广东省惠州市惠东县2024-2025学年上学期九年级期中数学试题

9年级数学 第 1 页 共 4 页 2024-2025 学年第一学期期中教学质量检查 九年级数学试题 一、选择题.（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求.） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2. 将抛物线� = �2的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ） A．� = �2 − 3 B．� = �2 + 3 C．� =− �2 − 3 D．� =− �2 + 3 3. 设方程�2 − 3� + 2 = 0的两个实数根分别是�1、�2，则�1 + �2的值为（ ） A．3 B．− 3 2 C． 3 2 D．-2 4.点 ），（、 21 3),2( yByA 是二次函数 1+2+= 2 xxy 的图象上两点，则�1与�2的大小关系为（ ） A．�1 < �2 B．�1 > �2 C．�1 = �2 D．无法确定 5.如题 5图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为 �＝− � − 1 2 + 4，则水柱的最大高度是（ ） A.2 B.4 C.6 D.2＋ 6 6. 如题 6图，AB 是⊙0的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于点 E，则下列结论中不一 定成立的是（ ） A. �� =�� B.�� =�� C.OE =BE D.CE =DE 7. 如题 7图，将 ABCΔ 绕点 A顺时针旋转 60°得到 ADEΔ ，若 2=,4=,5= BCACAB ,则 BE 的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 8. 若关于�的一元二次方程��2 − 2� − 1 = 0有两个不相等的实数根，则实数 k的取值范围 是（ ） A． k>-1 B．k>-1 且 k≠0 C．k<-1 D．K<-1 且 k≠0 9. 在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手 10 次，设有� 人参加会议，则可列方程 为（ ） A．� � + 1 = 10 B．� � − 1 = 10 C． 1 2 � � + 1 = 10 D．1 2 � � − 1 = 10 题 5图 题 6图 题 7图 9年级数学 第 2 页 共 4 页 10．二次函数 �＝ ��2＋ ��＋ �的图象如题 10 图所示，则下列结论正确的是（ ） A．� > 0, � > 0, � >0 B．� > 0, � < 0, � <0 C．� < 0, � > 0, � <0 D．� < 0, � < 0, � >0 二、填空题.(本大题共 5小题，每小题 3 分，共 15 分．) 11. 若关于�的方程�2－� − 6＝0的其中一个根是�1=－2，则另一个根�2 = ． 12.（跨学科与体育融合）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是 以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填 “顺时针”或“逆时针”）方向旋转 ​ 度． 13．已知� = 2是一元二次方程�2 +�� + � = 0的一个根，则 2� + �的值 是 ． 14．如题 14 图，二次函数�＝��2＋��＋�的图象如图所示，当 时,� < 0. 15．如题 15 图，抛物线�1: � = �2 − 2� 0 ≤ � ≤ 2 交� 轴于 O，A两点；将�1绕点 A旋转 180° 得到抛物线�2，交� 轴于�1；将�2绕点 1A 旋转180得到抛物线�3，交� 轴于�2……，如此进 行下去，则抛物线�10的解析式是 ． 三、解答题（一）：(本大题共 3小题，每小题 7 分，共 21 分.) 16．解一元二次方程：�2 + 4� − 1 = 0 17．如题 17 图，已知二次函数 �＝ ��2＋ ��＋ � 的图象经过点 A（－3，0）， B（1，0），C（0，3）． （1）求二次函数的解析式； （2）判断点 P(−2，3)是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出 △ABP 的面积；如果不在，试说明理由． 18．如题 18 图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中 一边靠墙，另外三边由长度为 30 m 的篱笆围成．如图，墙长为 16 m，设 这个苗圃园垂直于墙的一边长为� m．请列出方程并解答： (1)若苗圃园的面积为 108 m 2 ，求�的值； (2)苗圃园的面积能达到 120 m 2 吗？若能，求出�的值；若不能，说明理由． 题 10图 题 14图 题 15图 题 17图 题 18图 16m 9年级数学 第 3 页 共 4 页 A B C 四、解答题（二）：（本大题共 3小题，每小题 9 分，共 27 分．） 19．如题 19 图，在平面直角坐标系中，∆���的三个顶点都在格点上，点 A的坐标为（-2，3）， 点 B的坐标为（-6，0），点 C的坐标为(-1，0)，请解答下列问题： （1）画出∆���关于原点成中心对称的∆�1�1�1． （2）画出∆���绕原点 O顺时针旋转 90 度的∆�2�2�2． （3）请直接写出：以 A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶 点 D的所有可能坐标． 20．“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点 P表示筒车的一个盛水桶，如题 20- ①图．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图题 20-②．当 筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方.若圆被 水面截得的弦 AB 长为 8 m，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大 距离）为 2米． （1）求该圆的半径． （2）若水面下降导致圆被水面截得的弦 AB 的长度从原来的 8米变为 6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 21.综合与实践 根据以下素材，探索完成任务. 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材 1】如题 21 图-①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为 20 m， 宽为 1 m 的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面 5 m． 【素材 2】种植苗木时，每棵苗木高 1.76 m．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间 间隔 1 m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布.（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为 y,种植点的横坐标为 x．根据 21 题 图-②建立的平面直角坐标系，通过素材 1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围.在 21 题图-②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即 y>1.76）， 确定种植点的横坐标 x的取值范围； （3）拟定种植方案.给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植 点的横坐标 x的值. 题 19图 题 20图 题 21图 9年级数学 第 4 页 共 4 页 五、解答题（三）：（本大题共 2小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分.） 22.综合探究 【问题背景】在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法.如题 22 图-①，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD ＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是 BC，CD 上的点，且∠ EAF＝60°，连接 EF，探究线段 BE，EF，DF 之间的数量关系. 【探究发现】 （1）小明同学的方法是将△ABE 绕点 A逆时针旋转 120°至△ADG 的位置，使得 AB 与 AD 重 合，然后证明△AGF≌△AEF，从而得出 BE、EF、DF 之间的数量关系： ​ ； 【拓展延伸】 （2）如题 22 图-②，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 BC，CD 上，且∠ EAF＝45°，连 接 EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 【尝试应用】 （3）在（2）的条件下，若 BE＝3，DF＝2，求正方形 ABCD 的边长. 23. 综合运用 如题 23 图，在平面直角坐标系中，抛物线�＝��2＋ ��－4与�轴交于 A（－1，0）,B（4，0） 两点，与�轴交于点 C，点 P是直线 BC 下方抛物线上一动点. （1）求这条抛物线的解析式； （2）在�轴上是否存在点 E，使得以 E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求 出点 E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点 P运动到什么位置时，△PBC 的面积最大，求出此时点 P的坐标和△PBC 面积的最 大值. 题 22图 题 23图 2024-2025学年第一学期九年级期中检测数学试题 （参考答案） 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1-5. B A A A B 6-10. C A B D C 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 12. 脚跟、逆时针、90 13. —4 14. 15. ( 或y=（x-19）2+1 ) 3、 解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分共21分． 16题： 解法一（配方法） 解：1………… 1+4………… ………… ………… ………… 解法二（公式法） 解：………… ………… ………… ………… 17题： 解：(1)将点 A （－3，0），B （1，0）， C （0，3）代入 ， 得………… 解得………… ∴二次函数的解析式为.………… (2)∵当 x ＝ 时， ∴点 P （ ，3 ）在这个二次函数的图象上.………… ∴ S△ ABP ＝ AB · ＝ ×（1＋3）×3＝6 .………… 18题： 解：(1)由题意可知(30－2x)x＝108，………… 解得x＝6或x＝9，………… 由于0＜30－2x≤16， 解得7≤x＜15，∴x＝9． 答：若苗圃园的面积为108 m2，x的值为9．………… (2)不能，理由如下：………… 由题意可知(30－2x)x＝120，………… ∴x2－15x＋60＝0， ∴Δ＝152－4×60＝－15＜0，………… ∴此方程无解． 答：苗圃园的面积不能达到120 m2．………… 4、 解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19题.A B C A2 B2 C2 A1 B1 C1 (1)作图如下：则关于原点成中心对称的图形.………… (2)作图如下：则绕原点O顺时针旋转90度的图形.………… (3)（3,3）、（-7,3）、（-4,-3）………… 20题： （1）如图，过点 O 作半径 OD ⊥ AB 于点 E .………… ∴ AE ＝ BE ＝AB ＝×8＝4（米）.………… 设圆的半径为r 米， ∵DE=2米，∴OE=r-2（米） 所以根据勾股定理得：………… ∴r=5 ∴该圆的半径为5米.………… （2） ∵AB=6 （米） ∴ AE ＝AB ＝×6＝3（米）………… ∴OE==4(米） ∴DE=5-4=1（米） ∴水面下盛水桶的最大深度为1米.………… 21题： 解：（1）由题意，得抛物线的顶点坐标为（0，5），且经过点（10，1）. 设抛物线的解析式为 y ＝ ax2＋5………… 把点（10，1）代入上式，得100 a ＋5＝1. 解得 a ＝－ ………… ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2＋5.………… （2）令 y ＝1.76，则－ x2＋5＝1.76.解得 x1＝－9， x2＝9.………… ∵种植苗木时，每棵苗木高1.76 m，∴ y ＞1.76. ∴种植点的横坐标的取值范围为－9＜ x ＜9.………… （3）由题意，可在距离 y 轴0.5 m的两则开始种植，两侧均可种9棵， ∴最前排可种植9×2＝18（棵），………… 最左边一棵苗木种植点的横坐标 x ＝－0.5－8＝－8.5 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植 点的横坐标为－8.5………… 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22题： （1） EF ＝ BE ＋ DF………… （2） 解：（1）中的结论仍然成立.………… 证明如下：如图，将△ ABE 绕点 A 逆时针旋转90°至△ ADG 的位置，使得 AB 与 AD 重合， ∴ AE ＝ AG ，∠ BAE ＝∠ DAG ，∠ ADG ＝∠ B ＝90°. ∴∠ ADG ＋∠ ADC ＝180°. ∴ G ， D ， F 三点共线.………… ∵∠ BAD ＝90°，∠ EAF ＝45°， ∴∠ BAE ＋∠ DAF ＝45°. ∴∠ GAF ＝∠ DAG ＋∠ DAF ＝45°. ∴∠ GAF ＝∠ EAF . 又∵ AF ＝ AF ， ∴△ AEF ≌△ AGF （SAS）.………… ∴ EF ＝ FG ＝ DG ＋ DF ＝ BE ＋ DF .………… （3）解：由（2）可得 EF ＝ BE ＋ DF ＝5.………… 设正方形 ABCD 的边长是 x ，则 EC ＝ x －3， CF ＝ x －2. 在Rt△ CEF 中，由勾股定理，得 EF2＝ EC2＋ CF2， 即52＝（ x －3）2＋（ x －2）2.………… 解得 x1＝6， x2＝－1（不合题意，舍去）. ∴正方形 ABCD 的边长是6..………… 23题： （1）解：将点 A （－1，0）， B （4，0）代入 y ＝ ax2＋ bx －4，得解得………… ∴这条抛物线的解析式为 y ＝ x2－3 x －4.………… （2）存在.………… 当 x ＝0时， y ＝－4， ∴ C （0，－4）. 设点 E （ x ，0）， 则 BC2＝32， BE2＝（ x －4）2， CE2＝ x2＋16.………… ①当 BC 是斜边时，则32＝（ x －4）2＋ x2＋16. 解得 x1＝0， x2＝4（不合题意，舍去）. ∴ E （0，0）；………… ②当 BE 为斜边时，则（ x －4）2＝ x2＋16＋32. 解得 x ＝－4. ∴ E （－4，0）；………… ③当 CE 为斜边时，则 x2＋16＝32＋（ x －4）2. 解得 x ＝4（不合题意，舍去）. 综上所述，点 E 的坐标为（0，0）或（－4，0）.………… （3）：如图，过点 P 作 PH ∥ y 轴交 BC 于点 H ，连接 PB ， PC . 设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx ＋ d . 将点 B （4，0）， C （0，－4）代入 y ＝ kx ＋ d ， 得解得 ∴直线 BC 的解析式为 y ＝ x －4.………… 设点 P （ x ， x2－3 x －4），则点 H （ x ， x －4）. ∴ PH ＝ x －4－（ x2－3 x －4）＝－ x2＋4 x .………… ∴ S△ PBC ＝ S△ PHB ＋ S△ PHC ＝ PH · OB ＝ （－ x2＋4 x ）×4 ＝－2（ x －2）2＋8.………… ∵－2＜0，∴当 x ＝2时， S△ PBC 取得最大值为8. ∵对于 y ＝ x2－3 x －4，当 x ＝2时， y ＝－6， ∴ P （2，－6）. ………… 学科网（北京）股份有限公司 $$