安徽省2024-2025学年沪科版数学九年级上册期末专题复习解三角形部分重难点专项练习

安徽省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 解三角形部分重难点专项练习 本资料以2023年安徽省各大市期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在△ABC中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在△ABC中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（    ） A． B． C．30° D．60° 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，于D，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）河堤横断面如图所示，米，迎水坡的坡度是（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 8．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，连接、、，且交于，交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若，则(　　) A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是 ． 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如果是锐角，且，那么的值是 ． 13．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为 ． 14．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ． 15．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬1米耗能，若某人爬坡时，其垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为，则他耗能 ．（参考数据：，）    16．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在正方形网格中位置如图所示，则的值为 ． 17．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积的值是 ． 18．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在的正方形网格中，且点A、C都在格点上，则 ． 19．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在正方形中，点E在边上，连接的平分线与边交于点G，与的延长线交于点F．设．    （1）若，则线段的长的值为 ； （2）连接，若，则k的值为 ． 20．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在正方形中，点，分别是，上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到，交于点，对角线交于点，当点运动到的中点时，    （1） ； （2） ． 三、解答题 21．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点O顺时针旋转90°得到，请画出，其中点A、B分别与点对应； (2)以点O为位似中心，将在点O异侧按相似比进行放大得到，请画出，其中点A、B分别与点对应； (3)的值为 ． 22．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点与点O均为格点． (1)以点O为位似中心作，使得与位似，且相似比为1：2； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的； (3)设与相交所成的锐角为，则______． 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 24．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 25．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为，求电梯的坡度与长度． 参考数据：． 26．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，育才学校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子，而当光线与地面的夹角是时，教学楼顶点A在地面上的影子点F与墙角点C有的距离，B，F，C三点在同一条直线上，求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：，，） 27．（23-24九年级上·安徽池州·期末）如图，是正方形的对角线，平分交于点E，点M在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 28．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）我国素有“基建狂魔”的称号，设计并建造了大量的世纪工程，如三峡大坝及三峡水电工程；秦岭隧道工程；珠港澳跨海大桥工程……每天的工程建设都在如火如荼地进行着．如图，某天一台塔吊正对新建的大楼进行封顶施工，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如果工人在楼顶A处测得吊钩D处的俯角，测得塔吊B，C两点的仰角分别为和，此时米，塔吊需向A处吊运材料．（参考数值，，）    (1)求楼顶A到平衡臂的距离（结果保留根号）； (2)吊钩D需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A处？（结果保留根号） 29．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）阅读与探究 小宇学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，求的值．小宇同学通过查找资料，获得了以下解题思路.请仔细阅读，并完成探究． 思路：先画出几何图形（如图），虽然不是特殊角，但是的一半，于是在上截取，再连结，构造出等题（如图） 解题过程：在上截取，再连结，所以为等腰三角形，设， 则，……．    (1)实践应用：按照上面的解题思路，得到的值为______； (2)尝试应用：如图，仿照上述方法，求的值； (3)拓展应用：如图，小宇发现家中的电瓶车在夜晚开启大灯时，大灯照亮地面的宽度为，光线的边缘与地面的夹角分别为，，大灯距离地面的高度为，求照明宽度的长．（精确到）（参考数据：，） 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了三角函数的基本定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，，设，则，根据计算即可． 【详解】解：构造直角三角形如下： 根据题意，得， 设， 则， ∴， 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了正弦的知识，理解并掌握正弦的定义是解题关键．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，据此即可获得答案． 【详解】解：如下图， 由题意可知，，，， ∴． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，已知锐角三角函数求锐角；由题意，可求得的值，根据值即可求得锐角． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴； 故选：C． 4．A 【分析】本题考查网格中的三角函数值，过点作，等积法求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可．解题的关键是构造直角三角形． 【详解】解：过点作， 由图可知：， ∴， ∴， ∴； 故选A． 5．B 【分析】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边． 根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案． 【详解】∵在中，， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵，于D， ∴ ∴ ∴，故B选项正确，符合题意； ∵，于D， ∴ ∴ ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵ ∴，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角：先根据坡度的定义得到，然后利用比例的性质求出的长，根据坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比计算是关键． 【详解】解：根据题意得： 即 故选：D． 7．B 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【详解】解：点作于点， ， 由题意可得：，， ∴，， 在中，米， ∴米， 米， ∴米， ∵， ∴（米）， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质；过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，设，证明，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， 则； 设， 则，； ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴或（舍去）， ∴； 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．