安徽省2024-2025学年沪科版数学九年级上学期期末数学专题复习圆部分重难点专项练习

安徽省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 圆部分重难点专项练习 本资料以2023年安徽省各大市期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图，黑白棋子摆成的图案里下一黑棋，使全部棋子构成的图形是中心对称图形的位置是（    ） A．1 B．2 C．3 D．2或3 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，，是上的两点，是上不与，重合的任意一点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为，，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄绕点转动的角度为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 6．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）已知线段，过，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 7．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，M，N是上的两个动点，且在弦AB的两侧，若的半径是，，则四边形面积的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 8．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，四边形内接于，若，则为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在扇形中，点在上，点在上，．若，则的半径为（   ） A．8 B．9.6 C． D． 10．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，四边形ABCD内接于，连接并延长交于点，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，与边长为的正方形的边相切，且A、B两点在上，则圆的半径长是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（20-21九年级上·安徽六安·期末）在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 14．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，的正方形网格中，格点是半径为2的圆的圆心，则图中两个小扇形（阴影部分）的面积之和为 （结果保留）. 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 16．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ． 17．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，是的直径，点，，均在上，若，则的度数为 ． 18．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，，两点在以为直径的上，，，则的长为 ． 19．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）（1）如图1，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则圆的半径为 ． （2）如图2，在中，弦垂直于弦，垂足为，连接，．若，则圆的半径为 ． 20．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点在以为圆心，7为半径的圆周上运动，连接． （1）当动点与点距离最远时，此时线段的长度为 ； （2）连接，当为等腰三角形时，则点坐标为 ． 21．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，若，则的度数为 ． 22．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 三、解答题 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，网格图中每个小正方形的边长为1，以的顶点为坐标原点，、两点都在格点上，小正方形一条边所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)将绕点顺时针旋转，画出相应的图形；并写出、坐标； (2)以点为位似中心，在轴的下方将放大为原来的2倍，画出相应的图形；并写出、坐标． 24．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，半径弦于点C，交于点D，是的直径，连接，若，，求的长． 25．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船轮子的直径． 26．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，，，都是的半径，． (1)求证：； (2)如图2，过点作半径，垂足为，连接，若，，求的长． 27．（23-24九年级上·安徽·期末）圆内接四边形如图所示，直径于点E，的延长线交于点F，连接． (1)求证：． (2)已知，，求的半径长． (3)在（2）的条件下，若G是的中点，求的长． 28．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，与边长为a的等边的边、分别交于点D、点E，是直径，过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，当是的切线时，求的半径r． 29．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）仔细阅读以下画图过程，并解决问题： 如图1，已知及圆上一点.作法： ①如图2，连接并以为边作交于点； ②在圆上依次取点，点，点，点，使得； ③顺次连接各点，得到六边形； ④如图3，过点作的切线，交延长线于点，作直线．             解决问题： (1)若六边形的面积为，求的半径的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 30．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： (1)如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． (2)如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由 参考答案： 1．B 【分析】根据中心对称图形的定义求解即可． 本题考查了中心对称图形的判断，中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形就叫中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，在位置1和位置3下一黑棋，都不能使所有棋子构成中心对称图形，只有在位置2下一黑棋可以使全部棋子构成的图形是中心对称图形． 故选：B 2．B 【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键． 