安徽省淮南市淮南第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

数学答案及评分建议 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C B C C D 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AC ABD ABD 三、填空题 12.(-2,5) 14. 四、解答题 15.【详解】(1)解:因为 ,又 ,所以 ,解得 . (6 分) (2)解: , . (13 分) 16.【详解】( 1 )解:与直线 垂直的直线 的方程可设为 , 将点 的坐标(-2,1)代入直线 的方程得 ,解得 , 所以直线 的方程为 . (7 分) (2)解:设直线 的方程为 , 由题意可的 所以直线 的方程为 ,即 . (15 分) 17.【详解】( 1 )圆 化为标准方程,即 , 则因为圆 关于直线 对称,所以 ,所以 , 因为圆 过点(0,8),所以 ,所以 , 得 ,所以圆 方程为 , 故圆心坐标为(-2,4),半径为 . (7 分) (2)当直线 1 的斜率不存在时, ,符合题意 (9 分) 当直线 1 的斜率存在时,设直线 方程为 ,即 , 设圆心 到直线 1 的距离为 , 所以 ,得 ,则直线 的 . 故直线 或 . (15 分) 18.【详解】【详解】(1)证明:如图,取 中点 ,连接 , , 在 中, 分别为 的中点, 所以 且 ,在菱形 中,因为 且 ,所以 , ,所以四边形 为平行四边形,所以 ,又因为 平面 ,且 平面 ,所以 平面 . (7 分) (2)解:因为 平面 , , , 平面 , 所以 . 连接 ,因为 ,且 ,(或者证 ) 所以 ,在菱形 中, ,即 为正三角形, 又因为 为 中点,所以 , 以 为原点, 所在的直线分别为 轴, 建立空间直角坐标系 ,如图所示,(10 分) 因为 且 . 又因为 为正三角形且 ,所以 ,则 ,则 , ,由 平面 ,可得平面 的法向量为 , 设平面 的法向量为 ,则 , 取 ,可得 ,所以 所以 ,所以平面 与平面 的夹角 . (17 分) 19.【详解】【详解】( 1 )由题意椭圆 长轴长是短轴长的 倍,点(2,1)在椭圆 上, 可得 ,解得 ,所以椭圆 的方程为 . (5 分) (2)①因为切点在第一象限,直线的斜率存在, 不妨设直线 的方程为 ,即 ,且 , 因为直线与圆相切,所以 ,即 ,(7 分) 联立 ,得 , 设 ,则有 所以 所以 , 所以 ,即 ,即以 为直径的圆过原点 . (11 分) ②由①可得 , 所以 ,( 13 分) 点 到直线 的距离为 ,可得 , 解得 ,或 ,(15 分) 当 时, ,当 时, , 所以 ,或 , 则直线方程为 或 . (17 分) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 淮南二中 2026 届高二第一学期期中教学检测 数学试题 (考试时间: 120 分钟, 试题满分: 150 分) 注意事项: 1. 答题前, 务必在答题卷规定位置填写自己的姓名、班级、准考证号 (智学号); 2. 在答题卷上答题时,选择题必须用 铅笔将对应题号的答案涂黑,非选择题必须用 黑色墨水签字笔在指定区域作答, 超出规定区域作答无效; 3. 考试结束只需提交答题卷, 试题卷学生自己保存。 一、选择题: 本题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题所给四个选项中, 只有一项是符合题意的。 1. 直线 的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 设 是椭圆 上的任意一点,则 与该椭圆的两个焦点的距离之和为 A. B. C. D. 3. 如图,在平行六面体 中, 与 的交点为 . 设 ,则下列向量中与 相等的向量是 第 3 题图 A. B. C. D. 4. “ ”是“直线 与直线 平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正四面体 的棱长为 3,动点 满足 ,则 的最小值为 A. B. C. 2 D. 3 6. 一动圆与圆 外切,同时与圆 内切,则动圆圆心的轨迹方程为 A. B. C. D. 7. 过点 作圆 的两条切线,设切点分别为 ,则 A. B. C. D. 8. 已知 的顶点 ,边 上的中线所在直线方程为 ,边 上的高所在直线方程为 ,则边 所在直线的方程为 A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全 部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分。 9. 已知 两点到直线 的距离相等,则实数 的值可能为 A. -4 B. 3 C. -2 D. 1 10. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义: 平面内,到两个定点 距离之比是常数 的点 的轨迹是圆. 若两定点 ,动点 满足 ,则下列说法正确的是 A. 点 的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点 到直线 距离的最大值为 D. 若圆 上存在满足条件的点 ,则 的取值范围为 11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 为 的中点,若点 在底面 内 (包括边界) 移动,且满足 ,则 第 11 题图 A. 直线 与平面 所成角的正弦值为 B. 点 到 的距离为 C. 线段 的长度的最大值为 D. 三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. 已知 ,则点 关于直线 的对称点 的坐标为_____. 13. 若直线 与曲线 恰有两个公共点,则实数 的取值范围为_____. 14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ,过点 的直线与椭圆 交于 两点,若 ,且 ,则椭圆 的离心率为_____. 四、解答题: 本题共 5 个小题, 共 77 分。解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 已知空间中的三个点 . (1)已知点 ,且 ,求实数 的值； (2)求 . 16. (15 分) 已知直线 过直线 和 的交点 . (1)若直线 与直线 垂直,求直线 的方程; (2)若直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点, 为原点. 若 的面积为 ,求直线 的方程. 17. (15 分) 已知圆 关于直线 对称,且过点 . (1)求圆 的圆心和半径； (2)若过点(-3,0)的直线 与圆 交于 两点,且 ,求直线 的方程. 18. (17 分) 如图,在四棱锥 中, 平面 ,底面 为菱形, 分别为 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)若 ,求平面 与平面 的夹角. 第 18 题图 19. (17 分) 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍,点(2,1)在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程； (2)设直线 与圆 相切,切点在第一象限,与椭圆 交于 两点. ①求证:以线段 为直径的圆经过坐标原点 ； ②若 的面积为 ,求直线 的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$