专题02 不等式（5个考点+模拟演练）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题02 不等式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 掌握不等式的基本性质 · 熟练一元二次不等式的解法 · 理解基本不等式及使用情况 · 了解基本不等式常用的变形 考点预测 · 不等式性质的基本应用 · 一元二次不等式求解 · 基本不等式及变形技巧 · 不等式与恒成立 · 结合恒成立的情况求解不等式 要点自测 （1） 不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔ 可逆 传递性 a>b，b>c⇒ 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的 （2） 一元二次不等式解法 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 ∅ ∅ 解一元二次不等式的步骤： 2 整理好不等式，，【系数一般化为整数】 ⑵通过 确定方程的根， ⑶（画出函数图象后）写出不等式的解集． 【注意：①缺项时，意味着．②熟练之后第⑵步书写可省略．】 结论“小于取 ，大于取 ” （3） 不等式恒成立问题 利用参变分离法求解函数不等式恒成立原则 ， ， （四）基本不等式 基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取 ． 考点突破 考点1 不等式的性质 【例1】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，取，，， 无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以，故选：D 【突破训练】若满足，则（    ） A． B． C． D． 考点2 解一元二次不等式 【例2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以，故选：B 【突破训练】一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 考点3 基本不等式 · 【例3】若实数，满足， 则 的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】， 当且仅当时，等号成立.故选：D. 【突破训练】若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点4 条件不等式，“1”的代换 【例4】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即、时取等号.故选：D 【突破训练】若，且，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．4 D．8 考点5 恒成立问题 【例5】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，不等式为，显然不符合题意； 当时，因为关于的不等式的解集为， 所以有， 所以实数的取值范围是. 【突破训练】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 模拟演练 一、选择题 1．若，则的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．若不等式的解集为空集，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 4．不等式中，等号成立的条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若，且，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 10．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 二、填空题 11．已知，则由小到大排列为 ． 12．已知，则代数式的最小值是 . 13．已知正数满足，若恒成立，则的最小值为 ． 14．若不等式的解集是，则值为 ． 15．已知，，且，则 的最小值为 ． 三、解答题 16． 17．若，，分别求的取值范围． 18．求解集 (1)； (2)． 19．已知， (1)若，求的最大值 (2)若，求的最小值 20．解不等式应用了哪些不等式的性质？其解集如何在数轴上表示出来？ 21．某人计划用篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的长为a米，宽为b米，若菜园面积为平方米，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？ 22．某学校要用一个长的栅栏围城一个中间有两个隔断的矩形场地来种植花草（如图所示）． (1)若矩形的宽为，则该矩形场地长为多少？（用含的式子表示） (2)求的取值范围． (3)理想条件下，忽略墙的厚度等因素，若要求这个场地的面积不小于，求宽的取值范围． 23．已知函数． (1)若函数有最小值0，求的解析式； (2)若恒成立，求a的取值范围． $$专题02 不等式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 掌握不等式的基本性质 · 熟练一元二次不等式的解法 · 理解基本不等式及使用情况 · 了解基本不等式常用的变形 考点预测 · 不等式性质的基本应用 · 一元二次不等式求解 · 基本不等式及变形技巧 · 不等式与恒成立 · 结合恒成立的情况求解不等式 要点自测 （1） 不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 （2） 一元二次不等式解法 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 解一元二次不等式的步骤： ⑴整理好不等式，，【系数一般化为整数】 ⑵通过判别式或求根公式确定方程的根， ⑶（画出函数图象后）写出不等式的解集． 【注意：①缺项时，意味着．②熟练之后第⑵步书写可省略．】 结论“小于取中间，大于取两边” （3） 不等式恒成立问题 利用参变分离法求解函数不等式恒成立原则 ， ， （四）基本不等式 基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． 考点突破 考点1 不等式的性质 【例1】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，取，，， 无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以，故选：D 【突破训练】若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以，所以，所以错误； 令，此时与无意义，所以错误； 因为，所以由不等式的性质可得，所以正确； 令，则，所以错误.故选：. 考点2 解一元二次不等式 【例2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以，故选：B 【突破训练】一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得， 代入得，故选：D. 考点3 基本不等式 · 【例3】若实数，满足， 则 的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】， 当且仅当时，等号成立.故选：D. 【突破训练】若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为.故选：A. 考点4 条件不等式，“1”的代换 【例4】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即、时取等号.故选：D 【突破训练】若，且，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．4 D．8 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9，故选：B. 