13圆锥曲线的方程专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习13---圆锥曲线的方程专项训练 一、单选题 1．函数的图象与直线相切，则a等于 A． B． C． D．1 2．抛物线的焦准距是（    ） A． B． C．3 D．6 3．设是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，，，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，若是椭圆上位于第一象限内的点，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，是椭圆的右焦点，且，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 7．已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度大小的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设椭圆的长轴长、焦距分别为，则下列结论中正确的有（    ）    A．飞船向径的取值范围是 B．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．飞船运行速度的大小，在近地点时最大，在远地点时最小 8．已知过点，倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点．过线段AB中的中点P作平行于y轴的直线，分别与抛物线C和其准线相交于点M，N．则下列说法正确的是（    ） A．点M是线段PN的中点 B．直线AN与抛物线C相切 C． D． 三、填空题 9．双曲线的焦距为 ；渐近线方程是 . 10．已知曲线的焦距为8，则 . 11．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线与圆：有公共点，且圆在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为 ． 12．已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C的准线l上的动点，给出以下命题： ①若为正三角形时，则抛物线C方程为； ②若于M，则抛物线在A点处的切线平分； ③若，则抛物线C方程为； 其中所有正确的命题序号是 ． 四、解答题 13．（1）已知椭圆的焦距为，准线方程为，求椭圆的方程； （2）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求双曲线的方程. 14．已知双曲线的左､右焦点分别为，. (1)若点A的坐标是，且的面积为，求双曲线C的渐近线方程； (2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且（O为原点），求双曲线C的离心率. 15．已知椭圆C:的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 16．如图所示，已知点是抛物线上一定点，直线、的斜率互为相反数，且与抛物线另交于两个不同的点. （1）求点到其准线的距离； （2）求证：直线的斜率为定值. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A A A C ABD ABD 1．B 【分析】由题意，，把两个解析式联立得一元二次方程，利用即可求解． 【详解】解：由题意，， 联立，可得， 因为函数的图象与直线相切， 所以，解得 故选：B. 2．A 【分析】根据抛物线标准方程求出即可得解. 【详解】化为标准方程为， 所以，， 即焦点与准线的距离为， 故选：A 3．A 【分析】根据所给几何关系，结合双曲线的渐近线方程，求得关于的齐次式，进行求解即可. 【详解】 如图，分别为双曲线的两条渐近线， 根据题意于， 由的方程为，， 所以， 又，所以， 由，所以， 设交轴于， 由，所以， 所以， 在中，， 所以，所以. 故选：A 4．A 【分析】设出点坐标，求得、所在直线的斜率，由斜率之积是列式整理即可得到点的轨迹方程，设，根据双曲线的定义，从而求出的最小值； 【详解】解：设点坐标为，则直线的斜率； 直线的斜率． 由已知有， 化简得点的轨迹方程为． 又，所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以、为顶点的双曲线的左支（除点），因为，设，由双曲线的定义可知，所以，当且仅当、、三点共线时取得最小值，因为，所以，所以，即的最小值为； 故选：A 5．A 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，由建立等式，可求得椭圆的离心率. 【详解】直线的斜率为，，所以，直线的方程为， 联立，解得或， 由于点在第一象限，则， ，则，， ，，因此，该椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是求出点的坐标，并由此建立有关、、的齐次方程，考查计算能力，属于中等题. 6．C 【分析】根据题意可得曲线M的方程为，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】根据题意，曲线， 则曲线M上的点到点和距离之和为， 根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆， 其中，则，所以曲线M的的方程为， 设点满足且，可得， 圆的圆心为，半径为1， 则， 又函数在单调递减，所以， 所以的最小值是. 故选：C 7．ABD 【分析】根据椭圆的定义可判断选项A；根据面积守恒规律可判断选项B；根据离心率与椭圆的形状关系可判断选项C；根据面积守恒规律可判断选项D. 【详解】根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是，A正确； 当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大， 根据面积守恒规律， 知飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确； ，比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，C错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度的大小最大， 在远地点时向径最大，故速度的大小最小，D正确． 故选：ABD． 8．ABD 【分析】将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而求出点、的坐标，可判断A选项；利用斜率关系判断出，可判断D选项；求出点、的坐标，利用直线上两点距离公式即可得的值，可判断C选项；求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合判别式可判断B选项． 【详解】题意可知，直线的方程为，设点, , ,， 联立，可得， 则，由韦达定理可得， 所以，则． 故点，所以直线的方程为， 由，可得，即点，抛物线的准线方程为， 所以点，易知点为线段的中点，故A正确； 所以，，所以．即，所以，故D正确； 解方程，可得，， 所以，即点． ，即点， 所以，故C错误； 又，所以直线的方程为， 即， 联立直线和抛物线的方程得， 可得，， 所以直线与抛物线相切，故B正确． 故选：ABD． 9． 10 【分析】直接利用方程求得，再求焦距和渐近线方程 【详解】      .         焦距为10 焦点在x轴，所以渐近线方程为 渐近线方程为 【点睛】本题考查了双曲线的基本性质． 10．25或 【分析】由题意知半焦距，再分，讨论求解. 【详解】解：由题意知半焦距， 当时，则曲线C为椭圆，又， 所以； 当时，曲线C为双曲线， 所以， 所以. 故a的值为25或. 故答案为：25或 11． 【分析】对双曲线的焦点位置分两种情况讨论，先求出圆在点的切线为，再根据题得 到关于a,b的方程组，解方程组即得a 和双曲线实轴的长. 【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，设为， 圆有公共点，，圆在点的切线方程的斜率为：， 圆在点的切线为：，即， 圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，并且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线， 可得，所以a=2b, (1) 因为, (2) 解方程（1）(2)得无解. 当双曲线的焦点在y轴上时，设为， 圆有公共点，，圆在点的切线方程的斜率为：， 圆在点的切线为：，即， 圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，并且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线， 可得，所以b=2a, (3) 因为, (4) 解方程（3）(4)得,所以该双曲线的实轴长为. 故答案为 【点睛】本题主要考查圆的方程，考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 12．①②③ 【分析】根据等边三角形的性质可得出，从而可求出，然后即可判断①；根据导数的几何意义可求出抛物线在点处的切线方程，从而可判断出切线平分；根据可得出三点共线，且，然后根据相似三角形可判断③. 【详解】对于①：设准线与的交点为，若为正三角形时，则， 由抛物线的定义，知，则与准线垂直， 所以，所以在，，即， 所以抛物线C的方程为，故①正确； 对于②：设，不妨设点在第一象限，则， 由，得，所以抛物线在A点处切线的斜率为， 所以抛物线在A点处切线方程为， 因为，，所以线段的中点为， 显然点在直线上，即为的一条中线， 又由抛物线的定义，知，所以为等腰三角形， 所以平分，故②正确； 对于③：若，则三点共线，且，过点作于点，准线与的交点为， 由抛物线的定义，知，所以，即， 所以抛物线C方程为,故③正确. 故答案为：①②③. 13．（1）；（2） 【解析】（1）由已知可得，，列出方程求解即可得出结果； （2）由已知可得，，计算即可得出结果. 【详解】（1）焦距为，则，准线方程为，则，即， 由，可得：，所以椭圆的方程为； （2）由双曲线的一条渐近线方程为可知，， 且与椭圆有公共焦点，则， 又因为，即，解得：，，， 所以双曲线的方程为. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题. 14．(1) (2)2 【分析】（1）利用已知条件得，结合双曲线中化简整体求出，即可得双曲线C的渐近线方程 （2）根据题意作图，根据图形，利用余弦定理求出，从而得，即渐近线的倾斜角，则可以得出的值，结合得到关于离心率的齐次方程，解出即可 【详解】（1）因为，的面积为， 所以， 即， 所以， 解得或（舍去）， 所以， 所以双曲线C的渐近线方程是. （2）因为以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，如图， ，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以，则， 所以，，， 所以，， 所以双曲线C的离心率为2. 15．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析． 【分析】（I）根据椭圆的离心率和椭圆上的一点，列方程组，求解出点的值，从而求得椭圆方程； （II）分斜率斜率存在和不存在讨论，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用判别式为零求得参数的相互关系，联立直线方程和圆的方程，写出韦达定理，由此计算出的值，即得. 【详解】Ⅰ由已知得：，解得：，，， 所以椭圆C的方程为：； Ⅱ当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为， 易得直线，的斜率之积， 当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 由方程组，得：， 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， 所以，即， 由方程组，得， 设，，则，， 所以 ， 将代入上式，得， 综上，为定值． 16．(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上得，可得准线方程为，由此能求出点到其准线的距离；（2）设直线的方程为，联立，得，由已知条件推导出，根据斜率公式，化简可消去参数，从而证明直线的斜率为定值. 【详解】（1）解：∵是抛物线上一定点 ∴， ∵抛物线的准线方程为 ∴点到其准线的距离为：. （2）证明：由题知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为： 联立 ，∴ ∵直线的斜率互为相反数 ∴直线的方程为：，同理@可得： ∴ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$