第26讲 两条直线的位置关系（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第26讲 两条直线的位置关系 【考纲要求】 1.两条相交直线的交点：掌握求两条相交直线的交点坐标的方法。 2.两条直线平行的条件：理解两条直线平行的条件；掌握两条直线平行的 判定方法。 3.两条直线垂直的条件：理解两条直线垂直的条件；掌握两条直线垂直的 判定方法。 4.点到直线的距离公式：了解点到直线的距离公式。 一、两条直线平行与垂直的判断 1．两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点： (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 2．两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点： (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3．另有结论：设 ，则 （1）； （2） ； （3） 与 重合； （4） 与 相交. 二、直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 三、距离公式 1．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离. 2．两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 四、常用结论 1．直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 2．五种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． 考点一 两条直线的位置关系 例1：直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 变式：已知直线：与：，则这两条直线的位置关系是（） A．重合 B．平行 C．垂直 D．不能确定 例2：过点且平行于的直线方程为（ ） A． B． C． D． 变式：过点与直线平行的直线方程为： ． 例3：与直线垂直且过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式：已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 例4：直线与直线的位置关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 变式：直线与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直 例5：已知直线，若，则实数的值为（ ） A．-3 B．-3或0 C．2或-1 D．0或-1 变式：若直线：与直线：垂直，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D． 例6：已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（   ） A．或 B． C． D． 变式：直线与直线平行，那么的值是（　　） A． B． C．或 D．或 例7：“”是“直线与直线平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式：“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例8：已知三条边所在的直线方程分别为，，，则边上的高所在直线方程为： ． 变式：经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为________. 例9：已知直线：与直线：． （1）若直线与直线平行求a的值； （2）若直线与直线垂直求a的值． 变式：已知直线. （1）若直线与直线垂直，且过点，求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且过点，求直线的方程. 考点二 与距离有关的问题 例1：点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 变式：点 到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 例2：已知直线，直线，则与之间的距离为（ ） A． B． C． D． 变式：两直线：与：间的距离为______． 例3：点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式：已知点到直线的距离不大于，求实数的取值范围． 例4：过直线3x－y＋5＝0与2x－y＋6＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程是________． 变式：已知直线：，：相交于点P，则P到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 例5：已知，两点到直线l：的距离相等，则（    ） A．或 B．或4 C．2或4 D．或 变式：已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值可能等于（    ） A． B．1 C．或2 D． 例6：若两平行直线和之间的距离为，则c的值是_____． 变式：两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　) A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝ C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝ 例7：已知直线与，其中k､.若直线，则与间距离的最小值是___________. 变式：点到直线的距离的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 考点三 直线相关的对称问题 例1：点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为________． 变式1：点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式2：直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为(　　) A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 例2：直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________． 变式：与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例3：直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________. 变式：两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　) A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0 例4：已知光线从点A(6,1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4,4)，则CD所在直线的方程为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26讲 两条直线的位置关系 【考纲要求】 1.两条相交直线的交点：掌握求两条相交直线的交点坐标的方法。 2.两条直线平行的条件：理解两条直线平行的条件；掌握两条直线平行的 判定方法。 3.两条直线垂直的条件：理解两条直线垂直的条件；掌握两条直线垂直的 判定方法。 4.点到直线的距离公式：了解点到直线的距离公式。 一、两条直线平行与垂直的判断 1．两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点： (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 2．两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点： (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3．另有结论：设 ，则 （1）； （2） ； （3） 与 重合； （4） 与 相交. 二、直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 三、距离公式 1．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离. 2．两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 四、常用结论 1．直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 2．五种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． 考点一 两条直线的位置关系 例1：直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 【答案】A 【解析】直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为， 直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为， 两直线斜率相等，纵截距不相等，两直线平行． 变式：已知直线：与：，则这两条直线的位置关系是（） A．重合 B．平行 C．垂直 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为直线：的斜率为：，直线：的斜率为 ， 所以，所以这两条直线的位置关系是垂直。 例2：过点且平行于的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率也为， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 变式：过点与直线平行的直线方程为： ． 【答案】 【解析】设所求直线的方程是， 因为点在直线上， 所以，解得，即所求直线方程是． 例3：与直线垂直且过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知直线l的斜率为2，则所求直线方程的斜率为，设直线方程为，因为直线过点，所以，则直线方程为，整理得. 变式：已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率为，直线与之垂直，则， 又过点，所以直线方程为，即． 例4：直线与直线的位置关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为直线与直线的斜率分别为和，显然且，因此两直线既不平行也不垂直；因此两直线相交但不垂直. 变式：直线与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直 【答案】C 【解析】 直线与直线，满足， 故直线与直线平行. 例5：已知直线，若，则实数的值为（ ） A．-3 B．-3或0 C．2或-1 D．0或-1 【答案】B 【解析】由知：解得：或。 变式：若直线：与直线：垂直，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】因直线：与直线：垂直，则有，解得. 例6：已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，化为：，解得或． 经过验证时，两条直线重合，舍去．． 变式：直线与直线平行，那么的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得：． 例7：“”是“直线与直线平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当两直线平行，∴，解得或， 当，两直线重合，舍去；当时，两直线平行． 所以“”是“直线与直线平行”的充要条件． 变式：“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0， ∴m＝3或m＝－2， ∴“m＝3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件． 例8：已知三条边所在的直线方程分别为，，，则边上的高所在直线方程为： ． 【答案】 【解析】由，解得点坐标为．因为直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，即． 变式：经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为________. 【答案】 【解析】联立解得，又直线的斜率为，故经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为，即 故答案为： 例9：已知直线：与直线：． （1）若直线与直线平行求a的值； （2）若直线与直线垂直求a的值． 【解析】（1）因为直线：与直线：平行，所以，解得：. （2）直线：与直线：垂直，即，得：. 变式：已知直线. （1）若直线与直线垂直，且过点，求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且过点，求直线的方程. 【解析】（1）由直线，可得，因为直线与直线垂直，所以，可得，又因为直线过点，可直线的方程为，即，所以直线的方程为； （2）因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，可化为，与直线重合，所以直线不存在. 考点二 与距离有关的问题 例1：点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点到直线的距离为. 变式：点 到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点 到直线的距离为： 例2：已知直线，直线，则与之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的方程可化为，则与之间的距离． 变式：两直线：与：间的距离为______． 【答案】1 【解析】因为直线：与：平行， 由两平行线间的距离公式可得：. 例3：点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点到直线的距离大于5，所以，解得：或，所以实数的取值范围为. 变式：已知点到直线的距离不大于，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】点到直线的距离， ，所以的取值范围是. 例4：过直线3x－y＋5＝0与2x－y＋6＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程是________． 【答案】2x＋y－10＝0 【解析】由解得直线x－2y＋1＝0的斜率为， 故过点(1,8)且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程为y－8＝－2(x－1)，即2x＋y－10＝0. 变式：已知直线：，：相交于点P，则P到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，联立可得，故 则P到直线l：的距离：． 例5：已知，两点到直线l：的距离相等，则（    ） A．或 B．或4 C．2或4 D．或 【答案】A 【解析】由题意得，解得或. 变式：已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值可能等于（    ） A． B．1 C．或2 D． 【答案】C 【解析】由A、B两点到直线l距离相等得，解得或. 例6：若两平行直线和之间的距离为，则c的值是_____． 【答案】2或 【解析】由两直线平行知，，解得， 即直线可化为， 又两平行线之间的距离为，所以，解得c＝2或－6. 变式：两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　) A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝ C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝ 【答案】D 【解析】依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行， 得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0， 即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，所以两直线间的距离d＝＝. 例7：已知直线与，其中k､.若直线，则与间距离的最小值是___________. 【答案】 【解析】因为与，且，所以，得， 所以直线，即，所以与间距离为，所以当时，取得最小值. 变式：点到直线的距离的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】点到直线的距离为：， 所以当，即时，取得最小值为． 考点三 直线相关的对称问题 例1：点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为________． 【答案】(－8，－3) 【解析】设点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A(a，b), 由对称性知，直线x＋y＋1＝0与线段PA垂直，所以kPA＝＝1， 所以a－b＝－5，又线段PA的中点在直线x＋y＋1＝0上， 即＋＋1＝0, 所以a＋b＝－11，由得 所以点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(－8，－3)． 变式1：点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得.所以点的坐标为. 变式2：直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为(　　) A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解析】在对称直线上任取一点P(x，y)， 则点P关于点A对称的点P′(x′，y′)必在直线l上． 由得P′(2－x,2－y)， ∴4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0. 例2：直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________． 【答案】　x＋2y－3＝0 【解析】直线x－2y－3＝0的斜率为k＝且与x轴交于点(3,0)， 故所求直线的斜率为－，且过点(3,0)，其方程为y＝－(x－3)，即 x＋2y－3＝0. 变式：与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线关于轴对称的直线为：，即. 例3：直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________. 【答案】　x－2y＋3＝0 【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于x－y＋2＝0对称点为P′(x0，y0) 则得 ∵点P′(x0，y0)在线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0. 变式：两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　) A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0 【答案】C 【解析】设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)， 则解得(*) ∵点M′在直线3x－2y－6＝0上， ∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0， 化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程． 例4：已知光线从点A(6,1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4,4)，则CD所在直线的方程为________． 【答案】x－2y＋4＝0 【解析】如图，由题意知点B在原点O的右侧，直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点(6，－1)，且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点(－4,4)，所以BC所在直线的方程为y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0， 令x＝0，则y＝2，所以C点坐标为(0,2)， 所以CD所在直线的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$