4.1数列的概念（第1课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

4.1 数列的概念（第1课时） 一、基础巩固 1．将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据数列的定义知识即可求解. 【详解】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都正确，故D项正确. 故选：D． 2．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可. 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 3．已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据选项中的通项对前五项一一验证即可. 【详解】对于选项A：时，，，，，，满足题意，故A正确； 对于选项B：时，，，，，，满足题意，故B正确； 对于选项C：时，，，，，，满足题意，故C正确； 对于选项D：时，，不满足题意，故D错误； 故选：ABC. 4．（多选）下列叙述错误的是（    ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列 【答案】AB 【分析】根据数列的表示法和定义、项的组成即可一一判断. 【详解】对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合是两个不同的概念，故A错误； 对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同， 那么这两个数列是不同的数列，故B错误； 对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确； 对于D，当时，数列和表示同一数列，故D项正确． 故选：AB. 5．(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 【答案】ACD 【分析】由数列的概念以及相关性质即可逐一判断每个选项求解. 【详解】数列a，a，a，…是无数个排列而成，所以它是无穷数列，故A正确； 若是数列，即可排列成， 则将后项减前项依次排列得，所以也是一个数列，故D正确； 因为数列是定义在正整数集上或它的有限子集上的函数，当自变量从小到大取值时，对应的是一列函数值，故B错误； 对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列． 故选：ACD. 6．满足下列条件的数列是递增数列的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据与的大小关系判断是否为递增数列. 【详解】A．因为，所以是递减数列； B．因为，所以是递增数列； C．因为，所以是递减数列； D．因为，所以是递增数列； 故选：BD. 【点睛】结论点睛：已知数列，根据与的大小关系判断的单调性： （1）若，则为递增数列； （2）若，则为递减数列； （3）若，则为常数列. 7．已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作商探讨数列的单调性，进而求出最大项即可. 【详解】数列中，，则， 令，解得，则当时，，即， 同理当时，，即，而当时，， 所以数列的偶数项中最大项为. 故选：D 8．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【答案】 ②④⑤ ②⑤ ④ 【分析】由数列的定义及数列的分类可得结论. 【详解】①是集合，不是数列，③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按照一定顺序排列起来， 根据数列定义知：是数列的是②④⑤；是有穷数列的是②⑤；是无穷数列的是④． 故答案为：②④⑤；②⑤；④． 9．给出下列数列： ①某国某段时间某病毒感染人数构成的数列352546，383256，419338，452987，490442， 521323，547486. ②无穷多个构成数列，，，， ③－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂构成数列－2，4，－8，16， 其中，递增数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 . 【答案】 ① ② ③ 【分析】根据数列的概念确定正确结论. 【详解】①为有穷数列，同时也是递增数列； ②③是无穷数列，同时②为常数列，③为摆动数列． 故答案为：①；②；③. 10．已知数列的通项公式为，则数列中的最小项的值为 ．（用具体数字作答） 【答案】 【分析】利用作差法判断数列的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， 故， 当时，，故， 当时，，故， 即得， 故数列中的最小项为， 故答案为： 11．写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数： (1)3，5，9，17，33，…； (2)，，，，…； (3)5，55，555，5555，…； (4)，－1，，，，…； (5)0，，，，…． 【答案】(1)（）． (2)（）． (3)（）． (4)（）． (5)（）． 【分析】先将数列中的数进行适当分解转化，再结合数列中各项的项数，将规律把这五个数列表示成式子即可． 【详解】（1）数列的前几项可记为，，，，…， 所以该数列的一个通项公式为（）； （2）数列的整数部分1，2，3，4，…，，…恰好是序号，分数部分，，，，…与序号的关系为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （3）将原数列改写为，，，，…， 易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （4）数列的偶数项为负数，奇数项为正数，故通项公式必含有因式． 第2项－1改写成后，该数列各项分母依次为3，5，7，9，11，…，与序号的关系可记为． 而各项分子依次为2，5，10，17，26，…，与序号的关系可记为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （5）因为，，，所 以该数列的一个通项公式为（）． 12．已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3)证明：不是这个数列中的项． 【答案】(1)， (2)是这个数列中的第项 (3)证明见解析 【分析】（1）由数列的定义得到该数列的通项公式，从而求得其第10项和第31项； （2）将代入该数列的通项公式，从而得解； （3）将代入该数列的通项公式，从而得证. 【详解】（1）因为无穷数列，，，…，，…， 所以该数列的通项公式为， 则，. （2）因为， 将代入，得，解得或（舍去）， 所以是这个数列中的第项. （3）因为， 将代入，得，即，解得（负值舍去）， 又，故也不满足题意， 所以不是这个数列中的项. 13．已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 【答案】见解析 【分析】利用描点法画图，结合图象分析单调性即可. 【详解】列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… -30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 …… 作图如下：    如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增. 二、能力提升 14．（多选）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列的一个通项公式为 【答案】AD 【分析】利用数列的概念、通项公式一一判定选项即可. 【详解】对于选项A，因为数列是一类特殊的函数，其自变量， 所以数列的图象是一群孤立的点，故A正确； 对于选项B，常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误； 对于选项C，当时，，故C错误； 对于选项D，因为， 所以该数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：AD. 15．已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．先递增后递减 D．先递减后递增 【答案】A 【分析】根据题意，先求出的范围，再利用数列单调性定义判断. 【详解】设（k为常数），所以， 因为，所以， 令，则， 所以，所以单调递减， 所以，所以， 所以， 所以， 所以数列为递增数列． 故选：A. 16．数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列单调递增得到，再求出在上的最小值，即可求出的范围，再进行条件判断选出答案即可. 【详解】因为数列是单调递增数列， 所以，即，化简得， 所以， 令，则在上递增， 所以，所以, 所以使“数列是单调递增数列”的充要条件是， 所以充分不必要条件是可以是. 故选：A. 17．已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 【答案】BCD 【分析】设第项为的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A． 【详解】设第项为的最大项， 则，即，所以， 又，所以或， 故数列中与均为最大项，且， 当时，数列递减，故BCD正确， 当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且， 所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误. 故选：BCD 18．已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知是递增数列，，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得. 【详解】由，当时，成立，即数列递增， 则对于任意的，都有. 已知， 则有恒成立， 即对于任意的都成立， 因为当时，，所以. 故选：C. 19．已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据题意将两个命题分别求出参数的范围，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】命题若是上的减函数，得 ，解得， 命题对于任意的正整数，，都有， 不妨令，可得，有 ， 由题，知，解得， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 20．在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． (1)求的通项公式； (2)88是否是数列中的项？ 【答案】(1) (2)88不是数列中的项 【分析】（1）将，代入到通项公式中，联立成方程组，求解出参数p，q，从而得出通项公式； （2）令，解出的值，若为正整数，则是数列中的项；若不是正整数，则不是数列中的项. 【详解】（1）解：因为，，通项公式， 所以， 解得，， 所以； （2）令， 解得， 因为， 所以88不是数列中的项. 21．已知数列的通项公式为． (1)判断数列的单调性，并证明你的结论； (2)若数列中存在的项，求的值． 【答案】(1)是递减数列，证明见解析 (2) 【分析】（1）首先判断是递减数列，再利用作差法证明即可； （2）依题意可得，解方程即可. 【详解】（1）因为，故数列是递减数列， 证明：数列中，， 则， 所以， 故数列是递减数列； （2）若，即，变形可得， 解得：或（舍去）， 故． 22．已知数列的通项公式为． （1）求． （2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由． （3）求证：． 【答案】（1）；（2）为数列中的项，为第3项；（3）证明见解析. 【解析】（1）根据数列的通项公式，直接计算，即可得出结果； （2）令，列出方程求，即可判断出结果； （3）化通项公式，判定，即可得出结论成立. 【详解】（1）根据题意可得； （2）令，即，解得， ∴为数列中的项，为第3项； （3）由题知， ∵，∴，∴，∴，即． 【点睛】本题主要考查由通项公式求数列中的项，熟记数列的概念即可，属于基础题型. 23．已知{an}为递增数列，前n项和，求实数λ的取值范围. 【答案】 【分析】首先根据公式，求数列的通项公式，再结合数列单调性的定义，以及数列的函数性质，即可求实数的取值范围. 【详解】∵{an}的前n项和， ∴， 当时，，此时数列{an}随n的增大而增大， 故只需即可， 故λ＜4， 即实数λ的取值范围为：. 三、拓展延伸 24．已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，恒成立，参变分离可得，恒成立，结合函数的单调性求出的最大值，即可得解. 【详解】依题意，恒成立， 即，恒成立， 所以，恒成立， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以当时， 所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据数列的单调性得到，恒成立，再参变分离得到，恒成立. 25．数列，的通项公式分别为，；若，求对所有的正整数都有成立的的范围. 【答案】 【分析】证明数列单调递减，可转化为恒成立，再分离参数，利用基本不等式可得的范围. 【详解】已知得， 所以， 所以数列为单调递减数列， 所以，即的最大值为， 因为对所有的正整数都有都成立， 所以，由可得， 所以恒成立，只需满足即可， 又， 当且仅当，即时等号成立，所以， 故，则的取值范围为． 26．设命题已知，数列是单调递增数列；命题函数，值域为 ，若“” 为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】根据题意，当命题真命题时，分别利用和二次函数的值域求得的取值范围；若“” 为假命题，“”为真命题，则命题一真一假，进而根据的真假性列不等式组得到的取值范围. 【详解】当命题为真命题时：由数列是单调递增数列得 ， 即对恒成立，所以 ； 当命题为真命题时：函数，关于直线对称， 且，又定义域为，值域为， 所以； 因为 为假命题，为真命题，所以命题一真一假； 当为真命题，为假命题时，所以； 当为假命题，为真命题时，所以； 综上所述，实数的取值范围为：或. 试卷第2页，共17页 试卷第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.1 数列的概念（第1课时） 基础巩固 1．将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 2．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 3．已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列叙述错误的是（    ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列 5．(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 6．满足下列条件的数列是递增数列的为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 8．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 9．给出下列数列： ①某国某段时间某病毒感染人数构成的数列352546，383256，419338，452987，490442， 521323，547486. ②无穷多个构成数列，，，， ③－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂构成数列－2，4，－8，16， 其中，递增数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 . 10．已知数列的通项公式为，则数列中的最小项的值为 ．（用具体数字作答） 11．写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数： (1)3，5，9，17，33，…； (2)，，，，…； (3)5，55，555，5555，…； (4)，－1，，，，…； (5)0，，，，…． 12．已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3)证明：不是这个数列中的项． 13．已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 能力提升 14．（多选）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列的一个通项公式为 15．已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．先递增后递减 D．先递减后递增 16．数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 17．已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 18．已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． (1)求的通项公式； (2)88是否是数列中的项？ 21．已知数列的通项公式为． (1)判断数列的单调性，并证明你的结论； (2)若数列中存在的项，求的值． 22．已知数列的通项公式为． （1）求． （2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由． （3）求证：． 23．已知为递增数列，前n项和，求实数λ的取值范围. 拓展延伸 24．已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．数列，的通项公式分别为，；若，求对所有的正整数都有成立的的范围. 26．设命题已知，数列是单调递增数列；命题函数，值域为 ，若“” 为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围． 试卷第4页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$