8.3圆的方程学案-2025届高三数学一轮复习

8.3圆的方程 学习目标：1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 1、 课前自测 1.易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆． (　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． (　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0． (　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 解析 C　 法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1．所以r＝2．所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：由已知条件得AB的垂直平分线方程l1：y＝x， 由解得 ∴圆心坐标为(1，1)， ∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4． 3. 若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．[－2,0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞) 解析　B 由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0， 得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a， 由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0， 解得a>0或a<－2. 4. (人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________． 解析 x2＋y2－2x＝0　 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)， ∴ 解得 ∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0． 二、知识梳理 1．圆的定义及方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心， 半径 提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2． (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2． (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2． [常用结论] 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0． 三、典例分析 典例一、圆的方程 例1. (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________． 解析 　(x－1)2＋(y＋1)2＝5 方法一　设⊙M的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 则解得 ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 方法二　设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则M， ∴解得 ∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 方法三　设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r， 则kAB＝＝－，AB的中点坐标为， ∴AB的垂直平分线方程为y－＝3， 即3x－y－4＝0. 联立解得 ∴M(1，－1)， ∴r2＝MA2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5， ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 思维升华 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 变式1.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 解析 (－2，－4)　5　 由已知方程表示圆，得a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，原方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆． 总结 典例二、利用几何性质求最值 例2.(2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 解析 (1)min＝－；(2)(y－x)min＝－2－；(3)(x2＋y2)min=7－4. (1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆． 设＝k，即y＝kx， 则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由＝，解得k2＝3， ∴kmax＝，kmin＝－. ∴max＝，min＝－. (2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值， 由点到直线的距离公式，得＝， 即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－. (3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方， 设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)， 则(x2＋y2)max＝OC′2＝(2＋)2＝7＋4， (x2＋y2)min＝OB2＝(2－)2＝7－4. 变式2.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋　　　 B．4 C．1＋3 　 D．7 解析 C (1)法一(判别式法)：令x－y＝k，则x＝k＋y， 代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0， 因为存在实数y，则Δ≥0， 即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0， 化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3， 故x－y的最大值是3＋1.故选C. 法二(换元法)：x2＋y2－4x－2y－4＝0， 整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9， 令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]， 则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos ＋1， 因为θ∈[0，2π]，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1.故选C. 法三(几何意义)：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得 (x－2)2＋(y－1)2＝9， 设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3. 故选C. 总结 典例三、利用函数求最值 例3.设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为________． 解析 12　 法一：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，的值最大，最大值为6×4－12＝12. 法二：由向量的极化恒等式，得＝－＝－4， 由于点P在圆：x2＋(y－3)2＝1上，则 当点P坐标为(0，4)时，取得最大值16， ∴的最大值为16－4＝12． 变式3.已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则(O为坐标原点)的取值范围是(　　) A．[－3，1] 　 B．[－1，1] C．[－1，3] 　 D．[1，3] 解析 C 将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为(2，0)．所以＝(2－x，－y)，而＝(－x，－y)，所以＝x2＋y2－2x.因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以＝4x－3－2x＝2x－3．因为(x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3．因此－1≤2x－3≤3，从而(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3].故选C. 总结 典例四、利用对称性求最值 例4.　已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．　　 B．　 C．2　　 D．3 解析 D　 曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0是以C1(2，2)为圆心，半径为1的圆， C2：x2＋y2－2x＝0是以C2(1，0)为圆心，半径为1的圆．由圆的对称性可得|PM|的最小值为|PC1|－1，|PN|的最小值为|PC2|－1. 过C2作直线x＋y＋1＝0的对称点B，设坐标为(m，n)， 可得＝1，＋1＝0， 解得m＝－1，n＝－2，即B(－1，－2)． 连接BC1，交直线于点P，连接PC2，可得|PC1|＋|PC2|＝|PC1|＋|PB|≥|BC1|＝＝5．当且仅当B，P，C1三点共线可得|PC1|＋|PC2|的最小值为5，则|PM|＋|PN|的最小值为5－2＝3.故选D. 1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)斜率型：形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题． (2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题． (3)距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 2．建立函数关系式求最值问题的解题策略 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值． 3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 变式4.(2024·广东惠州模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是________． 解析 4＋ 由题设，C1(2，3)且半径r1＝1，C2(3，4)且半径r2＝3， 所以|C1C2|＝＝＜r2－r1＝2，即圆C2包含圆C1. 又M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点， 要使|PN|－|PM|的最大，P，M，N，C1，C2共线且M，N在C1，C2的两侧，所以 (|PN|－|PM|)max＝|C1C2|＋r2＋r1＝4＋.] 总结 典例五、与圆有关的轨迹问题 例5.已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解析　(1)直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)；(2)动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． (1)法一(直接法)：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1. 又kAC＝，kBC＝， 所以＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)(相关点法)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 　求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解． (4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 提醒：注意特殊点的取舍． 变式5.(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且AM＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x 解析　B 因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1,1)，半径r＝1， 因为点M是圆上的动点，所以MC＝1， 又AM与圆相切，且AM＝2， 则AC＝＝， 设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5， 即x2＋y2－2x－2y－3＝0， 所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. (2)已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 解析　点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点和. 设P(x，y)，N(x0，y0)， ∵四边形MONP为平行四边形， 则＝＋， 即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)， 即则 又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴x＋y＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 易知直线OM的方程为y＝－x， 联立 得或 ∴点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点和. 思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 总结 四、课堂总结 5、 检测练习 1．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋＝0的圆心坐标是，则半径为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　A 圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋＝0， 即2＋2＝， 所以其圆心为， 半径为. 又已知圆心坐标是， 所以D＝1，E＝－4，半径为＝2. 2．(2022·北京高考)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A．　 　B．－　 　C．1　 　D．－1 解析 A　 若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝. 3．如果实数x，y满足(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是(　　) A．　　　 　 B．　　　 C．　　　 　 D． 解析 D　 显然x≠0，令＝k，即y＝kx，代入(x－1)2＋y2＝得(1＋k2)x2－2x＋＝0，所以Δ＝4－4×(1＋k2)×≥0，解得－≤k≤. 所以k的最大值为.故选D. 4．(2023·酒泉统考)若直线x－y－3＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，动点最大值为P在圆x2＋(y－1)2＝1上，则△ABP面积的最大值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 解析　C 因为直线x－y－3＝0与坐标轴的交点A(，0)，B(0，－3)，则AB＝＝2， 圆x2＋(y－1)2＝1的圆心C(0,1)，半径为r＝1， 则圆心C(0,1)到直线x－y－3＝0的距离为d＝＝2， 所以圆x2＋(y－1)2＝1上的点P到直线x－y－3＝0的最大距离为d＋r＝2＋1＝3， 所以△ABP面积的最大值为×2×3＝3. 5．(2024·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点．若A(－a，0)，B(a，0)，a≠0，则||的最大值为(　　) A．16 　 B．12 C．8 　 D．6 解析 B　 因为||＝2||，||max＝|OC|＋1＝＋1＝6，所以||max＝12.故选B. 6．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 解析　 D 由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示． 设P(x，y)，由题意可知PQ＝PO，且PQ⊥CQ，所以PO2＋r2＝PC2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2， 即6x－8y－21＝0. 7．（多选）(2024·山东鄄城模拟)已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下面结论正确的为(　　) A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4 B．点P到原点O的距离的最大值为5 C．△PAB面积的最大值为4 D．的最大值为18 解析 ABD　 设动点P(x，y)， 则由＝2，得＝2， 即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]， 化简得：x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确； 因为点P轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆， 则点P到原点O的距离最大值为＋2＝5，B正确； 又A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3， 所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值×3×2＝3，C错误； 又＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2， 因为y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)， 所以＝－5x－7(－5≤x≤－1)， 则≤－5×(－5)－7＝18，D正确． 故选ABD. 8．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为______________________． 解析　 x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1)) 设C(x，y)，根据在等腰△ABC中AB＝AC，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2， 即x2＋y2＝2. 考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(－1，－1)． 所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))． 9.(2024·盐城模拟)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3)，B(3,3)两点． (1)求圆C的方程； (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,0)，点Q满足＝3，求点Q的轨迹方程． 解析 (1)圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10;(2)Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝. (1)由题意可知，AB的中点为(2,3)，kAB＝0， 所以AB的中垂线方程为x＝2， 它与x轴的交点为圆心C(2,0)， 又半径r＝AC＝， 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. (2)设P(x0，y0)，Q(x，y)， 由＝3， 得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)， 所以 又点P在圆C上，故(x0－2)2＋y＝10， 所以(3x－18)2＋(3y)2＝10， 化简得Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3圆的方程 学习目标：1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 1、 课前自测 1.易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆． (　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． (　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0． (　　) 2．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 3. 若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．[－2,0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞) 4. (人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________． 二、知识梳理 1．圆的定义及方程 定义 平面上到_____的距离等于_____的点的集合(轨迹) 标准方程 __________________ 圆心_____，半径r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心__________， 半径__________ 提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则____________________． (2)若M(x0，y0)在圆上，则____________________． (3)若M(x0，y0)在圆内，则____________________． [常用结论] 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0． 三、典例分析 典例一、圆的方程 例1. (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________． 变式1.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 总结 典例二、利用几何性质求最值 例2.(2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 变式2.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋　　　 B．4 C．1＋3 　 D．7 总结 典例三、利用函数求最值 例3.设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为________． 变式3.已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则(O为坐标原点)的取值范围是(　　) A．[－3，1] 　 B．[－1，1] C．[－1，3] 　 D．[1，3] 总结 典例四、利用对称性求最值 例4.　已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．　　 B．　 C．2　　 D．3 变式4.(2024·广东惠州模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是________． 总结 典例五、与圆有关的轨迹问题 例5.已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 变式5.(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且AM＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x (2)已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 总结 四、课堂总结 5、 检测练习 1．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋＝0的圆心坐标是，则半径为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 2．(2022·北京高考)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A．　 　B．－　 　C．1　 　D．－1 3．如果实数x，y满足(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是(　　) A．　　　 　 B．　　　 C．　　　 　 D． 4．(2023·酒泉统考)若直线x－y－3＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，动点最大值为P在圆x2＋(y－1)2＝1上，则△ABP面积的最大值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 5．(2024·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点．若A(－a，0)，B(a，0)，a≠0，则||的最大值为(　　) A．16 　 B．12 C．8 　 D．6 6．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 7．（多选）(2024·山东鄄城模拟)已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下面结论正确的为(　　) A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4 B．点P到原点O的距离的最大值为5 C．△PAB面积的最大值为4 D．的最大值为18 8．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为______________________． 9.(2024·盐城模拟)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3)，B(3,3)两点． (1)求圆C的方程； (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,0)，点Q满足＝3，求点Q的轨迹方程． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$