精品解析：宁夏回族自治区银川市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试题

银川市第三中学2024-2025学年第一学期期中测试 九年级数学试卷 时间： 120 分钟 满分：120 分 命题人：贾莉 卷I（选择题） 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案． 【详解】解：∵矩形和菱形是平行四边形， ∴A、C是二者都具有的性质，D是菱形具有的性质， ∴对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质． 故选：B． 2. 下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，6，7，9 B. 2，5，6，8 C. 3，6，9，18 D. 1，2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，若四条线段、、、满足，则它们成比例，准确分析判断是解题的关键． 分别计算各选项的比值即可判断． 【详解】对于选项：，不符合题意； 对于选项：，不符合题意； 对于选项：，符合题意； 对于选项：，不符合题意； 只有选项是成比例线段； 故选． 3. 我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90． 故选：C． 4. 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴，． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，熟记配方法的一般步骤是解此题的关键． 5. 若x＝﹣1是一元二次方程x2+（a﹣1）x+2b＝0的根，则代数式3a﹣6b的值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. ﹣6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先将代入方程得到，再将其整体代入3a﹣6b计算即可得解； 【详解】解：将代入方程得：， 即：， ∴； 故选择：D 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及代数式求值，利用整体的思想代入计算是解题的关键． 6. 某次篮球赛，赛制为单循环形式，学校计划安排28场比赛，应组织多少支球队参加，若设应组织请x支球队参加比赛，则列方程可以表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设应组织请x支球队参加比赛，每支球队都要与其它支球队比赛一场，且两个球队之间的比赛只算一场，据此求解即可． 【详解】解：设应组织请x支球队参加比赛， 由题意得，， 故选：A． 7. 如图，管中放置着三根同样的绳子小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选取该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选中同一根绳子的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选中同一根绳子的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解；画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人选中同一根绳子的结果数有3种， ∴两人选中同一根绳子的概率为， 故选：C． 8. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°， ∴△ADO是等边三角形， ∴OA=，∠OAD=60°， ∴∠OAE=30°， ∵OE⊥AC， ∴△OAE是一个含30°角的直角三角形， ∴OE=1， 故选：A． 卷II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ） 9. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得：， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念以及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等是实数根；，方程没有实数根，特别注意这一条件． 11. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图是一个面积为6的正方形二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，小张在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6附近，则可估计该二维码中黑色阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，由，即可求解；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为-2，从而得出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为m，则1+m=-2， 解得m=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，x1•x2=． 13. 如图， ，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键． 14. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是_____． 【答案】100米 【解析】 【分析】先可证明△ADB∽△EDC，然后依据相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B=∠C=90°． 又∵∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC，∴，即． 解得：AB=100米． 故答案为100米． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，依据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 15. 在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，斜中半定理，得到，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， 连接，则， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时，即：， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，矩形的判定和性质，垂线段最短．解题的关键是得到时，的值最小． 16. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有______（只填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确 【详解】解：∵ ∴四边形是平行四边形，①正确； 若， ∴平行四边形为矩形，②正确； 若平分， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形为菱形，③正确 由可得四边形是菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形；④错误， 故答案为：①②③ 三、 解答题 （共10题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，运用合适的解法求解即可，掌握解一元二次方程的常见方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：移项得：， 配方得：， 即：， 开方得：， ∴； 【小问2详解】 移项得：， 因式分解得：，即， ∴或， 解得：． 18. 已知实数x，y，z满足，试求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∴ ． 19. 如图，平分，为中点，，求证：． 【答案】 证明：∵为中点， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了线段的中点，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，由线段的中点定义可得，进而证明得到即可求证，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 20. 列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 【答案】30m，20m 【解析】 【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答． 【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m， 根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600， 整理，得x2﹣35x+300＝0， 解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去； 当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键． 21. 在菱形中，，，求菱形的面积和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求出菱形的面积，进而根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有题意可知，“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）共有三种情况，则小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意可画树状图如下： 由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种， 小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为． 23. 某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 【答案】（1）10%， （2）4元． 【解析】 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可． 【小问1详解】 解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：该种商品每次降价的百分率为10%． 【小问2详解】 解：设每件商品应降价x元，根据题意，得： ， 解方程得， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴不合题意舍去， 答：每件商品应降价4元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决解决本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 24. 如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE、EC、BD、DE交BC于点O． （1）求证：△ABD≌△BEC； （2）若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【答案】 （1）证明：∵在平行四边形ABCD ∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，即BE∥CD． 又∵AB=BE， ∴BE=DC． ∴四边形BECD为平行四边形． ∴BD=EC． 在△ABD与△BEC中， ∴△ABD≌△BEC(SSS)； （2）证明：∵四边形BECD为平行四边形， ∴ OD=OE，OC=OB， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠BCD．即∠A=∠OCD． 又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC， ∴∠OCD=∠ODC ∴OC=OD． ∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED． ∴四边形BECD为矩形． 【解析】 【分析】（1）先运用平行四边形的知识得到AB=BE、BE=DC、BD=EC，即可证明△ABD≌△BEC； （2）由四边形BECD为平行四边形可得OD=OE，OC=OB，再结合四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠OCD，再结合已知条件可得OC=OD，即BC=ED；最后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （2）当t为何值时，△APQ的面积为？ 【答案】（1）； （2）2或3． 【解析】 【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠PAQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB．利用其对应边成比例解t；②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB，利用其对应边成比例解得t． （2）过点Q作QE垂直AO于点E，利用QEBO证明△AEQ∽△AOB，从而得到，从而得出==，再利用三角形面积解得t即可． 【小问1详解】 解：由AO=6，BO=8，， 所以， 所以AP=t， AQ=， ①当∠APQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB 所以， 所以， 解得(秒) ②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB 所以， 所以 解得(秒) ∴当t为或时，△AQP与△AOB相似． 【小问2详解】 过点Q作QE⊥AO于点E， ∵QE⊥AO，BO⊥AO， ∴QEBO， ∴△AEQ∽△AOB， ∴ ∴==， = 解得： ∴当t=2或3时，△APQ的面积为个平方单位． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题． 26. 已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC． （1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC； （2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由； （3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=m，BP=n，求m：n的值． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形， ∴AB=BC，BP=BF， ∴AP=CF， 在△APE和△CFE中， ， ∴△APE≌△CFE， ∴EA=EC； （2）△ACE是直角三角形，理由是： 如图2，∵P为AB的中点， ∴PA=PB， ∵PB=PE， ∴PA=PE， ∴∠PAE=45°， 又∵∠BAC=45°， ∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形； （3）m：n= ：1． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论； （2）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形； （3）设CE交AB于G，先表示出AP=PG=m-n，BG=m-（2m-2n）=2n-m，再由 ，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解，设CE交AB于G， ∵EP平分∠AEC，EP⊥AG， ∴AP=PG=m-n，BG=m-（2m-2n）=2n-m， ∵PE∥CF， ∴， 即 ， 解得：m= n， ∴m：n= ：1． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的性质和判定，前两问难度不大，第三问有难度， 表示出PG和BG的长是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第三中学2024-2025学年第一学期期中测试 九年级数学试卷 时间： 120 分钟 满分：120 分 命题人：贾莉 卷I（选择题） 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 2. 下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，6，7，9 B. 2，5，6，8 C. 3，6，9，18 D. 1，2，3，4 3. 我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 4. 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若x＝﹣1是一元二次方程x2+（a﹣1）x+2b＝0的根，则代数式3a﹣6b的值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. ﹣6 D. 6 6. 某次篮球赛，赛制为单循环形式，学校计划安排28场比赛，应组织多少支球队参加，若设应组织请x支球队参加比赛，则列方程可以表示为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，管中放置着三根同样的绳子小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选取该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选中同一根绳子的概率为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 卷II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ） 9. 已知，则________． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 11. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图是一个面积为6的正方形二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，小张在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6附近，则可估计该二维码中黑色阴影部分的面积为______． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______． 13. 如图， ，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，则的长为______． 14. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是_____． 15. 在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________． 16. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有______（只填写序号） 三、 解答题 （共10题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 18. 已知实数x，y，z满足，试求的值． 19. 如图，平分，为中点，，求证：． 20. 列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 21. 在菱形中，，，求菱形的面积和的长． 22. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 23. 某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 24. 如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE、EC、BD、DE交BC于点O． （1）求证：△ABD≌△BEC； （2）若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 25. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （2）当t为何值时，△APQ的面积为？ 26. 已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC． （1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC； （2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由； （3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=m，BP=n，求m：n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $