC(SAS) . ∴ DE=DC. 21. (1)证明:∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠ACB. ∵ ∠DAC= ∠B,∴ ∠DAC= ∠ACB. ∴ AD∥EC. ∵ AB=AC,E 是 BC 的中点, ∴ AE⊥BC. ∴ ∠AEC= 90°. ∴ ∠EAD= 180°-∠AEC= 90°. ∵ ∠D= 90°,∴ 四边形 AECD 为矩形. (2)解:当△AFG 为直角三角形时,有以下三种情况: ①当∠AGF= 90°时,∵ ∠CGF= 90°, ∴ ∠AGC= ∠AGF+∠CGF= 90°+90° = 180°. ∴ 点 G 在 AC 上,如图 1. 在 Rt△ADC 中,AD= 8,CD= 6, ∴ AC= AD2 +CD2 = 10. 由折叠知,CG=CD= 6,∴ AG=AC-CG= 10-6 = 4. 设 DF= x,则 AF= 8-x,GF=DF= x. 在 Rt△AGF 中,由勾股定理,得 AG2 +GF2 =AF2 . ∴ 42 +x2 = (8-x) 2 . 解得 x= 3. 在 Rt△CDF 中,CD= 6,DF= 3, ∴ CF= CD2 +DF2 = 62 +32 = 3 5 . 图 1 　 　 图 2 ②当∠AFG= 90°时,∵ ∠CGF= 90°, ∴ AF∥CG. ∴ 点 G 在 CE 上,如图 2. 此时四边形 AFGE 是矩形,∴ FG=AE=CD= 6. ∵ FG=DF,∴ DF=CD= 6. 在 Rt△CDF 中,∵ ∠D= 90°, ∴ CF= CD2 +DF2 = 62 +62 = 6 2 . ③当∠FAG= 90°时,点 G 在 AE 上, 此时 CG=CD= 6,而 CE=AD= 8, ∵ 斜边大于直角边,∴ 点 G 不可能在 AB 边上. 综上所述,CF 的长为 3 5或 6 2 . 22. 【感知】证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠BCE= ∠ABC= 90°. ∴ ∠ABE+∠CBE= 90°. ∵ AF⊥BE,∴ ∠ABE+∠BAF= 90°. ∴ ∠BAF= ∠CBE. 在△ABF 和△BCE 中, ∠BAF= ∠CBE, AB=BC, ∠ABF= ∠BCE, ì î í ïï ï ∴ △ABF≌△BCE(ASA) . 【探究】(1)证明:如图,过点 G 作 GP⊥BC 于点 P. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠A= ∠ABC= 90°. ∴ 四边形 ABPG 是矩形. ∴ PG=AB. ∴ PG=BC. 同【感知】的方法,得∠PGF= ∠CBE. 在△PGF 和△CBE 中, ∠PGF= ∠CBE, PG=CB, ∠FPG= ∠ECB, ì î í ïï ï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 64·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·65　 · ∴ △PGF≌△CBE(ASA) . ∴ BE=FG. (2)解:由(1)知,FG=EB. ∵ ∠BCE= 90°,M 是 BE 的中点,CM= 1, ∴ BE= 2CM= 2. ∴ FG= 2. 故答案为 2. 【应用】解:由【探究】(2),得 BE= 2ME= 2CM= 6. ∴ ME= 3. 由【探究】(1),得 CG=BE= 6. ∵ BE⊥CG,∴ S四边形GMCE = 1 2 CG·ME= 1 2 ×6×3 = 9. 故答案为 9. 第二章考点梳理与复习 考点一　 一元二次方程的有关概念 1. C　 2. -6 考点二　 一元二次方程的解法 3. A　 4. A 5. 9　 【解析】∵ ax2 = b,∴ x2 = b a . ∵ 一元二次方程 ax2 = b(ab>0)的两个根互为相反数, ∴ 2m+1+m-4 = 0. 解得 m= 1, 即一元二次方程 ax2 = b(ab>0)的两个根是 3 和-3. ∴ b a = 32 = 9. 6.解:(1)方程两边同时除以 5,得(x+1) 2 = 4 25 . 两边开平方,得 x+1 = ± 2 5 ,即 x+1 = 2 5 或 x+1 = - 2 5 . 解得 x1 = - 3 5 ,x2 = - 7 5 . (2)移项,得 9(x-2) 2 -4(x+1) 2 = 0. 整理,得[3(x-2) -2(x+1)][3(x-2) +2(x+1)] = 0, 即(x-8)(5x-4)= 0. 解得 x1 = 8,x2 = 4 5 . (3)移项,得 4x2 -12x+5 = 0. 配方,得 4x2 -12x+9-9+5 = 0, 即(2x-3) 2 = 4. 两边开平方,得 2x-3 = ±2, 即 2x-3 = 2 或 2x-3 = -2. 解得 x1 = 5 2 ,x2 = 1 2 . (4)由方程得 a= 2,b= -3,c= -1. ∵ b2 -4ac= ( -3) 2 -4×2×( -1)= 17>0, ∴ x= 3± 17 2×2 ,即 x1 = 3+ 17 4 ,x2 = 3- 17 4 . 7.解:(1)∵ x2 -3x-4 = 0, ∴ (x-4)(x+1)= 0. ∴ x-4 = 0 或 x+1 = 0. ∴ x1 = 4,x2 = -1. (2)∵ x2 +4x-5 = 0, ∴ (x+5)(x-1)= 0. ∴ x+5 = 0 或 x-1 = 0. ∴ x1 = -5,x2 = 1. 考点三　 一元二次方程的根的判别式 8. A　 9. C 10. 1(答案不唯一) 11. (1)证明:∵ Δ= (2m+1) 2 -4×1×(m-2) = 4m2 +4m+1- 4m+8 = 4m2 +9>0, ∴ 无论 m 取何值,此方程总有两个不相等的实数根. (2)解:当 m= 0 时,判别式的值最小. 把 m= 0 代入原方程,得 x2 +x-2 = 0,(x+2)(x-1)= 0, 解得 x1 = -2,x2 = 1. 考点四　 一元二次方程的根与系数的关系 12. A 13.解:由题意,得 x1 +x2 = 3,x1x2 = 1. (1)原式=x1x2 -x1 -x2 +1=x1x2 -(x1 +x2)+1= 1-3+1= -1. (2)原式= x1x2(x1 +x2)= 1×3 = 3. (3)原式= x1 +x2 x1x2 = 3 1 = 3. (4)原式= (x1 +x2) 2 -2x1x2 = 32 -2×1 = 9-2 = 7. (5)原式= x21 +x22 x1x2 = 7 1 = 7. (6)原式= 1+x1 x1 · 1+x2 x2 = 1+x1 +x2 +x1x2 x1x2 = 1+3+1 1 = 5. 14.解:设 α,β 是方程 x2 +4x-2m= 0 的两个根,且 α≤β. ∵ 方程 x2 +4x-2m= 0 的一个根比另一个根小 4, ∴ α+β= -4,α·β= -2m,α=β-4. 解得 α= -4,β= 0,m= 0. ∴ 此方程的两个根为-4 和 0,m 的值为 0. 15.解:(1)∵ 方程有实数根, ∴ ( -4) 2 -4(k+1)≥0. 解得 k≤3. ∴ k 的取值范围为 k≤3. (2)不存在实数 k,使 x1x2 >x1 +x2 成立. 理由如下: x1x2 = k+1,x1 +x2 = 4. ∵ x1x2 >x1 +x2,∴ k+1>4. ∴ k>3. ∵ k≤3, ∴ 不存在实数 k,使得 x1x2 >x1 +x2 成立. 考点五　 一元二次方程的应用 16. B 17. 24　 【解析】设其中较小的奇数为 x,则较大的奇数为 (x+2) . 依题意,得 x(x+2)= 143. 解得 x1 = 11,x2 = -13(不合题意,舍去) . ∴ x+(x+2)= 11+(11+2)= 24. 18. 5　 【解析】设金色纸边的宽为 x cm,则矩形挂图的长 为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm. 依题意,得(80+2x)(50+2x)= 5 400, 整理,得 x2 +65x-350 = 0. 解得 x1 = 5,x2 = -70(不合题意,舍去) . ∴ 金色纸边的宽为 5 cm. 19. 23(1-x) 2 = 18. 63 20.解:(1)18×10×80% = 144(平方米) . ∴ 该广场绿化区域的面积为 144 平方米. (2)设广场中间小路的宽为 x 米, 依题意,得(18-2x)(10-x)= 144, 整理,得 x2 -19x+18 = 0. 解得 x1 = 1,x2 = 18(不合题意,舍去) . ∴ 广场中间小路的宽为 1 米. 21.解:(1)(60-40) ×[100-(60-50) ×2] = 1 600(元) . 