考点5 恒成立问题 【例5】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，不等式为，显然不符合题意； 当时，因为关于的不等式的解集为， 所以有， 所以实数的取值范围是. 【突破训练】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【解析】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 模拟演练 一、选择题 1．若，则的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】利用基本不等式求最值即可 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号， 所以则的最小值为； 故选：A. 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用含绝对值不等式的基本解法求解即可. 【详解】. 故选：C. 3．若不等式的解集为空集，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解集为空集，则可求. 【详解】不等式即的解集为空集， ，即， 解得，即的取值范围是. 故选：B. 4．不等式中，等号成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式的性质即可得解. 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 当时等号成立，则的最小值为， 故选：. 6．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先把两个不等式解出来，再看范围判断充分必要性. 【详解】，即解得, ，即解得， 所以是 的充分不必要条件. 故选：. 7．不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，解关于的不等式即可. 【详解】不等式的解集是， ，即，解得， 实数的取值范围是. 故选：B. 8．若，且，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质以及特殊值法逐项判定即可求解. 【详解】对于A选项，例如，，所以A错误； 对于B选项，例如，此时满足，但，所以B错误；   对于C选项，由，，所以C正确；   对于D选项，例如，此时满足，但，所以D错误.   故选：C. 9．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的基本解法求解. 【详解】不等式对应的一元二次方程为， 此方程的根为， 所以不等式的解为或， 即不等式的解集为， 故选：C 10．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据韦达定理可求出的值，再由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】已知不等式的解集为， 则当时，， 由韦达定理得， 即，解得， 则由不等式，得， 即等价于， 解得，所以不等式的解集为. 故选：A. 二、填空题 11．已知，则由小到大排列为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质判断大小即可. 【详解】因为，所以，. 又． 综上，. 故答案为： 12．已知，则代数式的最小值是 . 【答案】 【分析】利用关系式的变换和基本不等式的应用即可求出. 【详解】， ， 当且仅当，即，等号成立， 代数式的最小值是. 故答案为：. 13．已知正数满足，若恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求出即可得出答案. 【详解】正数满足，若恒成立，则， 因为，所以， 当且仅当时取等，所以.   则的最小值为. 故答案为： . 14．若不等式的解集是，则值为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的解集确定参数. 【详解】由解集为， 则的两个根为1和2， 所以， 即， 所以． 故答案为：. 15．已知，，且，则 的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将化简为，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】∵，，， ∴， ∴ ， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值为. 故答案为：.. 三、解答题 16． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法求解不等式组即可. 【详解】由，解得， 故原不等式组的解集为. 17．若，，分别求的取值范围． 【答案】，，． 【分析】利用不等式的性质求范围即可. 【详解】因为，， 则，即； ，则，即； ，，则，； 所以的取值范围是，，． 18．求解集 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解一元二次不等式的解法即可求解. （2）根据解一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）， 解得或，解集为. （2）原不等式等价于， 解得或，解集为. 19．已知， (1)若，求的最大值 (2)若，求的最小值 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为，，，所以， 则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. （2）因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 20．解不等式应用了哪些不等式的性质？其解集如何在数轴上表示出来？ 【答案】答案见解析 【分析】利用不等式的性质分析即可. 【详解】利用不等式的性质3，将不等式两边同时乘2，得， 利用不等式的性质2，移项整理得， 利用不等式的性质3，将不等式两边同时乘，得． 不等式解集的数轴表示如图所示．    21．某人计划用篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的长为a米，宽为b米，若菜园面积为平方米，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？ 【答案】时，篱笆总长最小，最小为米 【分析】根据题意列方程，再由基本不等式的求最值即可. 【详解】由题意可知，， 篱笆总长为， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以， 当时，篱笆总长最小，最小为米. 22．某学校要用一个长的栅栏围城一个中间有两个隔断的矩形场地来种植花草（如图所示）． (1)若矩形的宽为，则该矩形场地长为多少？（用含的式子表示） (2)求的取值范围． (3)理想条件下，忽略墙的厚度等因素，若要求这个场地的面积不小于，求宽的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意，长方形的周长公式即可求解. （2）根据题意，结合实际即可求解. （3）根据长方形的面积公式结合实际，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）由题意得，矩形的宽为，则长为，即. （2）由（1）得，，解得， 即的取值范围. （3）由题意得，， 则，解得， 所以若这个场地的面积不小于，. 23．已知函数． (1)若函数有最小值0，求的解析式； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判断当时是否符合题意，当时，对称轴为，最小值为，代入中即可求出. （2）首先判断当时是否符合题意，当时，有求解不等式即可. 【详解】（1）已知， 当时，不符合题意，所以，函数为二次函数， 的对称轴为，故当时，有最小值0， 所以，解得， 所以． （2）当时，，此时成立， 当时，要使恒成立， 则，解得， 综上，a的取值范围是． $$