专题03 函数（16个考点+模拟演练）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题03 函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解函数的概念 · 掌握函数的三种表示方法 · 了解函数的三要素 · 理解函数相等的关系 · 理解函数单调性和奇偶性的意义 考点预测 · 函数的三要素 · 常见函数模型的应用与实际问题 · 函数单调性的应用 · 函数奇偶性的应用 · 利用几种常见函数模型 要点自测 （一）函数的概念 函数的定义 设集合D是一个 数集，对D中 x，按某种确定的对应关系f，都有唯一确定的实数值y与它对应，则称y为x的函数，记作，x∈D.其中x为自变量，y为因变量，自变量x的取值范围D称为函数的 ，对应的因变量y的取值范围称为函数的 。 函数的三要素 （1） 、 、 函数的三要素； （2） 函数的 和 是判断两个函数是否为相同函数的依据. 定义域 的取值范围 常见函数的形式：整式、分式、根式、零次幂、指数、对数等形式．其定义域要求如下：(1)整式函数y＝f(x)的定义域为 (2)分式函数定义域要求分母不为 (3)偶次根式的定义域要求被开方数 (4)奇次根式的定义域为 (5)指数函数的定义域为 (6)对数函数的定义域为 值域 值域是 的取值范围，是由函数的定义域、对应关系唯一确定的。 函数相等 由函数的定义可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数。 区间 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： 1 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做 ，表示为 ； 2 满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做 ，表示为 ； 3 满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 ，分别表示为 ， .这里的实数a与b都叫做相应区间的 . 实数集R可以用区间表示为 ，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为 ， ， ， （二）函数的表示方法 函数的表示方法 （1）用解析式表示函数的方法称为 。 （2）用表格表示函数的方法称为 。 （3）用图像表示函数的方法称为 分段函数 （1）定义：在函数 内，若对于自变量x的不同取值区间有不同的对应法则，这样的函数称为分段函数。 （2）定义域：自变量各个不同取值范围的 。 （3）图像特征：分段函数的图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。 （三）函数的单调性 增减性 增函数 减函数 定义 设函数)在区间内有意义。对任意，当 时，都有 成立，那么，函数称为区间内的 ，区间称为函数的 。 设函数)在区间内有意义。若对任意，当 时，都有 成立，那么，函数称为区间内的 ，区间称为函数的 图像特征 函数值随自变量的增大而 ，自左到右图像呈 。 函数值随自变量的增大而 ，自左到右图像呈 。 判断方法 利用单调性的定义判断、证明函数单调性的一般步骤： 1 设，是给定区间内的任意两个值，且 ； 2 作差：，并将此差式变形； 3 判断的 ； 4 根据的 确定其增减性．（口诀：同增异减） 最值 设函数的定义域为A， （1）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数 ，记为． （2）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的 记为． 求法： 1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. 3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. （四）函数的奇偶性 奇偶性 奇函数 偶函数 定义 若函数的定义域关于 ，对于定义域内的任意一个，都有 ，则这个函数称为 若函数的定义域关于 ，对于定义域内的任意一个，都有 ，则这个函数称为 ； 图像特征 一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于 对称 【注意】　当时，若奇函数有意义，则 一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于 成轴对称。 判断方法 (1)定义法 ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断与的关系： 若＝－或＋＝0，则为 ； 若＝或－＝0，则为 ； 若)≠且≠－，则为 ； 若＝－＝，则 。 (2)图像法 若函数图像关于 对称，则此函数是奇函数； 若函数图像关于 对称，则此函数是偶函数。 （五）几种常见的函数 函数名称 解析式 单调性 奇偶性 一次函数 当时，在R上是 ；当时，在R上是 。 当时，是 ；当时， 反比例函数 当时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上是 ； 当时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上是 。 奇函数 二次函数 对称轴 当时，在上是 ，在上是 ； 当时，在上是 ，在上是 。 当时，是 ；当时， 指数函数 当时，在R上是 ；当时，在R上是 。 对数函数 当时，在(0，＋∞)上是 ；当时，在(0，＋∞)上是 。 （六）实际问题中函数的应用 步骤总结： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 考点突破 考点1 函数的定义 【例1】设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,故选:C. 【突破训练】已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 考点2 具体函数的定义域 【例2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得，解得，故选：C． 【突破训练】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点3 已知定义域求参数 【例3】函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 则在上恒成立， 则当时，成立， 当时，在上恒成立， 等价于，解得， 综上所述：， 即实数的取值范围是. 【突破训练】若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 考点4 同一函数的判断 【例4】下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是.故选：D 【突破训练】下列各组函数表示同一个函数是（    ） A． B． C． D． 考点5 求函数值 【例5】已知函数，则的值等于（    ） A．11 B．2 C．5 D． 【答案】C 【解析】函数，令，得， 所以.故选：C 【例6】给出函数如表，则的值域为（    ） x 1 2 3 4 4 3 2 1 x 1 2 3 4 1 1 3 3 A． B． C． D．以上情况都有可能 【答案】A 【详解】∵当或时，， ∴； 当或时，， ∴． 故的值域为．故选：A． 【突破训练】已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 考点6 求函数解析式 【例7】根据下列条件，求的解析式. (1)已知 (2)已知是二次函数，且满足 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）令，则，， 所以由， 得， 所以； （2）由题意设， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，得， 所以. 【突破训练】求下列函数的解析式 (1)设函数是一次函数，且满足，求的解析式 (2)设满足，求的解析式 考点7 分段函数的函数值 【例8】已知函数，则 . 【答案】2 【详解】由已知可得，，. 【突破训练】已知函数则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 考点8 分段函数的值求参数 【例9】已知函数，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】当时，，解得：； 当时，，解得：（舍）； 综上所述：.故选：C. 【突破训练】已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点9 常见函数的值域 【例10】画出函数的图象并求出函数的定义域，值域. 【答案】图象见解析；定义域为，值域为. 【详解】函数，函数图象开口向上，对称轴为， 如图为函数的图象， 当时，. 所以，函数的定义域为，值域为. 【突破训练】已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点10 函数的单调性 【例11】（多选）下列判断中，正确的是（   ） A．，且时，，则是增函数 B．函数是增函数 C．函数是增函数 D．函数的减区间为， 【答案】AD 【详解】对于A：若对任意，，当时，则有， 由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确． 对于B，由二次函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误； 对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确． 故选：AD． 考点11 根据函数的单调性求参数 【例12】“”是“函数在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】当时，满足，但是函数在上为减函数，则正推无法推出； 反之，若函数在上为增函数，则，则反向可以推出， 则“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件，故选：B. 【突破训练】已知函数在区间上是增函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 考点12 分段函数的单调性 【例11】已知是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是 上的单调递增函数， 则 解得，故选：A. 【突破训练】已知函数，若函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是 . 考点13 函数的奇偶性 【例14】（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】函数是非奇非偶函数，A不是；函数是上的奇函数，C不是； 函数、都是R上的偶函数，在上都为增函数，BD是.故选：BD 【突破训练】（多选）以下函数既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 考点14 函数的奇偶性求参 【例15】函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以，解得.故选：C. 【突破训练】已知，且，则 ． 考点15 函数的奇偶性求值 【例16】已知为R上的奇函数，当时，，则的值是（    ） A．19 B．7 C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，，所以， 又为定义在上的奇函数，所以.故选：C. 【突破训练】设是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．1 C． D． 考点16 函数的奇偶性求解析式 【例17】是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ． 【答案】 【详解】是定义在R上的奇函数，当时，， 则时，，， 所以. 故答案为：. 【突破训练】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、选择题 1．函数的定义域为（    ） A．(1，+∞) B．[1，+∞) C．[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 2．已知，则（    ） A． B．3 C． D．9 3．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 5．若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 6．是R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 7．一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 8．已知点在一次函数的图像上，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．下列各点中，不在反比例函数图象上的是（    ）. A． B． C． D． 10．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若函数，则__________． 14．函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 15．已知函数，且，则的值为 ． 16．函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为 . 17．已知函数在区间上不具有单调性，则k的取值范围是 ． 18．已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 19．一次函数的图象不过第三象限的充要条件是 . 三、解答题 20．已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 21．利用一面旧墙围一个矩形养鸡场，已知现有篱笆材料120米，问如何围才能使鸡场面积最大？(假设旧墙够长) 22．已知函数． (1)已知，求a的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 23．已知函数，. （1）判断函数的单调性，并证明； （2）求函数的值域. 24．已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值. $$专题03 函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解函数的概念 · 掌握函数的三种表示方法 · 了解函数的三要素 · 理解函数相等的关系 · 理解函数单调性和奇偶性的意义 考点预测 · 函数的三要素 · 常见函数模型的应用与实际问题 · 函数单调性的应用 · 函数奇偶性的应用 · 利用几种常见函数模型 要点自测 （一）函数的概念 函数的定义 设集合D是一个非空数集，对D中任意一个x，按某种确定的对应关系f，都有唯一确定的实数值y与它对应，则称y为x的函数，记作，x∈D.其中x为自变量，y为因变量，自变量x的取值范围D称为函数的定义域，对应的因变量y的取值范围称为函数的值域。 函数的三要素 （1） 定义域、对应关系、值域函数的三要素； （2） 函数的定义域和对应关系是判断两个函数是否为相同函数的依据. 定义域 自变量的取值范围 常见函数的形式：整式、分式、根式、零次幂、指数、对数等形式．其定义域要求如下：(1)整式函数y＝f(x)的定义域为R (2)分式函数定义域要求分母不为0 (3)偶次根式的定义域要求被开方数大于等于0 (4)奇次根式的定义域为R (5)指数函数的定义域为R (6)对数函数的定义域为（0，） 值域 值域是函数值的取值范围，是由函数的定义域、对应关系唯一确定的。 函数相等 由函数的定义可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数。 区间 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). （二）函数的表示方法 函数的表示方法 （1）用解析式表示函数的方法称为解析法。 （2）用表格表示函数的方法称为列表法。 （3）用图像表示函数的方法称为图像法。 分段函数 （1）定义：在函数定义域内，若对于自变量x的不同取值区间有不同的对应法则，这样的函数称为分段函数。 （2）定义域：自变量各个不同取值范围的并集。 （3）图像特征：分段函数的图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。 （三）函数的单调性 增减性 增函数 减函数 定义 设函数)在区间内有意义。对任意，当时，都有 成立，那么，函数称为区间内的增函数，区间称为函数的单调增区间。 设函数)在区间内有意义。若对任意，当时，都有成立，那么，函数称为区间内的减函数，区间称为函数的单调减区间。 图像特征 函数值随自变量的增大而增大，自左到右图像呈上升趋势。 函数值随自变量的增大而减小，自左到右图像呈下降趋势。 判断方法 利用单调性的定义判断、证明函数单调性的一般步骤： ①设，是给定区间内的任意两个值，且＜； ②作差：，并将此差式变形； ③判断的正负符号； ④根据的正负确定其增减性．（口诀：同增异减） 最值 设函数的定义域为A， （1）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最大值，记为． （2）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最小值，记为． 求法： 1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. 3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. （四）函数的奇偶性 奇偶性 奇函数 偶函数 定义 若函数的定义域关于原点对称，对于定义域内的任意一个，都有，则这个函数称为奇函数； 若函数的定义域关于原点对称，对于定义域内的任意一个，都有，则这个函数称为偶函数； 图像特征 一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称 【注意】　当时，若奇函数有意义，则 一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴成轴对称。 判断方法 (1)定义法 ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断与的关系： 若＝－或＋＝0，则为奇函数； 若＝或－＝0，则为偶函数； 若)≠且≠－，则为既不是奇函数也不是偶函数； 若＝－＝，则既是奇函数又是偶函数。 (2)图像法 若函数图像关于原点对称，则此函数是奇函数； 若函数图像关于y轴对称，则此函数是偶函数。 （五）几种常见的函数 函数名称 解析式 单调性 奇偶性 一次函数 当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数。 当时，是奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 当时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数； 当时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数。 奇函数 二次函数 对称轴 当时，在上是减函数，在上是增函数； 当时，在上是增函数，在上是减函数。 当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数 指数函数 当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数。 既不是奇函数也不是偶函数 对数函数 当时，在(0，＋∞)上是增函数；当时，在(0，＋∞)上是减函数。 既不是奇函数也不是偶函数 （六）实际问题中函数的应用 步骤总结： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 考点突破 考点1 函数的定义 【例1】设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,故选:C. 【突破训练】已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，且， A中的对应法则可以作为从到的函数； 对于B选项，当时，，且， B中的对应法则可以作为从到的函数； 对于C选项，当时，，且， C中的对应法则不能作为从到的函数； 对于D选项，当时，，则，且， D中的对应法则可以作为从到的函数.故选：C. 考点2 具体函数的定义域 【例2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得，解得，故选：C． 