根据，以点为圆心的半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，以点为圆心的半圆的直径和重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据点在优弧上和劣弧上两种情况画出图形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图1，． 如图2，， ， ． 综上的度数为或． 故选：D． 4．A 【分析】延长到，根据角的和差关系及补角的定义可知，最后利用旋转的定义即可解答．本题考查了角的和差关系，补角的定义，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：延长到， ∵，， ∴， ∴， 灰斗柄绕点转动的角度为， 故选． 5．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的判定和性质．利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质即可判断选项A、B、D正确；假设成立，证明是等边三角形，推出是的切线，与题设相矛盾，可判断选项C不正确． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴设， 若， ∴， 则，选项A正确，不符合题意； 若，又∵， ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； 若切于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意； 连接，假设成立， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，即， ∴切于点， 而题设并没有是的切线这一条件， ∴假设不成立，选项C不正确，符合题意． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了两圆相交的性质，根据题意分别以A、B为圆心，以为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意．能找出圆的圆心是解此题的关键． 【详解】解：分别以A、B为圆心，以为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，    得以C为圆心，以为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，找到使四边形面积最大的点M与点N的位置是解题的关键． 过点O作于点C，交于D，E两点．连接，先证明，得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形面积最大值，由此计算，即得答案． 【详解】如图，过点O作于点C，交于D，E两点．连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵． ∴当点M到的距离最大时，的面积最大；当点N到的距离最大时．的面积最大．即点M运动到点D，点N运动到点E． 此时四边形面积的最大值 ． 故选D． 8．B 【分析】 本题考查了圆周角定理和圆的内接四边形，先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：B． 9．C 【分析】作，垂足分别为E、F，连接．先证明，得到．设，则，，根据勾股定理得到，进而得到，在中，根据勾股定理得到，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作，垂足分别为E、F，连接． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即． ∵ ∴， ∴． 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，圆的半径都相等，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识，根据题意填写辅助线构造矩形和相似三角形得到线段的关系是解题关键． 10．C 【分析】根据同弧所对圆周角相等，找到与已知角和所求角的等角，由直径所对的圆周角是直角，和已知的度数，通过等量代换，即可求解，本题考查了圆周角定理推论，解题的关键是：熟练找到相等的圆周角． 【详解】解：连接、， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， 故选：． 11．B 【分析】本题考查了正方形的性质，切线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．设切点为E，连接交于点F，求出，，连接交于点G，则，，设半径为r，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，设切点为E，连接交于点F， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， 连接交于点G， ∴， ∴．， 设半径为r，则， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得，即的半径长是． 故选B． 12．B 【分析】本题考查正多边形和弧长、轨迹，根据弧长公式先求一段弧的长，再根据滚动一周等于一段弧长乘以即可得中心点所经过的路径长．解题的关键是掌握正六边形的性质． 【详解】解：如图， ∵正六边形的内角为， ∴， 又∵边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周， ∴， ∴，， ∴， ∴边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周， 则它的中心点所经过的路径长为：． 故选：B． 13．圆外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内；据此即可判断求解，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点在圆外， 故答案为：圆外． 14． 【分析】本题考查了中心对称，利用了扇形的面积公式，直角三角形的性质．根据圆的半径正方形边长的一半，可得两个扇形的半径都是圆的半径，根据直角三角形两锐角互余，可得两个扇形的圆心角的和等于，可得两个扇形的面积和等于圆的面． 【详解】解：由题意，得两个扇形的半径都是2， 由直角三角形两锐角互余，得两个扇形的圆心角的和等于， 两个扇形的面积的和等于圆的面积的，即小扇形的面积的和是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；连接，根据切线性质得，再根据直角三角形的锐角互余得，根据圆周角定理进而求得，然后根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：连接， 与圆O相切于点M， ； ， ； ， ， ， ； ， ； 故答案为：． 16．/109度 【分析】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的对角互补，先根据圆周角定理求出的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补得到计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先求解，再证明，再结合角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为： 18．/ 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．利用圆周角定理得到，连接求出，然后根据弧长公式求出的长． 【详解】解： 连接， ∵，， ∴， ∴， ， ∴, ∴的长． 故答案为：． 19． 【分析】 本题考查了垂径定理，90度圆周角对的弦是直径，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识． （1）连接，由垂径定理得，由勾股定理即可求得半径； （2）过点D作交于F，连接，过O作交于点G；首先证明，再证明；其次有，即为的直径，则由已知得，从而求得半径． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵为直径，且， ∴， 在中，由勾股定理得：； 故答案为：5． （2）如图，过点D作交于F，连接，过O作交于点G； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； 即四边形是等腰梯形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 即为的直径； ∴； ∵， ∴， ∴， ∴的半径为． 故答案为：． 20． 20 或或 【分析】本题考查了点到圆上点的最值，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，注意分类讨论． （1）连接，当点P在线段延长线上时，最长，由勾股定理求出的长，即可求得最大值； （2）分三种情况考虑：，易得此时点P的坐标；，过P作轴于E，过P作轴于N，连接；设，利用勾股定理建立方程即可求解； ，此种情况不存在． 【详解】解：（1）如图，连接， 当点P在线段延长线上时，最长， 此时； ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 由勾股定理得：； ∵， ∴； 故答案为：20． （2）分三种情况： 当时，如图， 此时点P在y轴上，且在点A下方， ∵ ∴点P的坐标为； 当时， 如图，过P作轴于E，过P作轴于N，连接； 则，， ∴四边形是矩形， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴点P的坐标为或 当，的最小值为，此种情况不存在． 综上，点P的坐标为或或 ； 故答案为：或或 ． 21．/度 【分析】由旋转的性质和全等三角形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转得， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 22． 16 34.54 【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，扇形的面积． （1）由题意可得，根据，令，，即可求解； （2）连接交于点H，根据菱形的性质，解直角三角形，求出，可得，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：（1）的直径为12， ． ∵． 令，． ∴． ∴． ∴， 故答案为：16； （2）如图．连接交于点H． ∵四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 23．(1)见解析，， (2)见解析，， 【分析】本题考查了旋转作图，作位似图形，点坐标等知识．熟练掌握旋转作图，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图并作答即可； （2）根据位似的性质作图并作答即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质作图，如图1，即为所作， ∴； （2）解：由位似的性质作图，如图2，即为所作； ∴，． 24．2 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，易证是的中位线，求出，再根据勾股定理求出，即可作答． 【详解】解：由题意可知．垂直平分，． 点是中点， 又∵是的直径．即点是中点， ∴是的中位线． ∴． 在中， ∵． ∴． ∴． 25．该桨轮船轮子的直径为 【分析】过点作，连接，利用垂径定理得到是直角三角形，，最后利用勾股定理即可解答．本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：过点作，连接， ∴，， ∴是直角三角形， ∵，， ∴，， ∴设， ∴在中，， ∴， 解得：， 即， ∴该桨轮船轮子的直径为． 26．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理以及勾股定理， （1）根据题意和圆周角定理得，即可证得结论成立； （2）根据垂径定理得，则有，结合（1）得，即有，利用勾股定理可求得和即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）， ∴． ． 由（1）得，， ． ，， ，． 在中，由勾股定理得． ． 在中，． ． 27．(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）连接交于点M，先证明，再根据圆周角定理推导出，最后等量代换即得，即可证明； （2）连接，设的半径长为，则，在中，应用勾股定理求解即得． （3）由，得到，即可求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点M， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∴， ， ； （2）解：如图，连接 设的半径长为，则， ∵弦于点， ∴ ， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的半径长为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键． 28．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）连接，得到先计算，再计算，结合，计算，接着利用切线长定理，证明是等边三角形，得到解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵等边， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了切线的证明，勾股定理，等边三角形的判定和性质，切线长定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 29．(1)的半径为2 (2)直线与相切，理由见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定； （1）根据题意得出六边形为圆内接正六边形，过作于点， 设的半径为，进而根据的面积为即个等边三角形的面积，得出的半径的长； （2）连接，证明，得出即可得证． 【详解】（1）解：在中，且，      ， ，； 又 六边形为圆内接正六边形， 过作于点， 设的半径为， 则有， ， ， 解得． 答：的半径为2． （2）直线与相切．   理由：连接． 为的切线， ， ，     与相切 ． 30．(1)①，；②，，仍然成立，理由见解析 (2)时，理由见解析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质得到，推出，得到，得到，，得到，；②根据等腰直角三角形性质得到，推出，推出，得到，，得到，即得； （2）当时，．分当与当，两种情况讨论，过点A作交的延长线于点F，证明，得到， 即，即可证明． 【详解】（1）解：①当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； ②，仍然成立，理由： ∵，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当时，，理由： 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 则， ， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 同理可得：， ∴， ∴， ∴当时，； 综上，时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$