2024-2025学年课时评价作业（十三）2.2基本不等式（第2课时）（人教A版2019必修第一册）（新高考地区通用）

课时评价作业（十三）2.2 基本不等式（第2课时） 基础达标练 题型一 利用基本不等式证明不等式 1．已知，求证： (1)；(2)． 2．（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 3．已知，，，求证：. 题型二 基本不等式的应用 4．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．一批货物随17列货车从A市以千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要 小时. 6．如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 7．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为7500，深为3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元． (1)若底部长为xm，总造价为y元，写出总造价y与x的关系式． (2)当底部长为x为多少m时，总造价最低？最低总造价是多少？ 素养提升练 8．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 9．道路通行能力表示道路的容量，指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定．某条道路一小时的通行能力满足，其中为安全距离，为车速（m/s）．若安全距离取40m，则该道路一小时通行能力的最大值约为（    ） A．98 B．111 C．145 D．185 10．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 11．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即，其中是距离（单位），是质量（单位），是弹簧系数（单位）．弹簧系数分别为，的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数满足，并联时得到的弹簧系数满足．已知物体质量为，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（    ） A． B． C． D． 12．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 13．设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 14．已知a，b，c均为正实数，求证： (1)； (2)． 15．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm． (1)若，求x的取值范围； (2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时评价作业（十三）2.2 基本不等式（第2课时） 基础达标练 题型一 利用基本不等式证明不等式 1．已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再由基本不等式证明即可； （2）利用代入得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立． （2）， ， 当且仅当时，即时等号成立． 2．（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 3．已知，，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】三次利用基本不等式即可得证. 【详解】∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 同理：，， 当且仅当，时，等号成立， 以上三式相加得：， 当且当且仅当时，等号成立， 所以. 题型二 基本不等式的应用 4．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意可得该设备年平均费用，结合基本不等式分析运算. 【详解】由题意可得：该设备年平均费用， ∵，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该设备年平均费用最少时的年限为9. 故选：C. 5．一批货物随17列货车从A市以千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要 小时. 【答案】8 【分析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，可得，再由基本不等式即可求出答案. 【详解】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则 ＝＋(小时)， 当且仅当＝，即v＝100时，等号成立， 此时小时. 故答案为：8. 6．如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 【答案】4 【分析】设，由∥，列比例式可求得，从而可表示出的面积，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可求得答案. 【详解】设，因为∥， 所以，所以，解得, 所以矩形的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，矩形花坛的面积最小． 故答案为：4 7．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为7500，深为3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元． (1)若底部长为xm，总造价为y元，写出总造价y与x的关系式． (2)当底部长为x为多少m时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1) (2)当时，总造价最低，为万元. 【分析】（1）分别求出贮水池的底面积和侧面积，得到底面造价和侧面造价，即可得所求函数关系. （2）根据基本不等式，求函数的最小值及对应的值. 【详解】（1）因为贮水池的体积为，深为3，所以贮水池的底面积为. 则底面造价为：元. 设底部长为，则宽为，贮水池侧面积为：，侧面造价为：. 所以：总造价为：. （2）因为（当且仅当即时取“”）， 此时有最小值，为元. 所以，当时，总造价最低，为万元. 素养提升练 8．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 【答案】A 【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 9．道路通行能力表示道路的容量，指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定．某条道路一小时的通行能力满足，其中为安全距离，为车速（m/s）．若安全距离取40m，则该道路一小时通行能力的最大值约为（    ） A．98 B．111 C．145 D．185 【答案】B 【分析】结合均值不等式即可求出的最值. 【详解】由题意得， 由于，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故选：B 10．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】，．可得．代入，利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】，．． ， 当且仅当时取等号． ，即三角形面积的最大值为． 故选：A． 11．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即，其中是距离（单位），是质量（单位），是弹簧系数（单位）．弹簧系数分别为，的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数满足，并联时得到的弹簧系数满足．已知物体质量为，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先利用串联列关系，结合基本不等式求得最小值，再利用并联关系得到最小时求得弹簧拉伸的最大距离即可. 【详解】依题意设两个弹簧的弹簧系数分别为，，串联时弹簧系数为，并联时弹簧系数为. 两个弹簧串联时，由知，，则即， 即，故，当且仅当时等号成立， 两个弹簧并联时，，拉伸距离，要是最大，则需最小，而时，故此时最大，为cm. 故选：A. 【点睛】思路点睛： 利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用，求和的最小值； （2）和定，利用，求积的最大值； （3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值. 12．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 【答案】50 【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为， ∴当且仅当，即时，运输成本最小． 故答案为：50 13．设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证； （2）根据，，，即可得证. 【详解】（1）由，得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立， 所以， 即， 所以，当且仅当时等号成立； （2）因为，，均为正数， 则，，，当且仅当时，不等式等号均成立， 则， 即，当且仅当时等号成立. 所以. 14．已知a，b，c均为正实数，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论， （2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论. 【详解】（1）证明：左边， 当且仅当时取“＝”． 故． （2）证明：因为，当且仅当时取“＝”， 所以， 所以，所以，① 同理，当且仅当时取取“＝”，② ，当且仅当时取“＝”．③ ①+②+③，得， 当且仅当时等号成立． 15．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm． (1)若，求x的取值范围； (2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由折叠性质可知，进而可得，再利用勾股定理得到，化简整理求出a，根据，求出x的范围即可； （2）根据题意可得，，利用基本不等式即可求出S的最大值以及相应的x的值． 【详解】（1）由矩形周长为，可知，设，则∵，∴． 在中，，即， 得， 由题意，，即， 解得， 由得，，∴， 即x的取值范围是． （2）因为，． 化简得． ∵，∴， 当且仅当，即时，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$