【突破训练】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使有意义，只需要，解得且， 所以的定义域为.故选：D. 考点3 已知定义域求参数 【例3】函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 则在上恒成立， 则当时，成立， 当时，在上恒成立， 等价于，解得， 综上所述：， 即实数的取值范围是. 【突破训练】若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵函数的定义域为R，∴在R上恒成立， ①当m=0时，符合题意， ②，由，则，解得：， ∴综上所述，故答案为：． 考点4 同一函数的判断 【例4】下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是.故选：D 【突破训练】下列各组函数表示同一个函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，定义域不同，所以不是同一函数； 对于B，或， 定义域不同，所以不是同一函数； 对于C，，定义域不同，所以不是同一函数； 对于D，，定义域均为，且， 所以是同一函数.故选：D. 考点5 求函数值 【例5】已知函数，则的值等于（    ） A．11 B．2 C．5 D． 【答案】C 【解析】函数，令，得， 所以.故选：C 【例6】给出函数如表，则的值域为（    ） x 1 2 3 4 4 3 2 1 x 1 2 3 4 1 1 3 3 A． B． C． D．以上情况都有可能 【答案】A 【详解】∵当或时，， ∴； 当或时，， ∴． 故的值域为．故选：A． 【突破训练】已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于.故选：C 考点6 求函数解析式 【例7】根据下列条件，求的解析式. (1)已知 (2)已知是二次函数，且满足 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）令，则，， 所以由， 得， 所以； （2）由题意设， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，得， 所以. 【突破训练】求下列函数的解析式 (1)设函数是一次函数，且满足，求的解析式 (2)设满足，求的解析式 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）设一次函数的解析式为， 则， 所以，解得，或， 所以或. （2）由①， 得②， ①②得， 即. 考点7 分段函数的函数值 【例8】已知函数，则 . 【答案】2 【详解】由已知可得，，. 【突破训练】已知函数则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意得．故选：B． 考点8 分段函数的值求参数 【例9】已知函数，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】当时，，解得：； 当时，，解得：（舍）； 综上所述：.故选：C. 【突破训练】已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】当时，得：，不符合题意，故舍去； 当时，得：，解得：，不符合范围条件，故舍去； 当时，得：，解得：或， 由于，故得：.故选：C 考点9 常见函数的值域 【例10】画出函数的图象并求出函数的定义域，值域. 【答案】图象见解析；定义域为，值域为. 【详解】函数，函数图象开口向上，对称轴为， 如图为函数的图象， 当时，. 所以，函数的定义域为，值域为. 【突破训练】已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，画出图像，如图所示，    令，则，解得或， 令，则，解得（舍去）或， 对于A：当时，结合图像，得，故A错误； 对于B：当时，结合图像，得，故B错误； 对于C：当时，结合图像，得，故C错误； 对于D：当时，结合图像，得，故D正确； 故选：D． 考点10 函数的单调性 【例11】（多选）下列判断中，正确的是（   ） A．，且时，，则是增函数 B．函数是增函数 C．函数是增函数 D．函数的减区间为， 【答案】AD 【详解】对于A：若对任意，，当时，则有， 由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确． 对于B，由二次函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误； 对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确． 故选：AD． 考点11 根据函数的单调性求参数 【例12】“”是“函数在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】当时，满足，但是函数在上为减函数，则正推无法推出； 反之，若函数在上为增函数，则，则反向可以推出， 则“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件，故选：B. 【突破训练】已知函数在区间上是增函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由开口向上且对称轴为，在上是增函数， 所以，即.故选：A 考点12 分段函数的单调性 【例11】已知是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是 上的单调递增函数， 则 解得，故选：A. 【突破训练】已知函数，若函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的减函数， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 考点13 函数的奇偶性 【例14】（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】函数是非奇非偶函数，A不是；函数是上的奇函数，C不是； 函数、都是R上的偶函数，在上都为增函数，BD是.故选：BD 【突破训练】（多选）以下函数既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，定义域为， 令，则，为奇函数， 因为和在单调递增， 所以在单调递增，故A符合题意； 对于B，定义域为， 令，则，不是奇函数，故B不合题意； 对于C，定义域为， 令，则，为奇函数， 当时，，则在单调递增，故C符合题意； 对于D，定义域为， 令，则，为奇函数， 因为， 所以在不单调递增，故D不合题意，故选：AC． 考点14 函数的奇偶性求参 【例15】函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以，解得.故选：C. 【突破训练】已知，且，则 ． 【答案】 【解析】根据题意造函数，即， 因为， 所以是奇函数. 又因为，所以，得. 从而，于是. 故答案为：. 考点15 函数的奇偶性求值 【例16】已知为R上的奇函数，当时，，则的值是（    ） A．