广东省梅州市平远县实验中学2023-2024学年高三上学期九月月考数学试题

2023-2024学年度实验中学高三级九月份月考试题 数学科 命题人：林 辉 审核人：谢传文 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分.在每题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.） 1．已知，则（ ） A. B. C. D. 2．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 3.抛物线的焦点坐标是（ ） A. B.(0,1) C.(,0) D.(0, ) 4. 若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 5．已知随机变量服从正态分布，且，则　　 A． B． C． D． 6. 已知，，的一个极值点是，则（ ） A. 上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 7．已知函数，则使得成立的的取值范围是　　 A． B．，， C． D．，， 8．《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”．现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，台体的体积公式为，其中、分别为台体的上、下底面的面积．则“方亭”的上、下底面边长之比为　　 A． B． C． D． 二．多选题（本题共4小题，敏题5分,共20分.在每小题给出的选项中,够项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.） 9．已知向量，，，设，的夹角为，则（ ）． A． B． C． D． 10．若数据，，，的平均数为2，方差为3，则　　 A．数据，，，的平均数为20 B． C．数据，，，的标准差为 D． 11．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则　　 A． B．平面 C．平面 D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为 12．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）． A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．当时，的最大值为 D．当时，的最小值为 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．已知正数，满足，则的最小值为 ． 14．已知函数，则曲线在点 处的切线方程为__________. 15. 已知二项式的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为________. 16．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为________． 四．解答题（共6小题，满分70分, 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.） 17．（10分）设是等差数列的前项和，，， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最值． 18.（12分）已知函数 ． (1)求函数 的值域； (2)设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且，，， 求的值． 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值，并求出到平面的距离． 20.（12分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (1)求、的概率分布和数学期望、; (2)当时,求的取值范围. 21.（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，离心率为。 (1)求椭圆的方程； (2)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当面积取得最大值时，求直线的方程. 22．（12分）已知函数，． （1）函数在点，（1）处的切线的斜率为2，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个不同极值点为、，证明． 2023-2024学年度实验中学高三级九月份月考试题 数学参考答案2023.9 1.B 2．解：因为集合，，所以，则． 故选：． 3.D 4.【答案】B 【分析】根据给定条件，利用同角公式求出即可求解作答. 【详解】由，，得， 而，即，解得， 因此，所以. 故选：B 5．解：因为随机变量服从正态分布， 由对称性可知，，又， 所以，故． 故选：． 6.【答案】C 【分析】首先根据题意得到，从而得到，再求其单调区间即可. 【详解】因为，，的一个极值点是， 所以，所以，，即. 因为，所以，. ，，解得，. 当时，得到在上单调递增，故C正确，D错误. ，解得，. 当时，得到在上单调递减，故A正确，B错误. 故选：C 7．解：函数的定义域为， ， 所以函数为奇函数，当时，由复合函数的单调性可知单调递增， 所以在单调递增， 则， 解得或． 故选：． 8．解：设“方亭”的上底面边长为，下底面边长为，高为， 则，， ， ． 故选：． 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9.BD 10．解：因为数据，，，的平均数为2， 所以数据，，，的平均数为， 故选项错误； ，故选项正确； 数据，，，的方差为， 所以数据，，，的标准差为， 故选项正确； 由方差的计算公式可得，， 故选项正确． 故选：． 11．对于，，是与所成角（或所成角）的补角， ，，与不垂直，故错误； 对于，取中点，连接，，则，， ，，平面平面， 平面，平面，故正确； 对于，，，， 、平面， 平面，平面，， 同理， ，、平面， 平面，故正确； 对于，取中点，连接、， 则，， ，，平面平面， 平面，平面， 过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面为矩形， ，， 过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为，故错误． 故选：． 12.ABC 13. 3 14. 15. 16．【答案】5，41 【解析】（1）当时，，，，，，， 所以需5次步骤后变成1； （2）若第5次步骤后变成1，则，，，或，当，，或；当时，，，所以的可能值是，的可能值的和是， 故答案为5，41． 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．解：（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以，故， 所以； （2） 由（1）可知，令，解得， 故的最大值为． 19．（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为是正方形，所以，且，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）解：连接，交于点，连接， 因为，平面，平面， 所以，又，所以平面， 又平面，所以，所以是二面角的平面角， 所以． 因为平面，平面，所以平面平面， 过点作，交于点，则即为点到平面的距离， 计算． 20.(I)解法1: 的概率分布为 1.2 1.18 1.17 P E=1.2+1.18+1.17=1.18.·········2分 由题设得,则的概率分布为 0 1 2 P 故的概率分布为 1.3 1.25 0.2 P 所以的数学期望为 E=++=.·········8分 (II) 由,得: 因0<p<1,所以时,p的取值范围是0<p<0.3.·········12分 解法2: 的概率分布同解法一； 的概率分布解法如下 设表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则 P(=0)= ; P(=1)=; P(=2)= 故的概率分布为 1.3 1.25 0.2 P 所以的数学期望为 E=++=. 21解：设椭圆方程为 （Ⅰ）由已知得 ∴所求椭圆方程为 .·········4分 （Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 由，消去y得关于x的方程： 由直线与椭圆相交于A、B两点，解得 又由韦达定理得 原点到直线的距离 . 解法1：令， 则 当且仅当即时， 此时. 所以，所求直线方程为········12分 解法2：对两边平方整理得：（*） ∵， 整理得： 又， 从而的最大值为， 此时代入方程（*）得 所以，所求直线方程为：. 解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点， 由解法一知且， 解法1： = . 下同解法一. 解法2：= 下同解法一.·········12分 22．解：（1），（1），． （2）令得：，△． ①当时，△，，在上递增； ②当时，△，，，故，． ，， 可知：在上递增；在上递减． （3）证明：由（2）知，，． 所以 ，令． 则，只需证明． 即证：． 又，且， ，在上递增， 所以，得证． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$