4.1数列的概念（第2课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

4.1数列的概念（第2课时） 基础巩固 1．已知数列，则45是该数列中第（    ）项 A． B． C． D． 2．如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，则，则（    ） A．3 B． C． D． 4．已知数列满足：且，则（    ） A． B． C． D． 5．若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 6．已知数列的前项和为，则 ． 7．已知数列满足：且，则 ． 8．已知数列的通项公式为，若第项是第项的3倍，则 ． 9．已知数列的前项和为，且，求的通项公式． 10．已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 能力提升 11．某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（    ） A． B． C． D． 12．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是（    ） A．20 B．21 C．26 D．27 13．已知数列满足：，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 14．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A．10 B．55 C．89 D．99 15．已知数列为，若关于n的图象是一条抛物线上的孤立的点，且，，，则 ． 16．已知数列的首项为，且，则 ． 17．数列的最小项的值为 . 18．若数列满足，且为其前项和，则的最大值为 ． 19．已知数列的通项公式为，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式；(2)设，问是否存在正整数，使得成立，并说明理由． 20．已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的最大项． 拓展延伸 21．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 22．已知数列满足. (1)比较的大小，并写出过程；(2)设数列的前项和为，证明：. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.1数列的概念（第2课时） 一、基础巩固 1．已知数列，则45是该数列中第（    ）项 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得通项公式，代入数据即可求解. 【详解】由已知条件可得：， 令解得：. 故选：C 2．如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 3，4代入通项公式求出,,计算即可. 【详解】，， 所以． 故选：D. 3．已知数列满足，则，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中递推公式代入运算即可. 【详解】因为，则有： 当，；当，；当，. 故选：C. 4．已知数列满足：且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到. 【详解】因为，，， 所以，，， 故数列为周期是3的数列， 所以. 故选：A 5．若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用数列的通项公式可逐项分析判断各个选项. 【详解】对于选项A，B，令，解得， 所以数列前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A，B正确； 对于C，由，当时，数列取到最大值， 而对函数，当时，取到最大值，故C错误； 对于D，令，解得或（舍去），即是该数列的第10项，故D正确. 故选：ABD. 6．已知数列的前项和为，则 ． 【答案】66 【分析】由，代入计算即可. 【详解】因为. 故答案为：66. 7．已知数列满足：且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据递推式判断数列的周期性，利用周期性求目标项. 【详解】由题设，则，，，， 由上，是周期为3的数列，则. 故答案为： 8．已知数列的通项公式为，若第项是第项的3倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意，由数列的通项公式列出方程，代入计算，即可求解. 【详解】由题得，又，所以， 解得（舍去）或． 故答案为： 9．已知数列的前项和为，且，求的通项公式． 【答案】 【分析】根据，可求出的通项公式. 【详解】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以. 10．已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 【答案】当时单调递增，当时单调递减，存在最大项，不存在最小项. 【分析】求出，即可判断的单调性与最大项. 【详解】因为， 所以， 又，所以当时，此时单调递增， 当时，此时单调递减， 又， 所以存在最大项，不存在最小项. 综上可得当时单调递增，当时单调递减，存在最大项，不存在最小项. 二、能力提升 11．某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式即可得解. 【详解】依题意，，. 故选：A. 12．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是（    ） A．20 B．21 C．26 D．27 【答案】B 【分析】设条直线相交，交点最多的个数设为，得到，，，从而得到，得到答案. 【详解】条直线相交，交点最多的个数设为， 则，，故，， 即，，，， 故7条直线相交，交点的个数最多是21个. 故选：B 13．已知数列满足：，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值. 【详解】由， 所以（，） 所以，，…， ， 各式相加得：. 故选：C 14．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A．10 B．55 C．89 D．99 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的递推公式，再依次计算求出. 【详解】依题意，（，），，， 所以. 故选：C 15．已知数列为，若关于n的图象是一条抛物线上的孤立的点，且，，，则 ． 【答案】21 【分析】利用待定系数法求通项，再求即可. 【详解】设（，）， 由题设可得，解得 所以，，． 故答案为：. 16．已知数列的首项为，且，则 ． 【答案】 【分析】求出，得到数列是以4为周期的周期数列，从而求出. 【详解】由题可得， 所以数列是以4为周期的周期数列，故． 故答案为： 17．数列的最小项的值为 . 【答案】 【分析】直接根据反比例函数的单调性即可得解. 【详解】令，得， 令，得， 所以当时，，当时，， 而函数在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 即数列的最小项的值为. 故答案为：. 18．若数列满足，且为其前项和，则的最大值为 ． 【答案】0 【分析】根据二次函数、指数函数的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，，，， 令，解得或，即， 根据二次函数与指数函数的图象和性质可知： 在内指数函数在二次函数图象下方，即在内， 当时，,所以在或处最大值为0． 故答案为：   19．已知数列的通项公式为，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，问是否存在正整数，使得成立，并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据，即可求解通项， （2）根据数列的单调性，求解最值，即可作出判断. 【详解】（1）由可得：当时，， 当时，，也符合上式， 所以 （2），因此， 故， 故当时，，故， 当时，，故此时单调递减， 故当时，取最大值，，因此不存在正整数，使得成立. 20．已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出通项公式； （2）求出，当时，计算出，，当时，，从而得到数列的最大项. 【详解】（1）中，令得， 当时，， 其中， 故 （2）当时，， 当时，， 则， 当时，， 当时，，，故， 故时，的最大项为， 又，故数列的最大项为. 三、拓展延伸 21．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】(1) (2)第项 【分析】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【详解】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，  即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 22．已知数列满足. (1)比较的大小，并写出过程； (2)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小. （2）先根据统计得到，再求进行判断即可. 【详解】（1）因为， 所以. 若，则，这与矛盾. 所以. 故. （2）由， 所以. 所以. 由（1）可知：，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$