专题8.7 抛物线（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题8.7 抛物线 【考纲要求】 1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和图像性质. 2. 会用抛物线的定义和性质解决问题. 【考向预测】 1.抛物线的定义 2.抛物线的标准方程 3.抛物线的图像和性质 1.抛物线的定义 (1)抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． (2)抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 考点一：抛物线的定义及标准方程 【例1】到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（       ） A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 【变式探究】已知抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是 ． 【例2】过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为（       ） A． B． C． D． 【例3】顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ． 【例4】焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线方程为（　　） A． B．x C． D．x 【例5】若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则抛物线方程为 . 【变式探究】已知某抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则该抛物线的标准方程是 . 考点二：抛物线的性质 【例1】抛物线的准线方程是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（1，0），则p=（       ） A．2 B．3 C．5 D．7 【例2】抛物线的焦点到其准线的距离为（       ） A． B． C．2 D．4 【变式探究】已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（       ） A．6 B．4 C．3 D．2 【例3】已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（       ） A．6 B．5 C．4 D．2 【变式探究】在抛物线的方程中，p表示（       ） A．焦点到准线的距离 B．焦点到准线的距离的一半 C．焦点到准线的距离的2倍 D．焦点到顶点的距离 【例4】下列关于抛物线的说法正确的是（       ）． A．开口向下，准线方程为 B．开口向左，准线方程为 C．开口向下，准线方程为 D．开口向左，准线方程为 【变式探究】抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（       ） A．1 B． C．2 D． 【例5】已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则 . 【变式探究】在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例6】已知抛物线的焦点为F，则抛物线上的动点P到点与F距离之和的最小值为 . 【变式探究】抛物线的焦点为，第一象限的点在上，且，则的坐标是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.7 抛物线 【考纲要求】 1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和图像性质. 2. 会用抛物线的定义和性质解决问题. 【考向预测】 1.抛物线的定义 2.抛物线的标准方程 3.抛物线的图像和性质 1.抛物线的定义 (1)抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． (2)抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 考点一：抛物线的定义及标准方程 【例1】到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（       ） A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 【答案】C 【解析】动点到定点的距离与到定直线：的距离相等， 所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 故选：C． 【变式探究】已知抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，设抛物线的标准方程为，准线方程是，  抛物线的准线方程为，  ，解得， 即所求抛物线的标准方程为， 故答案为： 【例2】过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为， 因为抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 故选：C. 【变式探究】顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设抛物线方程为， 于是得，解得， 所以所求抛物线方程是， 故选：B. 【例3】顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，抛物线的开口向左， 设抛物线的标准方程为， 则，所以， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D． 【变式探究】以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】双曲线，所以右顶点（4,0），抛物线的焦点也为（4,0）， 所以，，抛物线的标准方程为：， 故答案为：. 【例4】焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由焦点在轴的正半轴上知抛物线开口向上， 又焦点到准线的距离为， 故抛物线的标准方程是， 故选：A. 【变式探究】抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线方程为（　　） A． B．x C． D．x 【答案】A 【解析】∵抛物线，∴其准线方程为：， ∴由题意知，35，∴， ∴抛物线方程为， 故选：A． 【例5】若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则抛物线方程为 . 【答案】 【解析】的左焦点坐标为， 则，解得：， 所以抛物线的方程为， 故答案为：. 【变式探究】已知某抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则该抛物线的标准方程是 . 【答案】或 【解析】因为点位于第一象限，所以抛物线的开口向右或者开口向上， 所以不妨设抛物线的标准方程为或， 将点分别代入上述方程均得到， 所以抛物线的标准方程是或， 故答案为：或. 考点二：抛物线的性质 【例1】抛物线的准线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可化为， 所以抛物线的准线方程为， 故选：B． 【变式探究】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（1，0），则p=（       ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【解析】由于抛物线的焦点为，所以， 故选：A. 【例2】抛物线的焦点到其准线的距离为（       ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】抛物线，即， 则，所以， 所以抛物线的焦点到其准线的距离为. 故选：C. 【变式探究】已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（       ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】由题可知，抛物线准线，可得，解得， 所以该抛物线的焦点到其准线的距离为， 故选：D. 【例3】已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（       ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【解析】设点的横坐标为，抛物线的准线方程为， 点在抛物线上，， ，， 故选：C． 【变式探究】在抛物线的方程中，p表示（       ） A．焦点到准线的距离 B．焦点到准线的距离的一半 C．焦点到准线的距离的2倍 D．焦点到顶点的距离 【答案】A 【解析】易知：抛物线焦点，准线，顶点， 故p表示焦点到准线的距离， 故选：A. 【例4】下列关于抛物线的说法正确的是（       ）． A．开口向下，准线方程为 B．开口向左，准线方程为 C．开口向下，准线方程为 D．开口向左，准线方程为 【答案】A 【解析】抛物线的开口朝下，准线方程为， 故选：A． 【变式探究】抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由已知可得抛物线的准线方程为， 设点的坐标分别为和， 由抛物线的定义得，即， 线段中点的横坐标为， 故线段的中点到轴的距离是， 故选：. 【例5】已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则 . 【答案】10 【解析】根据抛物线的定义可得， 所以， 故答案为：10. 【变式探究】在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线定义到直线的距离等于到抛物线焦点距离， 所以到直线的距离与到直线的距离之和的最小值， 即焦点到直线的距离：， 故选:B. 【例6】已知抛物线的焦点为F，则抛物线上的动点P到点与F距离之和的最小值为 . 【答案】7 【解析】 记抛物线的准线方程为，到l的距离为， 作于，则， 当且仅当为与抛物线的交点时，等号成立． 故答案为：7 【变式探究】抛物线的焦点为，第一象限的点在上，且，则的坐标是 ． 【答案】 【解析】由题意得：设点的坐标为，故， 点的坐标为，，解得， 又在第一象限，，，即点的坐标为， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$