1.1周期变化课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

直线与直线的方程 1.1 一次函数的图象与直线的方程 作下列一次函数图像: (1)y=2x+1 （2）y=-x+2 （3） 一般地，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对 x，y的值为坐标的点构成的,同时函数解析式y=kx+b可以看作二元一次方程，在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程来的研究直线的有关问题 一、直线的倾斜角和斜率 问题提出 由初中的平面几何知识，我们知道两点确定一条直线;由必修课程中的平面向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线，那么，怎样用代数方法刻画直线呢? 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 分析理解 我们发现，在下图1中,经过平面直角坐标系原点的直线有无数条;在下图2中，与x轴(正方向)所成的角为 的直线也有无数条，而经过原点与x轴正方向所成的角为 的直线仅有一条，也就是说，一个定点和与x轴的一个定夹角就唯一确定了一条直线。 x y o x y o 抽象概括 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角.通常倾斜角表示当直线 l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)，如图1-4这样，对于平面直角坐标系中的每一条直线l，都有唯一确定的倾斜角α与之对应. x y o x y o x y o x y o 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度，斜角越接近 ，倾斜程度越大. 在日常生活中，用坡度来刻画道路的倾斜程度，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比，这个比值反映了物体在水平方向的改变量和铅直方向的改变量的联系。例如，坡度为0.01。说明物体沿着该坡道运动，在水平方向上移动1km在铅直方向上上升或下降0.01km(示意图如图1-5)。显然坡度越大，坡的倾斜程度就越大，实际上，生活中这样的例子很多，如水库大坝、楼梯及屋顶的坡度等。 1km 0.01km 1km 0.01km 实际上，坡度是利用高度的平均变化率刻画道路的倾斜程度，与坡度的意义类似，在平面直角坐标系中，直线的倾斜程度利用点的坐标表示如下: 如下图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则称 为经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率. x y y1 y2 x1 x2 P1 P2 O 显然，若直线垂直于x轴，则它的斜率不存在;若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一因此，我们常用斜率来表示直线的倾斜程度 例1:求满足下列条件的直线的斜率: (1)经过点A(2,-8),B(5,1); (2)经过点C(0,2),D(2,-1) (3)经过点M(-1,3),N(0,3) 例2 已知直线经过点A(-1,2)，且斜率k=-2，判断B(1,-2)，C(0,4)，D(0,0)中，哪些点在直线上，哪些点不在直线上? 练习 1.已知ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(1,2),C(2,4),求 ABC的三边所在直线的斜率 2.根据图中提供的信息，按从大到小的顺排列图中各条直线li(i=1 2,3,4,5)的斜率，并写出各条直线的斜率。 3.判断下列三点是否在同一条直线上 (1)A(1,2),B(-1.3).C(0,4); (2)D(-2,2),E(2,0),F(0,1). 4.写出下列直线上不同于已知点的一个点的坐标; (1)点P1(1,3),斜率为2; (2)点P2(-1,2)，斜率为-1 二、直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 x y O 由正切函数的概念可知，倾斜角不是 的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足: 如右图，结合正切函数的图象与性质，我们不难发现斜率k与倾斜角α有如下关系: 当α∈[0，　)时，斜率k≥0,且k随倾斜角α的增大而增大; 当α∈(　，　)时,斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大; 当α=　时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在 思考交流 对于倾斜角不为哥的两条直线，其倾斜角相等，斜率就相等吗?反之，其斜率相等，倾斜角就相等吗? 例3 已知直线l的倾斜角为α，斜率为k (1)若 ，求斜率k的取值范围; (2)若 , 求斜率k的取值范围; (3)若 ，求倾斜角α的取值范围; (4)若 ,求倾斜角α的取值范围。 例4 已知直线l1的倾斜角α=30°且l1⊥l2，求直线l1和l2的斜率. 如右图，在直线上任取两个不同的点P1(x1,y1)，P(x2, y2)由平面向量的知识可知向量 是直线l的方向向量，它的坐标是(x2-x1,y2-y1),直线的倾斜角α斜率k方向向量 分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中轴的倾斜程度.它们之间的关系是 x y O l P1 P2 α 若k是直线l的斜率，则v=(1,k)是它的一个方向向量:若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y)，其中x≠0，则它的斜率 . 例5 已知直线l的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标. 例6 根据下列条件，求直线l的倾斜角: (1)斜率为 ; (2)经过A(-2,0),B(-5,3)两点; (3)一个方向向量为 练习 1.已知下列直线的倾斜角研究它们的斜率k的取值情况; (1)α=0; (2) (3) (4) 2.已知直线a,b,c的斜率分别为3，1，-2,倾斜角分别为α，β，γ.按照从大到小的顺序排列α，β，γ 3.已知直线l的一个方向向量v=(3,1),求直线的斜率。 4.已知直线l的斜率为-2，求直线l的一个方向向量的坐标. $$