第八章第六节　双曲线强化训练——2025届高三数学一轮复习

第8章　 平面解析几何 第6节　 双曲线 1．“k<9”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．双曲线＝λ(λ>0)的离心率为(　　) A． B． C．或 D． 3．已知双曲线C：的一条渐近线方程为4x+3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且＝7，则|PF2|＝(　　) A．1 B．13 C．17 D．1或13 4．(2024·朝阳模拟)过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若∠AFO＝2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D．或2 5．(多选题)(2024·聊城模拟)已知双曲线C：＝1(0<k<1)，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的焦点在x轴上 B．双曲线C的焦距等于4 C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于 D．双曲线C的离心率的取值范围为 6．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________. 7．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，则C的离心率为 ________. 8．已知双曲线C：x2－＝1(b>0)． (1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程； (2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值． 高考模拟 9．已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　) A． B． C．(1，2) D．(2，＋∞) 10．(多选题)(新背景)2022年卡塔尔世界杯的会徽(如图)正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线C.已知P(x0，y0)是双纽线C上的一点，下列说法正确的是(　　) A．双纽线C关于原点O成中心对称 B．－ C．双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个 D．a 11．(2024·内江模拟)已知双曲线x2－＝1，若过点(2，2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e的取值范围为(　　) A． B． C． D．以上选项均不正确 12．已知焦点在x轴上的双曲线＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________. 13．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且过点. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值． 14．如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，双曲线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积． 答案解析 1、A　解析：若方程＝1表示双曲线，则(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25， 所以“k<9”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件． 2、B　解析：因为λ>0，所以＝1，所以双曲线的焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以离心率为e＝. 3、B　解析：由题意知双曲线＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得，解得a＝3，所以c＝又F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝6. 又|PF1|＝7，解得|PF2|＝13或1.当|PF2|＝1时，|PF2|＜c－a＝2不满足要求，舍去，所以|PF2|＝13. 4、B　解析：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF， 所以∠AOF＝30˚，则tan 30˚＝，所以e＝. 5、ACD　解析：对于A，因为0<k<1，所以9－k>0，k－1<0， 所以双曲线C：＝1(0<k<1)表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A正确； 对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝，所以双曲线C的焦距等于2c＝2(0<k<1)，故选项B错误； 对于C，设焦点在x轴上的双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，焦点坐标为(±c，0)，则渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝＝b，所以双曲线C：＝1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C正确； 对于D，双曲线C的离心率e＝，因为0<k<1，所以1<2－<，所以e＝∈，故选项D正确． 6、y＝±x　解析：因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2， 所以e＝＝2，所以＝3， 所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 7、　解析：(方法一)如图，设F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，A(x，y)，则＝(x－c，y)，＝(－c，n)． 又，则可得A. 又⊥，且＝(c，n)， 则n2＝0，化简得n2＝4c2. 又点A在C上，则＝1，整理可得＝1， 将n2＝4c2代入，可得＝9，即25e2－＝9， 解得e2＝或e2＝(舍去)，故e＝. (方法二)由，得. 设＝2t，＝3t，由对称性可得＝3t，则＝2t＋2a，＝5t. 设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝，所以cos θ＝，解得t＝a， 所以＝2t＋2a＝4a，＝2a. 在△AF1F2 中，由余弦定理可得cos θ＝，即5c2＝9a2，则e＝. 8、解：(1)因为双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx， 而它的一条渐近线方程为y＝2x， 所以b＝2， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)因为PF1⊥PF2，所以＝|PF1|•|PF2|. 因为△PF1F2的面积为9，所以|PF1|·|PF2|＝18. 又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2， 所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝40. 又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10. 由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3. 9、A　解析：由双曲线C1的方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0. 圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2， 故圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a. 由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得<a，即c>2b，即c2>4b2. 又b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<a2，所以e＝<. 又e>1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为. 10、ABD　解析：对于A，因为定义：在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线C， 设M(x，y)是双纽线C上任意一点，所以＝a2， 用M′(－x，－y)替换方程中的M(x，y)，原方程不变，所以双纽线C关于原点O成中心对称，所以A正确； 对于B，根据三角形的等面积法可知"sin ∠F1PF2＝， 即|y0|＝sin ∠F1PF2≤，所以－，所以B正确； 对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x0＝0， 所以＝a2，得y0＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误； 对于D，因为， 所以2＝(＋2). 由余弦定理得4a2＝＋2， 所以2＝a2＋cos ∠F1PF2＝a2＋a2cos ∠F1PF2≤2a2， 所以a，所以D正确． 11、D　解析：设切线方程为y－2＝k(x－2)， 由 得(a2－k2)x2＋4k(k－1)x－4(k－1)2－a2＝0，显然当a2－k2＝0时，所得直线不是双曲线的切线，所以k≠±a. 由Δ＝0，得16k2(k－1)2＋4(a2－k2)[4(k－1)2＋a2]＝0，整理得3k2－8k＋4＋a2＝0. 由题意可知此方程有两个不等实根，所以Δ1＝64－12(4＋a2)>0，a2 ＜， 则c2＝1＋a2<(c为双曲线的半焦距)，e＝＝c＜，即1<e<. 将k＝±a代入方程3k2－8k＋4＋a2＝0，得a＝±1，此时e＝. 综上，e的取值范围是.故选D． 12、(0，2)　解析：对于焦点在x轴上的双曲线＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＝1，即＝1，其焦点在x轴上，则解得4<m<8，则其焦点到渐近线的距离d＝∈(0，2)． 13、解：(1)由题意可知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)， 根据定义有2a＝＝2， 解得a＝1.又c2＝a2＋b2， 所以b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故所求双曲线C的方程为x2－＝1. (2)因为双曲线C的方程为x2－＝1， 所以渐近线方程为y＝±x. 由 消去y，整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0. ①当3－k2＝0即k＝±时，此时直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C相交于一点，符合题意； ②当3－k2≠0即k≠±时，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±， 此时直线l与双曲线C相切于一个公共点，符合题意． 综上所述，符合题意的k的所有取值为±，±. 14、(1)解：设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 双曲线的焦距为2c，实轴长为2a， 则2c＝2a，即c＝a， 所以b2＝c2－a2＝a2，所以双曲线的方程为x2－y2＝a2， 将代入，得a2＝16－10＝6， 所以双曲线的标准方程为＝1. (2)证明：由(1)知，F1，F2， 因为点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3. 又以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12， 将M(3，m)代入得9＋3＝12， 所以点M在以F1F2为直径的圆上． (3)解：由(2)知，点M的坐标为或， 因为点M在第一象限，所以点M的坐标为，直线MF2的方程为 y－(x－3)＝－(x－3)， 即y＝x＋， 代入双曲线方程整理可得y2－4y＋6＝0. 因为点M的纵坐标为， 所以点N的纵坐标为＝－， 所以△F1MN的面积为S＝＝2＝12＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $$