专题8.6 双曲线（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题8.6 双曲线 【考纲要求】 1. 理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程和图像性质. 2. 会用双曲线的性质解决问题. 【考向预测】 1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程 3.双曲线图像和性质 1.双曲线的定义 （1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. （2）集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. （3）说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， 间的关系 考点一：双曲线的定义及标准方程 【例1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【例2】若方程表示双曲线，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 . 【例3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（       ） A． B． C．或 D．或 【变式探究】设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（       ）． A． B． C． D． 【例4】设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A．24 B． C． D．30 【变式探究】经过两点，的双曲线的标准方程为 ． 【例5】与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为___________. 【变式探究】过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________. 考点二：双曲线的性质 【例1】若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（       ）． A． B． C．2 D． 【变式探究】双曲线的方程为 ， 则该双曲线的离心率为（       ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【例2】双曲线的实轴长度是（       ） A．1 B．2 C． D．4 【变式探究】已知双曲线的离心率为，则双曲线的虚轴长为（       ） A．2 B．4 C．8 D．16 【例3】双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式探究】已知双曲线C：的焦距为4，则C的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【例4】已知双曲线方程下列说法中正确的有（       ） A．焦点坐标 B．该双曲线的图象过点 C．焦距为10 D．双曲线上存在点P，使得且 【变式探究】已知双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的离心率为 _． 【例5】已知双曲线的一条渐近线与平行，则C的离心率为 ． 【变式探究】曲线与曲线的（       ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【例6】若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为 . 【变式探究】与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（       ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.6 双曲线 【考纲要求】 1. 理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程和图像性质. 2. 会用双曲线的性质解决问题. 【考向预测】 1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程 3.双曲线图像和性质 1.双曲线的定义 （1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. （2）集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. （3）说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， 间的关系 考点一：双曲线的定义及标准方程 【例1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，则， 结合条件可知，双曲线的标准方程为， 故选：C. 【变式探究】已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：双曲线的一个顶点是， 焦点在轴上，设双曲线方程为， ，渐近线方程为，，， 该双曲线的标准方程为 ， 故选：C. 【例2】若方程表示双曲线，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 故选：A. 【变式探究】若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知：，解得， 故答案为：. 【例3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由双曲线方程知：， 根据双曲线定义知：， 解得：（舍）或， 故选：B. 【变式探究】设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵双曲线，∴， 又点P在双曲线C的右支上，， 所以，，即，又， ∴面积为， 故选：B. 【例4】设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A．24 B． C． D．30 【答案】A 【解析】由，可得， 又是是双曲线上的一点，则，则，， 又，则，则 则的面积等于， 故选：A. 【变式探究】经过两点，的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设双曲线方程为， 依题意有，解得， 所以所求双曲线的标准方程为：， 故答案为：. 【例5】与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为___________. 【答案】 【解析】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得，解得， 则双曲线的方程为， 故答案为：. 【变式探究】过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________. 【答案】24 【解析】由双曲线定义知：， 所以，，而， 故，故的周长为， 故答案为：24. 考点二：双曲线的性质 【例1】若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（       ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由渐近线方程可知，则， 故选：A. 【变式探究】双曲线的方程为 ， 则该双曲线的离心率为（       ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】D 【解析】由双曲线方程得，， 则双曲线的离心率为， 故选：D. 【例2】双曲线的实轴长度是（       ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】的，所以， 故双曲线的实轴长度是， 故选：D. 【变式探究】已知双曲线的离心率为，则双曲线的虚轴长为（       ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】由题意得，解得， 所以双曲线的虚轴长为， 故选：C . 【例3】双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得， 所以双曲线的焦点在轴上，所以 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：A. 【变式探究】已知双曲线C：的焦距为4，则C的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，， 由，且，得， 故C的渐近线方程为， 故选：A. 【例4】已知双曲线方程下列说法中正确的有（       ） A．焦点坐标 B．该双曲线的图象过点 C．焦距为10 D．双曲线上存在点P，使得且 【答案】C 【解析】易知焦点坐标在轴上， 由，焦点坐标为，A错误； ，B错误； 由上知，焦距为，C正确； 若，则重合，显然不在双曲线上，D错误， 故选：C. 【变式探究】已知双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的离心率为 _． 【答案】 【解析】的渐近线为， 由题意得：，所以， 故离心率， 故答案为：. 【例5】已知双曲线的一条渐近线与平行，则C的离心率为 ． 【答案】 【解析】由题意知：， 则C的离心率， 故答案为：. 【变式探究】曲线与曲线的（       ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解析】的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，实数满足， 曲线是双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为， 显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确； 焦距为：，焦距相等，所以D正确； 离心率为：和，不相等，所以C不正确， 故选：D． 【例6】若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为 . 【答案】2 【解析】依题意，椭圆与双曲线的焦点都在轴上， 则且，解之得，（舍）， 故答案为：. 【变式探究】与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的焦点在轴上，且焦点为， 所以椭圆的焦点在轴上，且， 依题意，椭圆短半轴，则， 所以椭圆的方程为， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$