精品解析：海南省先锋联盟2024-2025学年高一上学期11月期中调研数学试题

2024-2025学年度第一学期高一年级期中先锋联盟 数学调研 考试时间 120分 满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据集合的交集概念可得答案. 【详解】因为集合，，则. 故选：A. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】，的否定为：，. 故选：D 3. 下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为,故A错误, 对于B，，与的定义域相同，对应关系也相同，故B符合， 对于C，，与的对应关系不相同，故C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域不相同，故D错误， 故选：B 4. 函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，两种情况讨论，并根据解析式直接判断即可． 【详解】函数的定义域为， 当时，单调递减， 当时，，在单调递减，在单调递增， 故的单调减区间为和. 故选：C. 5. 设，若关于的不等式的解集是区间的子集，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解. 【详解】不等式可化为，其解集是区间的子集， 所以，且，所以. . 故选：B. 6. 设函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】构造奇函数，即可求解. 【详解】，设， ,则为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 则,, 所以. 故选：B. 7. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可. 【详解】由，，，得， 当且仅当即时取等号.依题意，，解得， 故选：A 8. 已知函数，其中，下列结论正确的是（ ） A. 存在实数，使得函数为减函数 B. 存在实数，使得函数为偶函数 C. 当时，方程有三个实根 D. 当时，若方程有两个实根，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，借助图形即可判断，对于B，由，，可判断，对于C，通过可判断，对于D，由，有两个交点，即可判断. 【详解】选项A.当时，在上单调递增； 当时，， 当时，， 函数在上很明显不单调，故A错误. 选项B.，，且不能同时取等，所以，不是偶函数，故B错误. 选项C.当时，方程有两个实根，故C错误. 选项D. 若方程有两个实根，即， 有两个交点，此时直线与在的部分相切，（如上图） 即， 由，故，故D正确. 故选：D 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断各项的正误即可. 【详解】A：因为，则，所以，A正确； B：因为，取，，则，，所以，B错误； C：因为，则，又，所以，C正确； D：因为，则，所以，D错误. 故选：AC 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则以下说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则函数在区间上有最大值6 D. 若，则函数在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】利用奇函数的性质判断AB，利用基本不等式判断C，利用单调性的定义判断D即可. 【详解】选项A.函数是定义在上的奇函数，故，A说法错误； 选项B.由已知得，解得，B说法正确； 选项C.若且，则，， 当且仅当，即时，等号成立，取到最小值6，C说法错误； 选项D.若，则当时，有， 所以对，且， 有， 所以在上单调递增， 又因为是奇函数，且当时，，所以在上单调递增，且， 又有，故在R上单调递增，D说法正确； 故选：BD 11. 对，表示不超过的最大整数，如，，我们把，叫做取整函数，也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 对，有成立 C. 不等式的解集为 D. 若函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据高斯函数的性质可判断A的正误，根据的性质结合一元二次不等式的解法可判断C的正误，结合二次函数的性质可判断D的正误，设，可判断该函数的周期为1并可证明时，据此可判断B的正误. 【详解】对于A，当时，则 ，故A错误 对于B，设， 则 ， 故为周期函数且周期为1，下面考虑时的值， 当时，对确定的，，， ，，而， 故此时， 综上，时，故时，， 所以，故B正确； 对于C，由得或， 所以不等式的解集为，故C正确 对于D.函数， 因为是整数，所以，即函数，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：与高斯函数有关的不等式，需先求出高斯函数满足的不等式，再根据高斯函数的性质得到自变量的性质，而与高斯函数有关的恒等式的证明，需构建新函数，利用其周期性缩小讨论的范围. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出同时满足以下条件的一个函数的解析式为______. ①定义域为，②在上是增函数，③函数是偶函数. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据条件三可得函数的对称轴，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由函数为偶函数，且函数的图象向右平移个单位可得函数的图象， 则函数的对称轴为直线， 由题意可得函数. 故答案为：答案不唯一 13. 已知幂函数经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】设幂函数，则，可得，即， 所以，，则，，所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上连续，且在上单调递增，可得对任意，恒成立，由函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围． 【详解】，所以, 因为在上单调递增，在上单调递增，且连续， 所以在上单调递增， 所以不等式， 所以对任意，恒成立，所以， 解得， 故答案为： 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）分别求，. （2）已知关于的不等式解集为，且，求，的值. 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）解出集合，根据补集以及并集的运算，即可求出答案； （2）根据一元二次不等式的解集，得到的符号及一元二次方程的根，利用韦达定理即可求出答案. 【小问1详解】 由已知得， ， 所以，. 【小问2详解】 由题意知且和是方程的两个根， ，即，， 因为， ，. 16. 