专题01 集合与充要条件（8个考点+模拟演练）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解集合的概念 · 掌握集合的表示方法：列举法和描述法 · 了解元素与集合的关系 · 理解集合与集合之间的关系 · 理解集合的运算 考点预测 · 集合的三个特征 · 元素与集合、集合与集合间的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件及充要条件 · 理解充要条件、必要条件和充要条件的意义 要点自测 （一）集合的概念及表示方法 集合的相关概念 （1） 集合：一般地，把某些 对象看成一个整体，就构成了集合. （2） 元素：构成集合的 都叫作集合的元素. 集合用大写英文字母表示，元素用小写英文字母表示. 元素与集合的关系 （1） 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作________，读作“a属于A”； （2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作________，读作“a不属于A”. 集合中元素特征 __________、__________、无序性 集合的表示方法 __________、__________、韦恩图法 集合的分类 按元素的数目分类：________、有限集、________ 重点集合：数集、点集 常见数集符号 N（自然数集）、Z（______）、___（有理数集）、R（______）、_____（正整数集） （二）集合之间的关系 关系 定义 表示方法 性质 子集 对于两个集合A和B，如果集合B的__________都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集. 或 ①任何一个集合是它本身的_________； ②空集是任何集合的 ； ③若A⊆B，B⊆C，则_________. 真子集 对于两个集合A和B，如果集合B是集合A的 ，并且集合A中 不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集. A⫋B或 B⫋A ①空集是任何非空集合的_________； ②若A⫋B，B⫋C，则_________. 相等 如果两个集合的元素 ，那么我们就说这两个集合相等. 如果A=B，那么A⊆B且B⊆A. 含有n个元素的集合，有_____个子集，_____个真子集，_____个非空子集，_____个非空真子集. （三）集合的运算 运算 定义 表示方法 性质 交集 由集合A，B的 所组成的集合，叫做A与B的交集，记作 . （1）图示： （2）数学表达式： __________________________ ①A∩B=___________； ②A∩A=_______； ③A∩Ø=__________； ④如果A⊆B，那么A∩B=______. 并集 由集合A，B的 所组成的集合，叫做A与B的并集记作 . （1）图示：（2）数学表达式： __________________________ ①A∪B=___________； ②A∪A=_______； ③A∪Ø=__________； ④如果A⊆B，那么A∪B=______; 全集 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． U / 补集 如果集合A是全集U的一个子集，那么，由U中 A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作 . （1）图示： （2）数学表达式： __________________________ ①A∪CUA= ； ②A∩CUA= ； ③CU(CUA)= ； ④CUU= ； ⑤CUØ= ； （四）充要条件 要点 定义 充分条件 如果 ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果 ，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果 ，那么p是q的充要条件. 考点突破 考点1 集合的定义 【例1】下列对象中能构成集合的是（    ） A．高个子的男生 B．平面直角坐标系中的所有点 C．与1很接近的数 D．本班数学成绩优秀的同学 【答案】B 【解析】根据集合中元素的确定性逐个分析即可. 【详解】A中，高个子的男生，其中“高个子”不具有确定性，故A不能构成集合. B中，平面直角坐标系中的所有点可以构成集合，故B能构成集合. C中，与1很接近的数，其中“很接近”不具有确定性，故C不能构成集合. D中，本班数学成绩优秀的同学，其中“成绩优秀”不具有确定性，故D不能构成集合. 故选：B. 【突破训练】下列语句不能组成集合的是（    ） A．大于3小于11的偶数 B．很小的数 C．抛物线上所有的点 D．中国的直辖市 考点2 元素与集合的关系 【例2】下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据常用数集的符号结合元素与集合之间的关系逐个分析即可. 【详解】为正整数集，不是正整数，所以，故A错误. 为整数集，不是整数，所以，故B错误. 为有理数集，不是有理数，所以，故C错误. 为整数集，是整数，所以，故D正确. 故选：D. 