第26讲 两条直线的位置关系（考点精练）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第26讲 两条直线的位置关系 1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　) A．2 B. C. D. 【答案】　C 【解析】点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝. 2.已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　) A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7 C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7 【答案】D 【解析】过点(0，7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7. 3．直线3x-y+=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．相交不垂直 D．相交且垂直 【答案】B 【解析】由直线3x-y+=0得6x-2y+1=0， ∴直线3x-y+=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是重合. 4.已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【解析】由题意可知直线的斜率，直线的斜率． 因为，所以，或、重合． 5．若直线：与直线：垂直，则（ ）. A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】两直线垂直满足，解得. 6. 若直线,互相平行,则实数的值为（ ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【解析】因为直线，互相平行, 所以且,解得且,所以. 7．若直线与直线互相平行，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为，由知：直线的斜率，所以． 8．已知直线：与直线：相互垂直，则实数m的值是（ ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】A 【解析】因为直线：与直线：相互垂直， 所以，解得. 9．下列各组直线中，互相垂直的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，k1k21，因此l1与l2不垂直； 对于B，k1k21，因此l1与l2不垂直； 对于C，k1k21，因此l1⊥l2； 对于D，k1k21，因此l1与l2不垂直． 10.若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3， 而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件． 11.已知点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为(　　) A.(3，4) B.(4，5) C.(－4，－3) D.(－5，－4) 【答案】D 【解析】设点A(a，b)， ∵点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，∴ 解得a＝－5，b＝－4，则点A的坐标为(－5，－4). 12．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)． A．－2 B．－7 C．3 D．1 【答案】C 【解析】由已知条件可知线段AB的中点（）在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3. 13．过点且与直线平行的直线方程为_______. 【答案】 【解析】设与直线平行的直线为，因为点在直线上,所以，可得：，所以该直线方程为：. 14．过点且与直线垂直的直线方程___________. 【答案】 【解析】与直线垂直的直线方程可设为，因为点在所求直线上，则，所以，所以所求直线为. 故答案为：. 15．点到直线的距离为___________. 【答案】 【解析】由已知所求距离为． 16．已知两点到直线的距离相等，则____________． 【答案】或 【解析】由题意可得，解得或. 17．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是__________． 【答案】 【解析】因为直线与直线平行，则有，解得：， 所以直线可化为，也即， 由两平行线间距离公式可得：. 18.已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________. 【答案】3或－2　 【解析】因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0， 所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2， 若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝，经检验符合题意． 19．直线与直线之间的距离是___________. 【答案】 【解析】直线可化为：，由平行直线间距离公式可得所求距离. 20．已知直线的方程为， （1）直线过点（3，0）且与平行，求的斜截式方程. （2）直线过点且与垂直，求的一般式方程. 【解析】（1）设直线方程为：，将代入方程，得， 所以直线方程为 ，化为斜截式方程为：. （2）可设直线的方程为，则有，解得， 所以所求直线方程为. 21．已知点，直线． (1)求A点到直线l距离； (2)求过点A且与直线l平行的直线的方程． 【解析】(1)设点A到直线l的距离为d，则 (2)方法一：∵直线l的斜率， 设过点A且与直线l平行的直线方程为，把点A的坐标代入可得， ∴过点A且与直线l平行的直线方程为. 方法二：设过点A且与直线l平行的直线方程为, 把点A的坐标代入可得：，解得, ∴过点A且与直线平行的直线方程为. 22．已知直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与直线平行，求直线的方程. 【解析】（1）由解得，即直线的交点为，因直线与直线垂直，则设直线的方程为，有，解得，所以直线方程为. （2）由（1）知，直线的交点为，因直线与直线平行，则设直线的方程为，有，解得，所以直线的方程为. 1.如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A. B.a C.－ D.－或不存在 【答案】D 【解析】设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2， 当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－； 当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，∴直线l2的斜率不存在. 故直线l2的斜率为－或不存在. 2．为两条直线，则下列说法正确的是（ ） A．若直线与直线的斜率相等，则 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．若直线，的斜率均不存在，则 D．若两直线的斜率都存在且不相等，则两直线不平行 【答案】D 【解析】对于A，直线l1与l2斜率相等时，l1∥l2或l1与l2重合，∴A错误； 对于B，直线l1∥l2时，k1＝k2或它们的斜率不存在，∴B错误； 对于C，直线l1、l2的斜率不存在时，l1∥l2或l1与l2重合，∴C错误； 对于D，直线l1与l2的斜率不相等时，l1与l2不平行，∴D正确． 3．若直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A．1或3 B．1或3 C．1或3 D．1或3 【答案】A 【解析】由题设，，即，解得或. 当时，直线分别为、，符合题设； 当时，直线分别为、，符合题设. 4.经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0 【答案】　D 【解析】由解得所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0. 5．“”是“直线与直线平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当两直线平行，∴，解得或， 当，两直线重合，舍去；当时，两直线平行． 所以“”是“直线与直线平行”的充要条件． 6．已知过点和点的直线为，直线为，直线为，若，，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得直线，，的斜率存在，可分别设为，，， 因为，所以，即，解得：， 因为，所以，即，解得：， 所以. 7. 到直线的距离等于的直线方程为(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为所求与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行， 设所求直线方程为，，解得或， 故所求直线方程为或. 8．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 【答案】　C 【解析】直线l1的斜率k1＝＝，直线l2的斜率k2＝－2， 所以＝－2，解得a＝－1，经检验符合题意． 9．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于(　　) A．－6 B．4 C．－10 D．－4 【答案】　D 【解析】因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，即a＝10， 因为垂足为(1，b)，故故故a＋b＋c＝－4. 10.设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】B 【解析】由题意可知，直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的斜率分别为－，，又在△ABC中，＝，所以－·＝－1，所以两条直线垂直． 11.直线3x－2y＝0关于点（，0）对称的直线方程为(　　) A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0 【答案】B 【解析】设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点（）对称的点为（）， 因为点（）在直线3x－2y＝0上，所以3（）－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0， 所以所求直线方程为3x－2y－2＝0. 12.若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 【答案】B 【解析】由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方， 得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝2＝4. 13.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 【答案】　B 【解析】设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为. 14.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________. 【答案】－9 【解析】由得∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0， 即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9. 15.过点P(1，2)作直线l，若点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程为(　　) A.4x＋y－6＝0或x＝1 B.3x＋2y－7＝0 C.4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0 D.3x＋2y－7＝0或x＝1 【答案】C 【解析】若A，B位于直线l的同侧，则直线l∥AB. ∵kAB＝＝－4，∴直线l的方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0； 若A，B位于直线l的两侧，则直线l必经过线段AB的中点(3，－1)， ∴kl＝＝－， ∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0. 