答:销售单价为 60 元时,每天的销售利润为 1 600 元. (2)设每件工艺品售价为 x 元,则每天的销售量为 [100-2(x-50)]件. 依题意,得(x-40)[100-2(x-50)] = 1 350, 整理,得 x2 -140x+4 675 = 0. 解得 x1 = 55,x2 = 85(不合题意,舍去) . 答:每件工艺品售价应为 55 元. 22.解:(1)设当 AB 的长度为 x m 时,矩形菜园的面积为 150 m2, 根据题意,得 x(40-2x)= 150, 整理,得 2x2 -40x+150 = 0. 解得 x= 5 或 15. ∵ 当 x= 5 时,40-2x= 30,30>25,不符合题意, ∴ x= 5 舍去. ∴ 当 AB 的长度为 15 m 时,矩形菜园的面积为 150 m2 . (2)不能围成面积为 210 m2 的矩形菜园. 理由如下: 若矩形菜园的面积为 210 m2,则 x(40-2x)= 210, 即 2x2 -40x+210 = 0,Δ= b2 -4ac= ( -40) 2 -4×2×210<0, 方程没有实数根, ∴ 不能围成面积为 210 m2 的矩形菜园. 考点六　 一元二次方程的创新应用 23.解:(1)8　 8　 (2)∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=BC= 12 cm,∠B= ∠C= ∠A= 60°. 设 P,Q 两点的运动时间为 t s, 则 AP= t cm,BP= (12-t)cm,BQ= 2t cm. 当∠PQB= 90°时,∠BPQ= 30°,∴ BP= 2BQ. ∴ 12-t= 2×2t,即 12-t= 4t. 解得 t= 12 5 . 当∠BPQ= 90°时,∠PQB= 30°,∴ BP= 1 2 BQ. ∴ 12-t= 1 2 ×2t,即 12-t= t. 解得 t= 6. 综上所述,经过12 5 s 或 6 s,△BPQ 是直角三角形. (3)如图,过点 Q 作 QD⊥AB,垂足为 D. ∵ ∠B= 60°, ∴ ∠DQB= 30°. ∴ BD= 1 2 BQ= t cm. 在 Rt△BDQ 中,由勾股定理, 得 QD= BQ2 -BD2 = 3 t cm. ∴ S△BPQ = 1 2 ·BP·QD= 1 2 (12-t) × 3 t= 10 3 . 解得 t1 = 10,t2 = 2. ∵ 当 t= 10 时,2t= 20,20>12,不符合题意, ∴ 经过 2 s,△BPQ 的面积等于 10 3 cm2 . 第二章学业水平测试 1. B　 2. D　 3. D　 4. B　 5. C　 6. A　 7. B　 8. C　 9. C　 10. B 11. x1 = 2+ 5 ,x2 = 2- 5 　 12. 5 2 或- 3 2 13. -2≤k<2　 【解析】∵ 一元二次方程 x2 - 2k+4 x+k = 0 有两个不相等的实数根,∴ b2 -4ac>0,且 2k+4≥0. 则 4-2k>0,① 2k+4≥0,②{ 由①,得 k< 2,由②,得 k≥ - 2,∴ 不等式组的解集为 -2≤k<2,即 k 的取值范围为-2≤k<2. 14. 3 15. 24　 【解析】依题意,得 1 + 2 + 3 +…+a = 300,整理,得 a2 +a-600 = 0. 解得 a1 = 24,a2 = -25(不合题意,舍去) . ∴ a 的值为 24. 16. 1 或 7 或 4+ 23 　 【解析】如图所示,过点 Q 作 QE⊥ AB 于点 E,则 QE= 1 2 BQ. 当运动时间为 t s 时, AP= t cm,BQ= 4t cm,PB= | 8-t | cm,QE= 2t cm. 依题意,得 1 2 | 8-t |·2t= 7. 当 0<t≤8 时,t2 -8t+7 = 0,解得 t1 = 1,t2 = 7; 当 t>8 时,t2 -8t-7 = 0, 解得 t1 = 4- 23 (不合题意,舍去),t2 = 4+ 23 . 综上所述,经过 1 s 或 7 s 或(4+ 23 )s 时,△PBQ 的面 积等于 7 cm2 . 17.解:(1)∵ x2 -4 = 0,∴ x2 = 4. 解得 x1 = 2,x2 = -2. (2)∵ 3x2 -6x+1 = 0, ∴ 3x2 -6x= -1. ∴ x2 -2x= - 1 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