专题8.3 圆（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题8.3 圆 【考纲要求】 1. 理解圆的定义，掌握圆的标准方程和一般方程. 2. 理解点和圆的位置关系. 【考向预测】 1.圆的方程的求法 2.点和圆的位置关系 1.圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2.圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3.圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 4.点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 考点一：圆的方程 【例1】已知圆M的方程为，则圆心M的坐标是（       ） A．（，2） B．（1，2） C．（1，） D．（，） 【变式探究】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【例2】已知圆的圆心为，且过点，则圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】圆的圆心坐标和半径分别为（       ） A．， B．， C．， D．， 【例3】若方程表示圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式探究】圆心为且过原点的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【例4】与圆同圆心，且过点的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】圆的圆心到原点的距离为 . 【例5】圆关于直线对称的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】以两点和为直径端点的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【例6】圆的面积为 ． 【变式探究】若圆的方程为，且圆的面积为，则圆心坐标为 ． 考点二：点与圆的位置关系、三角形的外接圆 【例1】已知圆的标准方程是，则点（       ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 【变式探究】点与圆：的位置关系为（       ） A．点在圆外 B．点在圆内且不是圆心 C．点在圆上 D．点是圆心 【例2】已知圆，则原点在（       ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【变式探究】已知的顶点，，，则其外接圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【例3】点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【变式探究】点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是（       ） A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1 【例4】若点在圆的内部，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】若点不在圆的外部，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例5】若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】过三点，，的圆的方程 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 圆 【考纲要求】 1. 理解圆的定义，掌握圆的标准方程和一般方程. 2. 理解点和圆的位置关系. 【考向预测】 1.圆的方程的求法 2.点和圆的位置关系 1.圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2.圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3.圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 4.点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 考点一：圆的方程 【例1】已知圆M的方程为，则圆心M的坐标是（       ） A．（，2） B．（1，2） C．（1，） D．（，） 【答案】A 【解析】的圆心坐标为； 的圆心坐标为， 故选：A. 【变式探究】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为， 故选：B. 【例2】已知圆的圆心为，且过点，则圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可设圆的方程为， 因为圆过点，所以，解得， 所以圆的方程为， 故选：D. 【变式探究】圆的圆心坐标和半径分别为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由于圆， 所以其圆心坐标为，即； 半径为， 故选：A. 【例3】若方程表示圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程表示圆， 所以，解得， 故选：D. 【变式探究】圆心为且过原点的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心为且过原点的圆的半径为， 故圆心为且过原点的圆的圆的方程为， 故选：C． 【例4】与圆同圆心，且过点的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求圆的方程为， 由该圆过点，得m＝4， 所以所求圆的方程为， 故选：B. 【变式探究】圆的圆心到原点的距离为 . 【答案】 【解析】根据题意，圆的圆心为， 则其圆心到原点为距离， 故答案为：. 【例5】圆关于直线对称的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心坐标为，半径为3， 设点关于直线的对称点为， 则 ，解之得， 则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为， 则该圆的方程为， 故选：D． 【变式探究】以两点和为直径端点的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，圆心为线段的中点，半径为， 故要求的圆的方程为， 故选：B. 【例6】圆的面积为 ． 【答案】 【解析】圆的方程可化为， 所以圆的半径，面积为， 故答案为：. 【变式探究】若圆的方程为，且圆的面积为，则圆心坐标为 ． 【答案】 【解析】因为圆的面积为， 所以圆的半径为1，即，所以， 所以圆的方程为，得圆心坐标为， 故答案为：. 考点二：点与圆的位置关系、三角形的外接圆 【例1】已知圆的标准方程是，则点（       ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 【答案】B 【解析】圆 的圆心为，半径为2， 因为，所以点在圆内， 故选：B. 【变式探究】点与圆：的位置关系为（       ） A．点在圆外 B．点在圆内且不是圆心 C．点在圆上 D．点是圆心 【答案】B 【解析】由题得， 所以点在圆内，又， 所以圆心为，所以点在圆内且不是圆心， 故选：B. 【例2】已知圆，则原点在（       ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【答案】B 【解析】将圆的方程化成标准方程， 因为，所以，即原点在圆外， 故选：B. 【变式探究】已知的顶点，，，则其外接圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的外接圆的方程为， 因为的顶点，，， 所以，解得， 因此即为所求圆的方程， 故选：A. 【例3】点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【答案】在圆内 【解析】圆的圆心坐标为，半径为2， 点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内， 故答案为：在圆内. 【变式探究】点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是（       ） A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1 【答案】A 【解析】由于点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1， 所以－1＜a＜1. 故选：A. 【例4】若点在圆的内部，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在圆的内部， 所以，解得：， 故选：A. 【变式探究】若点不在圆的外部，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得，解得， ∴，即， 故选：. 【例5】若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得是直角三角形，且， 所以的外接圆的圆心就是线段的中点， 由中点坐标公式得， 故选：C. 【变式探究】过三点，，的圆的方程 . 【答案】 【解析】依题，设圆的一般方程为（ 为参数）， 将三点，，代入：解得， 综上所述，圆的一般方程为， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$