综上，直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 16.直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0 【答案】C 【解析】直线y＝x与直线x＝1交于点A（）， 所以直线l的斜率为－且过点A（），所以直线l的方程为y－＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. 17.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是________. 【答案】3x＋4y＋5＝0 【解析】在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0. 18.过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________. 【答案】或 【解析】由，得，所以，直线与的交点为. 当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点到该直线的距离为，不合乎题意； 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为，即， 由于点到所求直线的距离为，可得， 整理得，解得或. 综上所述，所求直线的方程为或. 19．与直线关于点对称的直线方程是_________. 【答案】. 【解析】因为直线与直线关于点对称，所以，且点到两直线的距离相等， 设直线为，则，解得或（舍去）， 所以所求直线方程为. 20．设△ABC的一个顶点是A(－3,1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为__________. 【答案】2x－y－5＝0 【解析】∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，∴直线AB与直线BC关于x＝0对称，直线AC与直线BC关于y＝x对称．A(－3,1)关于x＝0的对称点A′(3,1)在直线BC上，A(－3,1)关于y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程为2x－y－5＝0. 21.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________. 【答案】　6x－y－6＝0 【解析】　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0. 又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0. 22.求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程. 【解析】设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0， 即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0.由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线距离相等， 可得＝， 整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝或λ＝， 所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1. 23．已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【解析】（1）直线的斜率，因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程是，即； （2）设直线，则平行线与之间的距离，得或， 所以直线的方程是或, 24.已知直线. （1）当时，求两直线的距离； （2）写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值. 【解析】（1）当a=1时，， 所以两直线的距离为. （2）原点到直线的距离为，当时， 25.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程； (3)直线l关于点A的对称直线l′的方程． 【解析】(1)设A′(x，y)，由已知条件得 解得∴A′（）， (2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点为M′(a，b)，则得M′（） 设直线m与直线l的交点为N，由得N(4,3)．又m′经过点N(4,3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点， 如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上， 易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)， 再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0. 方法二　∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)． ∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式， 得＝，解得C＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26讲 两条直线的位置关系 1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　) A．2 B. C. D. 2.已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　) A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7 C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7 3．直线3x-y+=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．相交不垂直 D．相交且垂直 4.已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 5．若直线：与直线：垂直，则（ ）. A． B． C．或 D．或 6. 若直线,互相平行,则实数的值为（ ） A． B．6 C． D． 7．若直线与直线互相平行，则实数（ ） A． B． C． D． 8．已知直线：与直线：相互垂直，则实数m的值是（ ） A．0 B．1 C．-1 D． 9．下列各组直线中，互相垂直的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 10.若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11.已知点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为(　　) A.(3，4) B.(4，5) C.(－4，－3) D.(－5，－4) 12．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)． A．－2 B．－7 C．3 D．1 13．过点且与直线平行的直线方程为_______. 14．过点且与直线垂直的直线方程___________. 15．点到直线的距离为___________. 16．已知两点到直线的距离相等，则____________． 17．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是__________． 18.已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________. 19．直线与直线之间的距离是___________. 20．已知直线的方程为， （1）直线过点（3，0）且与平行，求的斜截式方程. （2）直线过点且与垂直，求的一般式方程. 21．已知点，直线． (1)求A点到直线l距离； (2)求过点A且与直线l平行的直线的方程． 22．已知直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与直线平行，求直线的方程. 1.如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A. B.a C.－ D.－或不存在 2．为两条直线，则下列说法正确的是（ ） A．若直线与直线的斜率相等，则 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．若直线，的斜率均不存在，则 D．若两直线的斜率都存在且不相等，则两直线不平行 3．若直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A．1或3 B．1或3 C．1或3 D．1或3 4.经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0 5．“”是“直线与直线平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知过点和点的直线为，直线为，直线为，若，，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 7. 到直线的距离等于的直线方程为(　　) A． B． C．或 D．或 8．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 9．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于(　　) A．－6 B．4 C．－10 D．－4 10.设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 11.直线3x－2y＝0关于点（，0）对称的直线方程为(　　) A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0 12.若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 13.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 14.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________. 15.过点P(1，2)作直线l，若点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程为(　　) A.4x＋y－6＝0或x＝1 B.3x＋2y－7＝0 C.4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0 D.3x＋2y－7＝0或x＝1 16.直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0 17.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是________. 18.过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________. 19．与直线关于点对称的直线方程是_________. 20．设△ABC的一个顶点是A(－3,1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为__________. 21.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________. 22.求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程. 23．已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 24.已知直线. （1）当时，求两直线的距离； （2）写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值. 25.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程； (3)直线l关于点A的对称直线l′的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$