19 B．7 C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，，所以， 又为定义在上的奇函数，所以.故选：C. 【突破训练】设是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在R上的奇函数，且当时，， 所以.故选：D 考点16 函数的奇偶性求解析式 【例17】是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ． 【答案】 【详解】是定义在R上的奇函数，当时，， 则时，，， 所以. 故答案为：. 【突破训练】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数为偶函数， 得当时，，，故选：D. 模拟演练 一、选择题 1．函数的定义域为（    ） A．(1，+∞) B．[1，+∞) C．[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 【答案】D 【解析】由题意，解得且 2．已知，则（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】 C 【解析】由可得 3．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为，故选：B． 4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AD选项为奇函数，故AD错；B选项为偶函数，当时，，单调递增，故B正确； C选项为偶函数，但在上单调递减，故C错，故选：B. 5．若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，所以，在上是减函数，所以在上是增函数，所以，故，故选：B. 6．是R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，，则，又为R上的奇函数，所以，故选：C. 7．一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【答案】C 【解析】∵，，，∴函数图象经过一、二、四象限，故选：C． 8．已知点在一次函数的图像上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把点的坐标代入一次函数中，得，， ，故选：C． 9．下列各点中，不在反比例函数图象上的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项中，当时，，故该选项不符合题意； B选项中，当时，，故该选项不符合题意； C选项中，当时，，故该选项符合题意； D选项中，当时，，故该选项不符合题意；故选C. 10．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 在中，定义域为，值域为， 选项A，定义域为，值域为，满足题意，A正确. 选项B，定义域，值域为，不满足定义域和值域，B错误. 选项C，定义域为，值域为，不满足定义域，故C错误. 选项D，根据函数定义知，对于每一个都有唯一确定的对应， 所以故D中图象不是函数的图像，D错误.故选：A. 11．已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 12．（多选）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，令， 对于A，的定义域为，因为， 所以是奇函数，所以A正确， 对于B，的定义域为，因为， 所以为偶函数，所以B错误， 对于C，的定义域为，因为， 所以，， 所以为非奇非偶函数，所以C错误， 对于D，的定义域为，因为， 所以为奇函数，故选：AD 二、填空题 13．若函数，则__________． 【答案】2 【解析】由题意知，，， 所以. 14．函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】函数是定义在上的奇函数，所以，故答案为:. 15．已知函数，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】， 令，函数定义域为R， ∵， ∴为奇函数，∴． 则，． 故答案为：-10 故答案为:16. 16．函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为 . 【答案】 函数是定义在上的增函数， 有，解得， 不等式的解集为 17．已知函数在区间上不具有单调性，则k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数图象的对称轴为直线， 函数在区间上不具有单调性， 故答案为：. 18．已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】 【解析】∵， ∴. 由是奇函数，是偶函数，可有，， 代入上式，， 则有，； 则. 故答案为：. 19．一次函数的图象不过第三象限的充要条件是 . 【答案】且 【分析】根据一次函数的图象与性质结合充要条件的性质即可求解. 【详解】如图所示，要使一次函数不过第三象限，则需且； 反之，若且时，一次函数不过第三象限； 所以一次函数的图象不过第三象限的充要条件是且. 故答案为：且. 三、解答题 20．已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 【答案】(1)或；(2)，；(3) 【解析】（1）由解析式知：，可得且， 故定义域为或， （2）， . （3）由，， 所以，显然在定义域内，所以. 21．利用一面旧墙围一个矩形养鸡场，已知现有篱笆材料120米，问如何围才能使鸡场面积最大？(假设旧墙够长) 【答案】见解析 【解析】解：设矩形的一边长为，面积为，则矩形的另一边长为，，即，当时，，. 所以鸡场的边为30米，另一边为60米时，鸡场面积最大为1800平方米． 22．已知函数． (1)已知，求a的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 【答案】(1)或0 (2)见解析 (3) 【详解】（1）若，由解得或2， 若，由解得. 故或0. （2）由解析式可得 0 1 2 0 0 1 0 如图所示 （3）由图可知函数的值域为. 23．已知函数，. （1）判断函数的单调性，并证明； （2）求函数的值域. 【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2） 【解析】（1）在区间上单调递增， 证明如下：任取且， ， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知：在区间上单调递增， 所以，， 所以函数的值域是. 24．已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得， 则，所以且，解得， 又，则， 故． （2），对称轴， 当，即时，时，，解得； 当，即时，， 时，，不合题意； 当，即时，时，，解得（舍）， 综上，． $$