第二章函数第四节二次函数与幂函数随堂练习——2025届高三数学一轮复习

第2章　 函数 第四节　二次函数与幂函数 1．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．a 2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则f ＋f (9)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f(0)－f(log25)＝(　　) A． B． C． D． 4．某公司开发的小程序发布经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过500000名至少经过的天数为(参考数据：lg2≈0.301)(　　) A．31 B．32 C．40 D．50 5．已知函数f(x)＝则f (f ())＝________. 6．函数f(x)＝log2x－2log2(x＋1)的值域为________. 7．若函数f(x)＝ln 的图象关于原点对称，则实数m的值为________. 8．(2024·武汉模拟)已知函数f(x)＝lgx＋.若f(a)＝2，则f()＝________. 9．已知函数f(x)＝loga(1－x)，g(x)＝loga(x＋1)，其中a>0且a≠1. (1)求函数f(x)＋g(x)的定义域； (2)若f(x)>g(x)，求x的取值范围． 高考模拟 10．已知一个15位正整数N＝a×1014(1≤a<10)，且仍是一个整数，则的值为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 5≈0.7)(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 11．我国5G技术遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．43% B．33% C．23% D．13% 12．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________.(写出一个即可) 13.(2024·昆明模拟)设函数f(x)＝log22x. (1)解方程f(x)＋6＝0； (2)设不等式2x2＋x≤43x－2的解集为M，求函数f(x)(x∈M)的值域． 14．已知函数f (x)＝loga. (1)判断并证明函数f (x)的奇偶性． (2)若a＝2，求函数y＝f (2x)的值域． (3)是否存在实数a，b，使得函数f (x)在区间上的值域为(1，2)？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 答案解析 1、C　解析：因为0＜a＜1，所以f(x)＝logax在[a2，a]上单调递减，所以f (x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.故选C． 2、A　解析：因为函数y＝f (x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝log3x，所以f ＋f (9)＝＋log39＝－1＋2＝1.故选A． 3、B　解析：因为f (0)＝1－20＝0，f (log25)＝f (log25－1)＝f ＝f ＝f ＝1－＝，所以f (0)－f (log25)＝0－＝.故选B． 4、D　解析：由题意，得当t＝10时，A(10)＝500e10k＝2 000，即e10k＝4.令A(t)＝500ekt>500 000，得ekt>1 000，即>1000，两边取常用对数，得lg4>3，即t>≈49.8.故选D． 5、　解析：因为f(x)＝f(－2)＝3－2＝，所以f(f())＝. 6、(－∞，－2]　解析：函数f(x)＝log2x－2log2(x＋1)的定义域为(0，＋∞)，又f(x)＝log2x－2log2(x＋1)＝，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故值域为(－∞，－2]. 7、－2　解析：依题意，得f(－x)＝－f(x)，， 所以，解得m＝±2. 当m＝2时，f(x)＝，定义域{x|x≠2}不关于原点对称，故舍去； 当m＝－2时，f(x)＝ln，定义域为{x|－2<x<2}，符合要求．故m＝－2. 8、－2　解析： 故f(a)＋f ()＝0.由f(a)＝2，得f ()＝－2. 9、解：(1)由得－1<x<1. 所以函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1，1)． (2)当a>1时，由f(x)>g(x)，得1－x>x＋1>0，解得－1<x<0； 当0<a<1时，由f(x)>g(x)，得0<1－x<x＋1，解得0<x<1. 综上可知，当a>1时，x的取值范围为(－1，0)，当0<a<1时，x的取值范围为(0，1)． 10、A　解析：令x＝(x＞0)，则x30＝N＝a×1014(1≤a<10)，故30lgx＝lga＋14，lgx＝，lg a∈[0，1），所以lg x∈．又lg 2＜≈0.47＜lg 3＜＜lg 4＝2lg 2，故x＝3.故选A． 11、C　解析：由题意，得，所以C大约增加了23%.故选C． 12、log2x(答案不唯一)　解析：符合对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝log2x，nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn)． 13、解：f(x)＝(log22＋log2x)·(log2x－log216)＝(1＋log2x)·(log2x－4)＝(log2x)2－3log2x－4. (1)由f(x)＋6＝0，得(log2x)2－3log2x＋2＝0，解得log2x＝1或log2x＝2，所以x＝2或x＝4. 所以方程f(x)＋6＝0的解是x＝2或x＝4. (2)由2x2＋x≤43x－2，得2x2＋x≤26x－4，即x2＋x≤6x－4，解得1≤x≤4， 故M＝{x|1≤x≤4}． f(x)＝(log2x)2－3log2x－4，x∈M， 令t＝log2x，所以0≤t≤2， 则f(x)＝g(t)＝t2－3t－4＝为开口向上，对称轴为直线t＝的抛物线． 因为0≤t≤2，所以－≤g(t)≤－4， 所以函数f (x)(x∈M)的值域为． 14、解：(1)函数f (x)是奇函数．证明如下： 由>0，可得f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 因为对任意的x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，都有－x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 且f (－x)＝loga＝loga＝－f (x)， 所以f (x)是奇函数． (2)当a＝2时，f (x)＝log2，y＝f (2x)＝log2＝log2. 因为f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以2x>1， 所以∈(0，＋∞)，1＋∈(1，＋∞)， 所以log2∈(0，＋∞)， 所以函数y＝f (2x)的值域是(0，＋∞)． (3)存在．因为函数f (x)＝loga＝loga在上的值域为(1，2)， 又a＞0，且a≠1， 由f (x)的定义域得⊆(1，＋∞)，所以a>b>1. ①当0＜a＜1时，因为y＝1＋在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝loga在上单调递增． 所以即 因为b＞1，所以1＋＞1，所以1＋＝a无解． 故此时不存在实数a，b满足题意． ②当a＞1时，因为y＝1＋在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)＝loga在上单调递减， 所以 即 解得a＝2，b＝． 综上所述，存在实数a＝2，b＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$