2024-2025学年课时评价作业（十二）2.2基本不等式（第1课时）（人教A版2019必修第一册）（新高考地区通用）

课时评价作业（十二） 2.2基本不等式 基础达标练 题型一 对基本不等式的理解 1．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是（    ） A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≥ 2．已知，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 题型二 利用基本不等式求最值 4．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 6．设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 9．已知，，且，则的最小值为 . 10．可利用基本不等式解决下列问题： (1)已知，求函数的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)已知正数a，b满足，求的最小值. 素养提升练 11．已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．11 B．13 C．10 D．12 12．设正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 13．已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 14．设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 15．已知，. (1)求的最小值; (2)求的最小值; (3)求的最小值. 16．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 17．已知正数a、b满足a＋b－ab＝0． (1)求4a＋b的最小值； (2)求的最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时评价作业（十二） 2.1基本不等式 基础达标练 题型一 对基本不等式的理解 1．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是（    ） A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≥ 【答案】D 【解析】A. 根据基本不等式≥判断.B.利用基本不等式≥的正用判断.C. 利用重要不等式≥判断.D. 利用基本不等式≥的正用判断. 【详解】由≥得a＋b＝2，∴A成立； ∵＋≥2＝2，当且仅当时，等号成立，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式及其变形的理解，属于基础题. 2．已知，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式的性质,逐一判断,即可求得答案. 【详解】对于A,没有给出,因此不一定成立,故A错误; 对于B,没有给出,因此不一定成立,故B错误; 对于C,若,则． ,当且仅当时取等号; 同理时也成立,故C正确; 对于D,因为,则不一定成立,故D错误. 综上可知:只有C正确． 故选: C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质,掌握基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 3．下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 【答案】② 【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断即可. 【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当，即时，等号成立， 因为，所以，故①错误； ②因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故②正确； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件， 当时，，故③错误． 故答案为： ②. 题型二 利用基本不等式求最值 4．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求函数最小值，注意取值条件. 【详解】由，则，仅当时等号成立， 所以函数最小值为4. 故选：B 5．若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 故有最大值，故C正确，BD错误； 令，解得或， 又，所以取不到函数值0，故A错误. 故选：C. 6．设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】， 等号成立当且仅当， 所以的最小值为4. 故选：B. 7．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】方法一  由，从而，利用基本不等式求解；方法二  对原条件式转化得，得到 ，利用基本不等式求解； 【详解】解：方法一  由条件得， 由，知， 从而， 当且仅当，即，时取等号． 故的最小值为5． 方法二  对原条件式转化得， 则 ， 当且仅当，，即，时取等号． 故的最小值为5． 故选：D 8．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 9．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故答案为： 10．可利用基本不等式解决下列问题： (1)已知，求函数的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)已知正数a，b满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式求函数最小值； （2）（3）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】（1）由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号； 所以函数的最大值为. （2）根据题意，且， 则 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. （3）因为，，，所以， 则， 又， 当且仅当且，即，时取等号， 则， 所以当，时，的最小值是. 素养提升练 11．已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．11 B．13 C．10 D．12 【答案】A 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】，当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 12．设正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】A选项，由为正实数，列不等式求的范围；B选项，直接利用基本不等式求积的最大值；C选项，消元后利用二次函数的性质求最小值；D选项，利用1的代换结合基本不等式求最小值. 【详解】对于A，正实数，满足， 则有，解得，即，A选项正确； 对于B，，有，当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，B选项错误； 对于C，， 由，则时，的最小值为，C选项正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，D选项错误. 故选：AC 13．已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】由题意利用“1”的妙用，可先求出的最小值，再由求出答案. 【详解】由 （当且仅当时取等号）， 又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有， 可得的最小值为32． 故选：D． 14．设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值. 【详解】由题意，所以， 得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为． 故选：A. 15．已知，. (1)求的最小值; (2)求的最小值; (3)求的最小值. 【答案】(1)64 (2)18 (3)1 【分析】（1）利用乘“1”法以及基本不等式结合已知条件，并解不等式即可求解. （2）利用乘“1”法以及基本不等式结合已知条件即可求解. （3）将条件等式先变形，然后代入所求式子中，再由基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以由基本不等式有， 当且仅当，即当时，等号成立， 解不等式得， 所以当且仅当时，有最小值64. （2）因为，所以， 又，所以由基本不等式有， 当且仅当即当时，等号成立， 所以当且仅当时，有最小值18. （3）因为，， 所以有，且， 所以有， 由基本不等式得， 当且仅当即时，等号成立， 所以当且仅当时，有最小值1. 16．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【分析】（1）由题意得（），再利用基本不等式可求得其最小值； （2）由题意得，则，再利用基本不等式可求得其最大值； （3）由题意得，则原式化为，再利用基本不等式可求得其最大值. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最小值6． （2）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最大值． （3）解  ∵，∴，∴， ∴ ， ∵， 当且仅当，即时等号成立． ∴， ∴当时，取得最大值． 17．已知正数a、b满足a＋b－ab＝0． (1)求4a＋b的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)9 (2)16 【分析】（1）基本不等式“1”的妙用求最值； （2）利用，结合基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，所以， 又因为、是正数， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为； （2）因为且、为正数， 所以，，所以，， 则， 当且仅当、时等号成立， 故的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$