由相似三角形的判定和性质可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 点为边的中点， ， ， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，设，，则，，解直角三角形可得，化简可得，，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得，即可求解． 【详解】解：设，，则，， ，，， ， ， ， ， ， 故选：B． 11． 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， ∵当时，随着的增大而减小， ∴， 故答案为： 12．/ 【分析】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在，，，由，可设，则，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，在，，， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了三角函数的求解，根据锐角三角函数的概念，可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【详解】解：如图，   ， ， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查了网格与勾股定理，余弦值的计算，根据题意，运用网格与勾股定理，等面积法求值点到的距离（即垂线），构造出直角三角形，再根据余弦值的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作与点， ∴，且点到的距离（高）为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 15． 【分析】本题考查了斜坡的计算，运用正弦函数计算即可． 【详解】设斜坡爬行x米， ∵垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为， ∴， 解得(米)， ∵每爬1米耗能， ∴耗能为 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查了求余弦；根据网格可得，勾股定理得出，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 17． 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角函数值求边长，过作交延长线于点，由，求出，再根据平行四边形的性质得出，最后利用面积公式即可求解，解题的关键是熟练掌握三角函数求边长及平行四边形的性质． 【详解】解：过作交延长线于点，如图， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了求一个角的正切值，勾股定理与网格问题，确定格点得出是解题关键． 【详解】解：如图所示：点为格点， ∵， ∴且 ∴ ∴ 故答案为： 19． 【分析】（1）由得E是中点，则由勾股定理可求得的长，由平行与平分得，进而求得；由即可求得结果； （2）设正方形边长为a；由（1）中及得，则可证明，进而有；再证明，则可求得，进而得，由正切定义即可求得k的值． 【详解】解（1）∵，， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即E是中点； 在中，由勾股定理得：； ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设正方形边长为a； 由（1）中有， 即是等腰三角形； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，有一定的综合性． 20． / 【分析】根据正方形的性质可得，从而证明，设正方形的边长为，则，利用勾股定理求得，证明，可得，从而证得，可得，，即可求解． 【详解】当点运动到的中点时，如图，设正方形的边长为，则，    四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，在中，． 故答案为：，． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画旋转图形与位似图形，求角的正弦值； （1）作出点A、B绕点O顺时针旋转后的对应点，再连接三点即可； （1）作出点A、B按相似比进行放大后的对应点，再连接三点即可； （3）首先可得为直角三角形，且，由旋转性质知，，，；由位似性质知，共线，则，则有，则在中求得结果． 【详解】（1）解：旋转后的图形如下： （2）解：按相似比进行放大得到如下： （3）解：∵，，， 且， ∴为直角三角形，且； 由旋转性质知，，，； 由位似性质知，共线，则， ∴， 在中，． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查作图-位似变换、旋转变换、余弦的定义等知识点，掌握位似变换、旋转变换的性质是解题的关键． （1）利用位似变换的性质，分别作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，然后顺次连接即可； （3）如图：取格点D，连接，再运用勾股定理、勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后运用正弦的定义即可解答． ． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：取格点D，连接， 由勾股定理可得：， ∴，即是直角三角形， ∴． 故答案为：． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题． （1）过点B作，垂足为E，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，再利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答． 【详解】（1）如图，过点B作，垂足为E， ∵从处往处看的仰角为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为米； （2）如图，过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴甲山与乙山所拉缆绳的长度约为米． 24．(1)见详解 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可证明； （2）根据和得出，过点C作，根据，，在中，结合勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 过点C作， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，，即， 解得：或0（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 25．电梯的坡度，长度是19.5米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题和坡度问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答． 过A，Q分别作水平线交过点B的铅垂线于点C ，D，如图，则，，根据题意求得和．在中，，求得．即可求得．利用勾股定理求得即可． 【详解】解：过A，Q分别作水平线交过点B的铅垂线于点C ，D，如图， 则， 根据题意得． ∵， ∴． 在中，， ∴．解得． ∴． ∴． 电梯的坡度为． 答：电梯的坡度，长度是19.5米． 26．教学楼的高度约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，过点E作于点M，构造矩形，设，解和求出x的值即可． 【详解】解：如图，过点E作于点M，则四边形为矩形， ，， 设， 在中，， ， ． 在中，，，， ， 解得． 答：教学楼的高度约为． 27．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，．再由，平分，可得，可证明，即可； （2）证明，即可； （3）先证明．设正方形的边长为a，则．由勾股定理可得，从而得到，即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∴ ，平分， ， ， 在中，， ， 在与中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：，， ， ，即， ， ； （3）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 设正方形的边长为a，则， 在中，由勾股定理得：， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键． 28．(1)米 (2)吊钩D需向右移动7米、向上移动米才能将材料送达A处 【分析】本题考查了解直角三角形解决俯角、仰角的实际应用，等腰三角形的判定．正确理解题意是关键． （1）设交于点F，由题意得米，在中由三角函数可求得，即楼顶A到平衡臂的距离； （2）由（1）的计算可求得，在中，由正切关系可求得，即可求得向上与向右平移的距离． 【详解】（1）解：设交于点F，如图；    由题意知，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴米； ∵， ∴在中，（米）； ∵楼顶A到平衡臂的距离与的长度相等， ∴楼顶A到平衡臂的距离为米； （2）解：由（1）知，米，， ∴（米）； 在中，米， ∴吊钩D需向右移动7米、向上移动米才能将材料送达A处．    29．(1)； (2)； (3)照明宽度的长约为． 【分析】（）根据题意，找出各边长即可； （）通过题中理解推导，找出各边长即可； （）由（）（）可知：，直接计算即可； 此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）在上截取，再连结，所以为等腰三角形，设， 则， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2） 作，交于点，连结， ∴为等腰三角形， ∴， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即， （3）如图， ∴，， 由（）（）可知：，， ∴，， 则，， ∴（米），（米）， ∴（米） 答：照明宽度的长约为． 学科网（北京）股份有限公司 $$