已知集合，. （1）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题，是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，分和求解即可； （2）利用分类讨论的方法求解. 【小问1详解】 由题可知 因为p是q的充分不必要条件，所以， ①当时，，即，成立， ②当时，， 解得，经验证等号成立，所以， 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 解法一：由（1）知， 因为命题，是假命题 所以命题，是真命题， 所以， 又因为，所以， 解得. 实数的取值范围为. 解法二：由（1）知， 因为“命题，”是假命题 所以命题，是真命题， 所以， 如图1 ，所以 如图2 ，此时k无解， 如图3 ，此时k无解.， 如图4 ，所以， 综上，实数的取值范围为. 17. 已知函数的定义域在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明； （3）求使得成立的实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 函数在上是减函数. 设，，， ， ，，，所以， ，所以，所以在上是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质以及已知点建立方程，利用奇函数的定义验证，可得答案； （2）根据函数单调性定义，结合作差法，可得答案； （3）根据函数单调性，整理化简不等式，可得答案. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以 得，解得，所以 由题意，的定义域在关于原点对称，且任意， 都有，所以是奇函数，满足题意， 故，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是定义在上的奇函数，所以 由（2）知在上是减函数. 所以， 解得，解得. 故的取值范围. 18. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2024年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本3000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）； （2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润. 【答案】（1） （2）年产量45百辆时利润最大，最大利润为13640万元. 【解析】 【分析】（1）根据题目给定的函数解析式，利用给定公式，可得答案； （2）根据二次函数以及基本不等式，可得分段函数的最值可得答案. 【小问1详解】 每辆车售价9万元，年产量（百辆）时销售收入为900x万元， 总成本为， 【小问2详解】 由（1）当时，， 所以时，（万元） 当时， 当且仅当即时取等号 即（百辆）时， 因为万元， 所以年产量45百辆时利润最大，最大利润为13640万元. 19. 小明同学通过课外阅读了解到一元三次函数的图象均存在对称中心，而函数的图象关于成中心对称的充要条件是是奇函数.若函数. （1）若，，， ①求函数的图象的对称中心. ②我们知道：设区间，当，若都有，则在上是增函数，并且在关于对称的区间上有相同的单调性.请依据以上知识，求出的单调递增区间. （2）若函数是奇函数，解关于的不等式. 【答案】（1）①的对称中心为，②的递增区间是， （2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）①根据对称中心的充要条件构造奇函数，利用赋值法可得解，②根据增函数定义可判断函数在内的单调递增区间，再结合中心对称可得解； （2）根据函数为奇函数可得原函数的对称中心，即可得，则，解不等式即可. 【小问1详解】 ①，，，， 设关于中心对称，则为奇函数， ， 是奇函数， 则，，解得，， 所以的对称中心为； ② ， ， 设， 当时，都有， 只需，， 当时，的递增区间是， 又的对称中心为，在也递增， 的递增区间是，； 【小问2详解】 因为函数是奇函数，所以图象关于成中心对称， 所以， 又因为，所以， 所以， 不等式，即是， 当时，有，或， 此时，不等式解集为； 当时，有，或， 此时，不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高一年级期中先锋联盟 数学调研 考试时间 120分 满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 5. 设，若关于的不等式的解集是区间的子集，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中，下列结论正确的是（ ） A. 存在实数，使得函数为减函数 B. 存在实数，使得函数为偶函数 C. 当时，方程有三个实根 D. 当时，若方程有两个实根，则 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则以下说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则函数在区间上有最大值6 D. 若，则函数在上单调递增 11. 对，表示不超过的最大整数，如，，我们把，叫做取整函数，也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 对，有成立 C. 不等式的解集为 D. 若函数，则 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出同时满足以下条件的一个函数的解析式为______. ①定义域为，②在上是增函数，③函数是偶函数. 13. 已知幂函数经过点，则______. 14. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）分别求，. （2）已知关于的不等式解集为，且，求，的值. 16. 已知集合，. （1）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题，是假命题，求实数的取值范围. 17. 已知函数的定义域在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明； （3）求使得成立的实数的取值范围. 18. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2024年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本3000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）； （2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润. 19. 小明同学通过课外阅读了解到一元三次函数的图象均存在对称中心，而函数的图象关于成中心对称的充要条件是是奇函数.若函数. （1）若，，， ①求函数的图象的对称中心. ②我们知道：设区间，当，若都有，则在上是增函数，并且在关于对称的区间上有相同的单调性.请依据以上知识，求出的单调递增区间. （2）若函数是奇函数，解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $