期末动点问题专题训练--2024-2025学年湘教版七年级上册数学期末提升专题训练

期末动点问题专题训练--2024-2025学年湘教版七年级上册数学期末提升专题训练 1．如图，数轴上三点A，B，C对应的数分别为，0，2，点D 为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)A，B两点之间的距离为 ，A，C两点之间的距离为 ； (2)若A，D两点之间的距离为6，求x的值． (3)若在该数轴上，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动；同时动点Q从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度也沿数轴正方向运动.多少秒后P，Q两点之间的距离为1? 2．如图．在一条不完整的数轴上，一动点向左移动4个单位长度到达点，再向右移动7个单位长度到达点． (1)若点表示的数为0，则点表示的数是________、点表示的数是________； (2)如果点、表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)在（1）的条件之下，若小虫从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一只小虫恰好从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为，当为何值时两只小虫、和原点的距离相等？（直接写出值） 3．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，． (1)点A对应的数是 ，  点B对应的数是 ． (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数是什么？ (3)动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值． 4．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． （1）数轴上点B表示的数是 ； （2）运动1秒时，点P表示的数是 ； （3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当点P运动 秒时，点P与点Q相遇． 5．如图，点A在数轴上表示的数为10，将点A沿数轴向右移动60个单位长度到达点B，已知点B表示的数为b． (1)填空：______； (2)动点M从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，M、N两点相遇； (3)在（2）的条件下，当t为何值时，M、N两点在数轴上相距20个单位长度？ 6．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足； (1)点A表示的数为__________；点B表示的数为__________； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数__________； (3)动点P，Q分别从B，A两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4． 7．如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、10，且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1) ， ； (2)若点M从C点出发，以每秒4个单位的速度与点P同时相向而行，当 s时，点P与点M相遇； (3)若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； (4)当点P运动到B点时，点N从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，N点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点N开始运动后第几秒时，P、N两点之间的距离为4？请说明理由． 8．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数． (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 9．如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足 (1)求点与点在数轴上对应的数和； (2)现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒． ①若点和点相遇于点，求点在数轴上表示的数； ②当点和点相距个单位长度时，直接写出的值． 10．如图所示，数轴上点A，B表示的数分别为2，． (1)A，B两点之间的距离是 ；A，B两点的中点所表示的数是 ； (2)有一动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点M为中点，设点P运动的时间为t，则点P表示的数为 ；点M表示的数为 ． ①当t为何值的时候，满足？ ②若点N是的中点，在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出具体的数值；若变化，请说明理由． 11．如图，数轴上、两点对应的数分别为． (1)点是数轴上任意一点，且，则点对应的数是__________； (2)点、分别是数轴上的两个动点，点从点出发以每秒3个单位长度的速度运动，同时，点从原点出发以每秒2个单位长度的速度运动． ①若、两点都向数轴正方向运动，经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？ ②当、两点运动到时，请直接写出点M在数轴上所有可能对应的数． 12．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足，点O为原点．    (1)请直接写出______，______； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①运动过程中，t为何值时，动点P、Q与原点的距离相等，求出此时t的值； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，请求出的值． 13．阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 14．如图，已知数轴上有A，B，C三点，B，C两点在数轴上表示的数分别为4和6，点A在数轴上表示的数为a，且原点O为线段的中点． (1)求a的值． (2)若点P从原点O出发，匀速向左运动，若，求出此时点P在数轴上对应的数． (3)若动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动，设点M在数轴上表示的数为m，点N在数轴上表示的数为n，运动的时间为t秒，若，求t和m，n的值． 15．如图所示，在数轴上点表示的数是4，点位于点的左侧，若是最大负整数，点与点的距离是个单位长度． (1)点表示的数是______； (2)动点从点出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点与点的距离是2个单位长度？ (3)在（2）的条件下，点出发的同时，点也从点出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动，经过多少秒，点到点的距离等于到点的距离的一半？ 16．如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点，的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点，出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度，若点先出发秒后点出发，当、两点相距个单位长度时，求此时点、分别对应的数； (4)若点、分别同时从点，出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，并且当点或点其中一个点回到起点时停止运动，直接写出、距离为时的值． 17．如图，已知数轴上有三点A、B、C，若用表示A、B两点的距离，表示、两点的距离，且，点A、点对应的数是分别是a、c，且． (1)______，______，B、C两点间距离______． (2)若点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了______秒时，到的距离与到的距离相等? (3)若点P、Q仍然以（2）中的速度分别从A、C两点同时出发向左运动，2秒后，动点从点出发向右运动，点的速度为1个单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，点运动了______秒时恰好满足，并求出此时点所对应的数______． 18．阅读理解，完成下列各题． 定义：已知点A，B，C为数轴上任意三点，若点C到点B的距离是它到点A的距离的2倍，则称点是的2倍点，如图1，点是的2倍点，点D不是的2倍点，但点D是的2倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点A是 的2倍点，点B是 的2倍点；（选用A，B，C，D表示，不能添加其他字母） (2)如图2，点M，N为数轴上两点，点表示的数是，点N表示的数是0，若点E在M，N之间且点是的2倍点，则点E表示的数是多少？ (3)若P，Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且，一动点H从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点H恰好是P和Q两点的2倍点？ 19．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； 20．如图，已知点B在数轴上表示的数为12，点O是原点．点A在数轴上原点的左侧，，若动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿的路径，以每秒4个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒 (1)线段的长度为 ； (2)动点P在数轴上对应的数为 ；（用含t的代数式表示） (3)用含t的代数式表示线段的长度； (4)当点P、O、Q中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出t的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)3，5 (2)或3 (3)运动4或秒后P，Q两点之间的距离为1 【分析】考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离． （1）根据两点间的距离公式解答； （2）根据两点间的距离公式列出方程并解答； （3）根据两点间的距离公式列出方程并解答． 【详解】（1）解：A，B两点之间的距离为：， A，C两点之间的距离为：， 故答案为：3，5； （2）解：点D可以在点A的左侧或右侧，所以分两种情况： 当点D在点A的左侧时，则，解得：； 当点D在点A的右侧时，则，解得：； ∴x的值为或3； （3）解：设运动t秒后P，Q两点之间的距离为1，则动点P表示的数为t，动点Q表示的数为， 分两种情况： 当动点P在动点Q的左侧时，， 解得：； 当动点P在动点Q的右侧时，， 解得：； ∴运动4或秒后P，Q两点之间的距离为1． 2．(1)点B表示的数为，点C表示的数为3 (2)点B表示的数为 (3)10或 【分析】考查了数轴，一元一次方程的应用，以及相反数．关键是能根据题意列出算式，是一道比较容易出错的题目． （1）依据点表示的数为0，利用两点间距离公式，可得点、点表示的数； （2）依据点、表示的数互为相反数，利用两点间距离公式，可得点表示的数； （3）设小虫与小虫的运动的时间为，根据两只小虫P、Q和原点的距离相等列出方程并解答． 【详解】（1）解：若点表示的数为0， ， 点表示的数为， ， 点表示的数为3； （2）若点、表示的数互为相反数， ， 点表示的数为， ， 点表示的数为； （3）设小虫与小虫的运动的时间为， 则表示的数为，表示的数为， 依题意得：， 所以或 解得或 综上所述：或时和原点的距离相等． 3．(1)， (2)或 (3)4或或12 【分析】本题考查了数轴以及两点间的距离、一元一次方程的几何应用，解题的关键是找出对应点，熟练应用两点间距离公式； （1）由，的长度结合点C对应的数及点A，B，C的位置关系，可得出点A，B对应的数； （2）根据两点间的距离公式求解； （3）由点P，Q的出发点、运动方向及速度，可得出运动时间为t秒时点P，Q对应的数；结合，可得出关于t的含绝对值符号的方程，解答，再根据当点P到达C点而Q未到达时继续运动时，列式解之即可得出结论． 【详解】（1）解：，点C对应的数是10，点A在点B左侧，点B在点C左侧， ∴点B对应的数为，点A对应的数为， 故答案为：，； （2）点D在数轴上，点B对应的数为，， 点D可以在点B的左侧或右侧， 点D表示的数为或； （3）当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是 ． ， ， 或， 解得或． 当点P到达C点而Q未到达时继续运动时 即 解得：， 综上所述：t的值为4或或12． 4．（1） （2）2 （3）8 【分析】本题考查了数轴的应用和一元一次方程的应用——行程问题， （1）由的长、点A表示的数及点B在点A的左侧，可求出点B表示的数； （2）利用1秒后点P表示的数点A表示的数点P运动的速度运动时间，即可求出结论； （3）设当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，由点P与点Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：点A表示的数为4，点是数轴上在点A左侧的一点，且A、两点间的距离为8， 点B表示的数为， 故答案为：； （2）动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 运动1秒时，点运动了个单位长度， 此时点表示的数为， 故答案为：2 （3）设当运动时间为t秒时，点P与点Q相遇， 此时点P表示的数为，点Q表示的数为， 由题意得， 解得：， 当运动时间为8秒时，点P与点Q相遇， 故答案为：8． 5．(1)70 (2)t的值为 (3)5或10 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程方程的实际应用： （1）根据数轴上的点左移减，右移加，进行计算即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，列出方程进行求解即可； （3）分相遇前和相遇后，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：70； （2）根据题意，得， 所以， 所以当t的值为时，M、N两点相遇； （3）M、N两点相遇前：，所以， M、N两点相遇后：，所以， 所以当t的值为5或10时，M、N两点在数轴上相距20个单位长度． 6．(1)；6 (2)或14 (3)当或时，P，Q之间的距离为4． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，非负数的性质，一元一次方程的应用： （1）根据非负数的性质得到，则，据此求出a、b的值即可得到答案； （2）设点C表示的数为x，则，再由建立方程求解即可； （3）由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P和点Q之间的距离为4，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为6， 故答案为：；6； （2）解：设点C表示的数为x，则， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴点C表示的数为或14， 故答案为：或14； （3）解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P和点Q之间的距离为4， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴当或时，P，Q之间的距离为4． 7．(1)， (2) (3)点对应的数为4或； (4)当点N开始运动后第5秒或9秒或12.5秒或14.5秒时，、N两点之间的距离为4． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）根据非负数的性质解答即可； （2）先由题意得出点表示的数是，点M表示的数是，再列出关于的方程，从而求出的值； （3）先由题意得出点表示的数是，再列出，即可求出的值，从而求出点对应的数； （4）分类讨论：当点在点N的右侧，且点N还没追上点时；当点在点N的左侧，且点N追上点后时；当点N到达点后，且点在点N左侧时；当点N到达点后，且点在点N右侧时；分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：由题意得，点表示的数是，点M表示的数是， 由题意得， 解得， ∴当s时，点P与点M相遇； 故答案为：； （3）解：由题意得，点表示的数是， 点到点的距离是点到点的距离的2倍， ， 即， 解得或， 当时，； 当时，； 点对应的数为4或； （4）解：设在点N开始运动后第秒时，、N两点之间的距离为4， 当点在点N的右侧，且点N还没追上点时，， 解得； 当点在点N的左侧，且点N追上点后时，， 解得； 当点N到达点后，且点在点N左侧时，， 解得； 当点N到达点后，且点在点N右侧时，， 解得； 综上，当点N开始运动后第5秒或9秒或12.5秒或14.5秒时，、N两点之间的距离为4． 8．(1) (2)存在，x的值为2或 (3)24 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解此题的要点在于根据数轴得出点的位置． （1）根据题意可得，利用中点解题； （2）此题分为三种情况，当P在之间时，当点P在B的右边时，当点P在A的左边时，分别列出方程求解即可； （3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：进而求出即可． 【详解】（1）解：∵A、B两点之间的距离为，P到A、B两点的距离相等， ∴， ∴点P对应的数为； （2）解：①当P在之间时，． ②当P在A点左侧时，，解得：； ③当P在B点右侧时，，解得：， 故当点P对应数x的值为2或时，点P到A、B两点距离之和为6； （3）解：设经过x分钟点A与点B重合， ∴，解得， 由题意可得，点P运动的时间即为点A追上点B的时间， ∴， 故当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是24． 9．(1)为，为 (2)①；②秒或秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性， （1）利用绝对值的非负性，即可求出，的值； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为．①由点，相遇，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可得出点在数轴上表示的数； ②由，即可得出关于的一元一次方程，解之可得结论； 解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出，的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴点与点在数轴上对应的数为，为； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， ①依题意得：， 解得：， ∴， ∴点在数轴上表示的数为； ②∵， ∴-或， 解得：或， ∴当点和点相距个单位长度时，的值为秒或秒． 10．(1)10，； (2)，； ①当的值为或10时，； ②不变，线段的长度是5 【分析】此题重点考查数轴，一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键． （1）由，，得，两点之间的距离是10；，两点的中点所表示的数是，于是得到问题的答案； （2）由动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动可知，点表示的数是，中点表示的数是， ①分两种情况，一是点在点左侧，则，二是点在点右侧，则，解方程求出相应的值即可； ②的中点表示的数是，中点表示的数是，则，可见线段的长度不变，等于5． 【详解】（1）解：数轴上点，表示的数分别为2，， ，， ，两点之间的距离是10；，两点的中点所表示的数是， 故答案为：10，． （2）解：动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动， 点表示的数是， 点为中点， ， 点表示的数是， 故答案为：，． ①当点在点左侧时，由，得， 解得； 当点在点右侧时，由，得， 解得， 当的值为或10时，． ②不变， 点是的中点， 点表示的数是：， ， ， 线段的长度是5． 11．(1) (2)①或；②或或或 【分析】本题主要考查了数轴以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程求解． （1）利用两点间的距离公式，依据列方程求解可得结果； （2）①由数轴知，当，重合时，，可得；当，在点异侧时，，解得；②分三种情况讨论，由列方程求得的值，进而得到点在数轴上对应的数． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 由题意得， 解得， 故答案为：3； （2）解：①由数轴知，当，重合时，， 解得（秒； 当，在点异侧时，， 解得（秒； 综上所述，经过1.2或6秒，点、点分别到原点的距离相等； ②由题可得，，， 当点在线段上时，， 由，可得，解得， 若点向右移动，则点表示的数为， 若点向左移动，则点表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 由，可得，解得（负值，舍去）； 当点在线段的延长线上时，， 由，可得，解得， 若点向右移动，则点表示的数为， 若点向左移动，则点表示的数为； 综上所述，在数轴上对应的数为，，，． 12．(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴上两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可． 【详解】（1）解：解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， ∴当时，， ∴或 解得或； ② 当点Q在线段上运动时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，点Q表示的数为 ∴中点F表示的数是， ∴， ∴； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， ∴中点F表示的数是， ∴， ∴； 综上所述，． 13．(1)，； (2)或或． 【分析】（）根据题意求得与的关系，然后逐一判断即可； （）设表示的数为，则由题意得，则，，然后分当时，即，当时，即，解出方程即可； 本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程． 【详解】（1）解：∵，， ∴不是点，的“关联点”， ∵，， ∴， ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴ ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴不是点，的“关联点”， 综上可知：，是点，的“关联点”； （2）设表示的数为，则由题意得， ∴，， ∵点是点，的“关联点”， ∴当时，即， 则或， 解得：或； 当时，即， 则或， 解得：或（不合题意，舍去）； 综上可知：点表示的数是或或， 故答案为：或或． 14．(1) (2)或 (3)，，或，， 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，线段中点问题，一元一次方程的应用，熟练的利用方程解题是关键． （1）由题意可知，即可求解； （2）设点表示的数为，得，，根据，得，求解即可得答案； （3）由题意可知，，点在数轴上表示的数，点在数轴上表示的数，得，根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在数轴上表示的数为6， ∴， 又∵原点O为线段的中点， ∴， ∴点在数轴上表示的数为，即：； （2）∵点在数轴上表示的数为4， 设点表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 即：或 解得：或， 即：此时点在数轴上对应的数为或； （3）由题意可知，， 点在数轴上表示的数，点在数轴上表示的数， ∴， ∵， ∴，即：或， 解得：或， 当时，，； 当时，，； 综上，，，或，，． 15．(1)； (2)4秒或6秒； (3)秒或6秒． 【分析】本题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴以及两点距离求解即可； （2）根据题意，设运动的时间是秒，分情况讨论列出一元一次方程，解方程求解即可； （3）设运动时间为秒，点到点的距离等于到点的距离的一半，分情况讨论列出一元一次方程，解方程求解即可． 【详解】（1）∵是最大负整数， ∴ ∴ ∵点位于点的左侧，点与点的距离是个单位长度 ∴点表示的数为； （2）设运动的时间是秒，则点表示的数是． 根据题意， 当点在点的左侧时， 解得． 当点在点的右侧时． 解得． 答：经过4秒或6秒，点，之间的距离是2个单位长度． （3）设运动时间为秒，由题意得， 当点在点左侧时， 解得 当点在点右侧时， 解得 经过秒或6秒，点到点的距离等于到点的距离的一半． 16．(1) (2)或 (3)点，对应的数分别为，或， (4)秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，两点间的距离和数轴， （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）因为，因此点不可能在点、之间，所以分两种情况进行解答，即点在点的左侧，在点的右侧，设未知数，利用数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可； （3）设移动的时间为，用含有的代数式表示移动后点、所表示的数，再根据两点距离计算方法列方程求出时间t，最后再计算所表示的数； （4）分，，，，五种情况进行讨论求解即可； 解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1）解：∵点所对应的数是，点在点的右边， ∴， ∴点所对应的数是； （2）∵， ∴点不可能在点、之间， 当点在点的左侧时，设点所表示的数为， 则，， 由得：， 解得：； 当点在点的右侧时，设点所表示的数为， 则，， 由得：， 解得：， ∴当点到点，的距离之和是个单位时，点所对应的数是或； （3）点从点向左移动后所对应的数为：， 设点移动的时间为，则点所对应的数为，点所对应的数为， ①当点在点的右侧时， 得：， 解得：， 此时点所表示的数为：，点所表示的数为：； ②当点在点的左侧时， 得：， 解得：， 此时点所表示的数为：，点所表示的数为：； 答：当，两点相距个单位长度时，点，对应的数分别为，或，； （4）∵点到达点所需时间为：， ∴点到立即折返至起点的时间为； ∵点到达点所需时间为：， ∴点到立即折返至起点的时间为， 又∵，两点第一次相遇所需时间为：， 当点到达点时，点表示的数为：，点P和点Q第二次相遇所需时间为：， ①，两点第一次相遇前，相距个单位长度，即当时： 得：， 解得：； ②，两点第一次相遇后，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； ③点从点返回，点未到点时，即， ，不符合题意； ④点从点返回，点从点返回，第二次相遇前，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； ⑤，两点第一次相遇后，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； 综上所述，点、距离为时的值为秒或秒或秒或秒． 17．(1)，20，40 (2)或20 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及两点间的距离， （1）由绝对值的非负性可求出，的值，进而可得出线段的长，结合可求出的长，由可求出线段的长； （2）由的长结合点对应的数可求出点对应的数，当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，由到的距离与到的距离相等，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，结合点为线段的中点及点为线段的中点可得出点，对应的数，进而可得出线段的长，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， ． ， ， 故答案为：，20，40 （2）解：，点对应的数为，且点在点的右边， 点对应的数为． 当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为， 到的距离与到的距离相等， ，即或， 解得：或． 答：运动了秒或20秒时，到的距离与到的距离相等． （3）解：当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 点为线段的中点，点为线段的中点， 点对应的数为，点对应的数为， ． ∵， ． 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴点运动了秒时恰好满足，此时点所对应的数， 故答案为：，． 18．(1)， (2)； (3)或或 【分析】此题主要考查了数轴，本题是新定义型，对2倍点的理解和认识，解本题的关键是分清2倍点的两种不同的情况． （1）根据图形可直接解得； （2）利用2倍点的定义列式解答即可； （3）点H恰好是P和Q 两点的2倍点，可分为三种情况而定，解得t有3个值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴点是的2倍点， ∵，，， ∴点B是的2倍点． （2）解：由题意得：， ∵点E在线段上，点E是的2倍点， ∴． ∴点E表示的数是； （3）解：设运动t秒时，点H恰好是P和Q两点的倍点， ∵，， ∴或， 又∵点H恰好是P和Q两点的2倍点， ∴点H是的2倍点或点H是的2倍点， ∴或， 即：或或， 解得或或． 所以，当或或时，点H恰好是P和Q两点的倍点． 19．(1)或20 (2)9 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据点P的位置进行分类讨论并用两点之间的距离公式计算即可． （2）设运动时间为t，表示出M，N两点所对应的数，结合M，N两点间的距离为12个单位长度即可解决问题． 【详解】（1）解：设点P对应的数为x， ∵点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14，， ∴，点D表示的数为， ∴； 当P在A、D两点之间时，，不存在满足条件的P点， 当点P在点A的左侧时，，解得； 当点P在点D的右侧时，，解得． 故答案为：或20． （2）解：设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度， 此时点M所对应的数为：，点N所对应的数为：． 当点M和点N相遇前，二者相距12个单位长度时，， 解得， 又∵点P的速度为3单位长度每秒， ∴点P移动的路程为：个单位长度． 当点M和点N相遇后，二者相距12个单位长度时， ∵点N速度比点P速度快， ∴无法做如此往返运动， ∴此种情况不存在． 故答案为：9． 20．(1)18 (2) (3)当时，；当时，． (4)满足条件的t有或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及的知识点有两点间的距离，中点的定义，以及一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程并准确解方程是解题的关键． （1）根据题意得出，点A表示的数为，再由数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，即可得到答案； （3）先求出Q从B到O需要时间是3秒，分和两种情况表示出即可． （4）分四种情况分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，点B在数轴上表示的数为12， ∴， ∴， ∴点A表示的数为， ∴线段的长度为， 故答案为：18；． （2）∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点B运动， ∴P在数轴上对应的数为， 故答案为：． （3）∵Q从B到O需要时间是：（秒）， ∴当时，， 当时，． （4）①O是的中点时，， 解得，此种情况不符合题意； ②P是的中点，得， 解得，此种情况不符合题意； ③Q是的中点，得， 解得， ④Q从O往B运动时，Q是的中点， 得， 解得， 综上，满足条件的t有或． 学科网（北京）股份有限公司 $$