精品解析：福建省福州第四中学2025届高三上学期第一学段考试数学试题

2024-2025年福州四中第一学期第一学段试卷 高三数学 一．单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义即可求解 【详解】因为为其终边上的一点，且， 所以，解得， 因为是第二象限角，所以， 故选：C 2. 已知直线与直线互相平行，则实数a的值（ ） A. B. 或1 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件可得结果. 【详解】直线斜率必存在，由两直线平行则， 解得或， 当时，两直线都为，两直线重合，舍去； 当时，两直线分别为与直线，两直线平行，满足要求； 故选：A. 3. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数，对数函数的单调性分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 由可得，即，所以， 但无法保证，故不一定成立，充分性不满足； 由可得，所以一定成立，故必要性满足； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的性质结合对数运算即可得答案. 【详解】由的单调性可知，即 ． 故最大的是． 故选:C. 5. 将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是 A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为，因为它的图象经过点，所以，即，又因为，所以的最小值是，故选D. 考点：1.图象平移变换；2.正弦函数的图象与性质. 6. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可. 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积. 故选：B. 7. 已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由已知可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知，，则，设，则， 所以，故的离心率为. 故选：C. 8. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称， 又为偶函数，所以关于直线对称， 所以为周期函数且周期， ∴，∵，∴，∴. 故选:C． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误. 【详解】对于A，函数所以在上单调递减，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C错误； 对于D，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故D正确. 故选：AD. 10. 已知圆及点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 若点在圆上，则直线的斜率为 C. 点在圆外 D. 若是圆上任一点，则的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项； 【详解】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 为奇函数 C. 是的极小值点 D. 在上有极值 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对称中心的定义代入验证可得满足，即可知A正确；利用奇函数定义化简可得B正确，对函数求导并判断出函数在上的单调性，即可判断C正确，利用辅助角公式化简并根据正弦函数图象性质可判断D错误. 【详解】对于A，由易知 , 即满足，所以的图象关于点对称，可得A正确； 对于B，易知 ， 满足奇函数定义，即可得为奇函数，即B正确； 对于C，求导可得， 不妨只研究当时的单调性， 当时，，当时，， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得极小值，所以是的极小值点，即C正确. 对于D，由可知，当时，， 此时函数在上是单调递减的，因此在上没有极值，即D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用中心对称函数性质验证选项中的对称中心是否满足中心对称表达式，并充分利用三角函数性质解决极值点问题. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知命题“，”是假命题，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先写出命题“，”的否定，由题可知其为真命题，然后利用的范围求得的范围即可. 【详解】由题意得“，”是真命题，故， 因为，所以m的取值范围是． 故答案为： 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据分段函数求出，然后根据 的值求出的值即可． 【详解】由题意，可得， 又， 故， 故答案为：． 14. 与圆柱底面成45度角的平面截圆柱得到如图几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该圆柱的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过补形法将该几何体补成一个完整的圆柱，再根据已知条件求出圆柱的相关参数，进而求出几何体的体积. 【详解】由题意可知，将该几何体补成一个完整的圆柱后，圆柱的高为. 因为平面与圆柱底面成45度角，截面上的点到圆柱底面距离的最大值与最小值的差为， 又因为平面与底面成45度角，所以圆柱的底面直径为2，则底面半径为1. 所以圆柱的体积为，由于该几何体的体积是该圆柱体积的一半， 所以该几何体的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为数列的前项和，若. （1）求证：数列为等比数列； （2）令，若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1） 证明：由可得， 当时，，解得， 当时，，即， 则 ，即， 即，即， 又， 所以数列是首项为6，公比为2的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式可得，即，即可得证. （2）由（1）可得，则，设，根据等比数列的前项和公式可得，令，结合，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则， 设， 则 令，得， 即，即， 又，，， 所以满足条件的最大整数为为5. 16. 已知直线，，，记，，． （1）当时，求原点关于直线的对称点坐标； （2）求证：不论m为何值，总有一个顶点为定点； （3）求面积的取值范围可直接利用对勾函数的单调性 【答案】（1）； （2）直线， 即恒过点， ， 即恒过点， 故， 故总有一个顶点为定点； （3） 【解析】 【分析】当时，直线的方程为：，设原点关于直线的对称点为，利用 斜率与中点坐标公式列方程求解即可； 由题意可知，恒过点，即可证明． 由题可得与垂直，得到角C为直角，故，然后利用点到直线的距离公式得到，，再结合对勾函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，直线 的方程为：，且斜率， 设原点关于直线 的对称点为 ， 则由 斜率与中点坐标公式列方程得：， 解得：， 故所求点的坐标为； 略 由条件可得与垂直， 故角C为直角， ， 等于点B到的距离， 由的方程联立可得， ， 等于点到直线距离， ， 三角形面积， 当时，有  有最大值； 当时，有最小值， 时，S取最大值，时S取最小值， 故面积的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：； （2）若点为棱上不与端点重合的动点，且与平面所成角正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） ∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面且平面，故， （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直证得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值确定点位置，再利用点到平面的距离公式求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵中，∴， ∵平面平面，平面平面， ∴平面,平面，∴. 以为原点如图所示建立空间直角坐标系, ，，，，，， 设，其中，则， 取平面法向量，， 设与平面所成角为， ，解得（舍）或， 则，，，， 设平面的法向量为. ，，解得， 故. 18. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式展开化简可得； （2）利用面积公式和余弦定理列方程组求解出，可知为等腰三角形，然后结合已知即可得解. 【小问1详解】 ，， ， ， ，，， 又，. 【小问2详解】 因为BD为的平分线，，所以， 又，， 所以， 即，① 由余弦定理，得，即，② 由①②可得（舍去负值），， 所以a，c是关于的方程的两个实根，解得. 又因为BD为的平分线，所以， 又，， 所以，， 所以的周长为. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以 ， 即. （3） 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年福州四中第一学期第一学段试卷 高三数学 一．单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线互相平行，则实数a的值（ ） A. B. 或1 C. 2 D. 1 3. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是 A. B. 1 C. D. 2 6. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆及点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 若点在圆上，则直线的斜率为 C. 点在圆外 D. 若是圆上任一点，则的取值范围为． 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 为奇函数 C. 是的极小值点 D. 在上有极值 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知命题“，”是假命题，则的取值范围是________． 13. 已知，则__________． 14. 与圆柱底面成45度角的平面截圆柱得到如图几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该圆柱的体积为________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为数列的前项和，若. （1）求证：数列为等比数列； （2）令，若，求满足条件的最大整数. 16. 已知直线，，，记，，． （1）当时，求原点关于直线的对称点坐标； （2）求证：不论m为何值，总有一个顶点为定点； （3）求面积的取值范围可直接利用对勾函数的单调性 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：； （2）若点为棱上不与端点重合的动点，且与平面所成角正弦值为，求点到平面的距离. 18. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $