2025年中考数学专项练习 ：角的运动与旋转

角的运动与旋转中考专项练习 一、填空题 1．已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． （1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． （2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 二、解答题 2．把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 3．已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 4．有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 5．已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 6．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点  叠放在一起． (1)若，_______；若，则______ (2)猜想与的大小有何关系： ； (3)如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点  重合在一起，则与的大小有何关系： ； (4)已知（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点  重合在一起，则与的大小有何关系．请说明理由． 7．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 8．将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 9．如图，已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转到，且． (1)如图①，若，试判断与之间的大小关系并说明理由； (2)如图②，作射线，射线为的平分线，设，当时，若射线恰好平分，求的度数． 10．已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 11．如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 12．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 13．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 14．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)将直角三角尺的一边放在射线上，如图1，则的度数为___________，其补角的度数为___________． (2)将直角三角尺绕点O逆时针方向转动到如图2的位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角尺绕点O转动如果始终在的内部，请直接写出和的数量关系． 15．综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 16．将一副三角板的两个锐角顶点重合，，，、分别是，的平分线． (1)如图①所示，当与重合时，则的大小为 ． (2)当绕着点O旋转至如图②所示，当，则的大小为多少？ (3)当绕着点O旋转至如图③所示，当时，求的大小． 17．如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    (1)如图①，的度数为______度； (2)将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 18．如图①，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边上．已知，，，作的平分线交边于点E． (1)求的度数； (2)如图②，若点C不落在边上，当时，求的度数． 19．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 20．如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 21．一副三角板如图1放置，（） (1)求的度数； (2)若三角板绕B点逆时针旋转到如图2时，在旋转过程中分别平分，则如何变化； (3)若三角板绕B点逆时针旋转到如图3时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？ 22．数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 23．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 24．如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数． (2)在图3中，延长线段得到射线，判断是否平分，请说明理由． 25．探究题：已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则______，______； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； 26．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 27．点O为直线上一点，在直线同侧任作射线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点O作射线，使为的角平分线．若时．则 ， ； (2)如图二，过点O作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数； ②若（），则的度数是 （直接填空）； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是 ． 28．直角三角尺的直角顶点在直线上，平分． (1)在图中，若，求的度数； (2)在图中，若，直接写出的度数（用含的式子表示）； (3)将图中的三角尺绕顶点旋转至图的位置，写出与之间的关系，并说明理由． 29．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 30．如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数； (2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 31．如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，，是三角板的两条直角边，平分． (1)如图1，若，则________； 若，则________（用含的代数式表示）； (2)将图1中三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，试猜测与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】本题考查了角平分线的计算，几何图形中角的计算． （1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可； （2）同（1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ， 故答案为：； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 2．(1)， (2) (3)不变 【分析】本题考查角的和差和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由三角板的内角，利用角的和差求出的度数，然后利用角平分线的定义得到的度数，然后利用交的和差解题即可； （2）先求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后根据解题即可； （3）根据（1）（2）的计算方法解题即可． 【详解】（1）解：∵A、B、D三点在同一直线上， ∴， 又∵BM为的平分线， ∴， ∴； （2）解：， ∵为的平分线， ∴， ∴； （3）解：不变，理由为： 三角尺逆时针旋转20度时， ∴， ， 又∵BM为的平分线，为的平分线， ∴， ， ∴； 3．(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 4．(1)④ (2)； (3) (4) (5) 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的角的计算，掌握角平分线的定义，是解题的关键． （1）根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数； （3）同法（2）求解即可； （4）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数． （5）同法（4）求解即可． 【详解】（1）解：用两副三角板可以直接画出大于小于的角，角的度数也是的倍数， ①，②，③都是15的倍数，而④不是15的倍数，所以不能画出的角． 故答案为：④； （2）解：∵平分， ∴， 同理， ∴， 在图①中：，， ∴， 在图②中，，， ∴； （3）解：设，与重合，与分别在两侧，平分，平分， 由（2）可得； 故答案为：； （4）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （5）解：设，与重合，与分别在同侧，平分，平分， 由（4）可得； 故答案为：． 5．(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的意义，掌握角度的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，根据即可求解； （2）同理（1）即可求得． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：同理（1）得：， ， ． 6．(1)； (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）先求出，进而求出；先求出，进而可得； （2）先求出，再求出，据此可得结论； （3）仿照（2）求解即可； （4）根据可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：，理由如下： ∵， ∴． 7．(1) (2) (3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 8．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角，周角的定义是正确解答的前提，注意分类讨论，避免漏接； （1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案； （3）分两种情况讨论，射线与线段不相交和射线与线段相交，再根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 故答案为：； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：或，理由如下： 当射线与线段不相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， 当射线与线段相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， ， 故答案为：或． 9．(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据，，即可确定两个角的大小； （2）根据角平分线的定义可得，，根据列方程，求出的值，再根据计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：恰好平分， ， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ． 10．(1) (2) (3)的度数不发生变化，始终等于，理由见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据即可得出答案； （2）根据角平分线性质得，再根据可得出答案； （3）先求出，再根据角平分线定义得，由此可得得度数． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，恰好平分， ∴， ∴； （3）解：的度数不发生变化，始终等于，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 11．(1) (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解：、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 12．（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）用分别求出和，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）因为恰好是的平分线，， 所以， 因为 所以； 所以旋转角是50度； （3） 理由：因为恰好是的平分线 因为， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 13．（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 14．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∴的补角为； （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． 15．（1），；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 16．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合． （1）根据角平分线的定义直接进行计算即可； （2）先根据算出，，然后根据角平分线的定义进行计算即可； （3）用n表示出，，然后根据角平分线的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，、分别是、的平分线， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）解：当时，，，     ∵、分别是、的平分线， ∴，，     ∴； （3）解：当时，，， ∵、分别是、的平分线， ∴， ，     ∴． 17．(1)； (2)逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 【分析】（）根据图形计算即可求解； （）分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，分别画出图形，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了三角板中的角度计算问题，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：； （2）解：能． ①逆时针旋转，如图，    由题意得，， 解得； ②顺时针旋转，如图，    当时， 由题意得，， 解得，不符题意，舍去； 当时， 由题意得，， 解得； 综上所述，逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 18．(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差． （1）根据角平分线的定义可求出的度数，根据角的和差关系即可求出的度数； （2）根据角的和差关系可求出的度数，根据角平分线的定义可求出的度数，进而根据角的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 19．(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及角平分线的定义可求得的度数，结合直角的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，由题意得， ∴ ， ∴； ②当时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，，． 20．(1)； (2)能，或； (3)能或． 【分析】本题考查了角的和差定义、角平分线的定义，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题意可知，，由平分，平分；推出，，由图形可知，，即； （2）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可； （3）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或； （3）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或． 21．(1)； (2)的度数不变化， 理由见解析； (3)（2）中的结论不变， 理由见解析． 【分析】考查了角平分线的定义，角的计算，关键是熟练掌握角平分线的定义，以及角的和差关系． （1）根据角的和差关系即可求解； （2）设，则， 根据角平分线的定义以及即可求解； （3）设，则， 根据角平分线的定义以及即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：的度数不变化， 理由如下： 设， 则， ∵分别平分， ； （3）解：（2）中的结论不变， 理由如下： 设， 则， ∵分别平分， ． 22．(1)90 (2)，理由见解析 (3)的度数是一个定值，理由见解析 【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键． （1）由平角的性质可求解； （2）由补角和余角的性质可求解； （3）由角平分线的定义和平角的性质可求解． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为90； （2）解：， 理由如下：，， ； （3）解：的度数是一个定值， 理由如下：射线、分别是、的角平分线， ，， ． 23．（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 24．(1) (2)是平分的，理由见解析 【分析】题目主要考查角平分线的计算，邻补角的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线得出，结合图形即可求解； （2）由（1）知，，确定，然后结合图形即可得出结果． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵此时在的内部．且恰好平分， ∴， 根据题意知： ∴； （2）是平分的，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵延长线段得到射线， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 25．(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件． （1）利用角的加减，角平分线定义计算； （2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到和之间的数量关系； 【详解】（1）解： ，， ， ， 又射线平分， ， ； 故答案为：，； （2）解：；理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ， 即； 26．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 【点睛】本题主要考查了平面内直角在直线上旋转．熟练掌握旋转性质，余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． 27．(1)65，40 (2)①；② (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：65，40； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 故答案为：或． 28．(1) (2) (3)；理由见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质以及角的计算． （1）先求出和的度数，再根据求解即可； （2）先用表示出和，再根据求解即可； （3）先求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， 又平分， ， ； （2）解：，， ， ， 又平分， ， ； （3）解：．理由如下： 点在直线上， ， 平分， ， ， ． 29．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 30．(1) (2)，理由见解析 (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查三角板中角的运算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）利用角的运算先得到，再利用求解，即可解题； （2）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题； （3）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 由题知，， 当在与之间，   ， ； 当在与之外，     ， ； （3）解：正确，理由如下： ． 31．(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的计算．正确使用角平分线的计算是解题的关键． （1）①利用角的和差可求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义，可求； （2）设，则，利用角平分线的性质得到，进而可求得，从而得到． 【详解】（1）解：若， ， ． 平分， ． ； 若 ， ． 平分， ． ． 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 设，则， 平分， ， ∵， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$