【突破训练】下列关系中表述正确的有（    ）个 ①；②；③；④；⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 考点3 集合中元素的特征 【例3】以下说法中，正确的个数有（ ） ①M={(1，2)}与N={(2, 1)}表示同一个集合 ②M={1，2}与N={2，1}表示同一个集合 ③方程x2+x-2=0的解集为{-2,1} ④M={ y｜y = x2+1，x∈R}与N={ x｜x = t2+1，t∈R}表示同一个集合 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【解析】①(1,2)和(2,1)是两个不同的点，所以M和N是两个不同的点集； ②根据集合中元素的无序性，M和N是相同的集合； ③方程x2+x-2=0的解为-2和1，用列举法表示为{-2,1} 【突破训练】数集{2a，a2-a}中a的取值范围是_______________. 考点4 集合的表示方法 【例4】用适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的偶数的集合； (2)被3除余1的正整数的集合； (3)一次函数图象上所有点的集合； (4)方程组的解集 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【解析】由题，得出集合中元素的特征，再选择恰当的方法表示集合即可. 【详解】（1）由题，绝对值不大于的偶数有， 故用列举法表示集合为. （2）由题，被3除余1的正整数具有的特征：， 故用描述法表示集合为 （3）由题，一次函数图象上所有的点， 故用描述法表示集合为 （4）由题，方程组，解得， 故用列举法表示解集为. 【突破训练】用列举法表示集合，且为正整数}，结果是 . 考点5 集合之间的关系 【例5】已知集合，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据集合的运算结果即可求解. 【详解】因为. 故选：D. 【例6】集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算集合A和集合B中x的值，再判断集合的关系即可. 【详解】因为集合与集合， 所以集合或， 所以. 故选:C． 【突破训练】某职校街舞社团共有名学生，若这名学生组成的集合记为，该社团内的名男生组成集合记为，则下列文氏图能正确表示集合与集合之间关系的是（   ） A． B． C． D． 考点6 集合的运算 【例7】设，则集合 ． 【答案】 【分析】根据集合的运算求解. 【详解】∵ ∴， ∴ 故答案为：. 【突破训练】设全集，集合，集合，求 考点7 求含字母的集合的运算 【例8】设全集，集合，求实数的值． 【答案】 【分析】根据补集的概念得到元素间的关系，列式求解再检验即可. 【详解】由于，故， 解得：，， 当时，，，满足题意， 当时，，，不满足题意， 所以． 【突破训练】设集合，若，求. 考点8 充要条件的判定 【例9】“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要条件和逆否命题的概念即可求解. 【详解】依题意得，设“积小流”为命题，“成江海”为命题. 则“不积小流，无以成江海”，即若非，则非. 其逆否命题为：若，则成立，所以命题是命题的必要条件. 即“积小流”是“成江海”的必要条件. 故选：B. 【突破训练】“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 模拟演练 一、选择题 1．用列举法表示集合，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列元素的全体可以组成集合的是（    ） A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市 C．地球上的四大洋 D．优秀的高中生 3．满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．已知集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 5．已知集合，且，则（    ） A．2 B． C． D．或 6．已知全集，集合，，则a的值为（    ） A．–3或1 B．2 C．3或1 D．1 7．集合的子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．已知集合，则下列各选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 12．是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、填空题 13．已知集合，，若，则 ． 14．已知全集，集合，集合，则 ； ． 15．已知集合，，且，那么的子集有 个． 16．已知全集，若，，则实数的 ， . 17．设全集，集合，则 . 18．菱形的对角线互相垂直的真假性为 （用“真”“假”填空）． 19．一次函数的图象不过第三象限的充要条件是 . 三、解答题 20．设全集.求： (1)； (2)； (3)； (4). 21．设全集，集合，求实数的值． 22．已知集合，集合，且，求: (1)的值； (2). 23．已知命题“任意”是真命题，求实数a的取值范围？ 24．设集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 25．已知集合. (1)若，求实数的值及集合； (2)若且，求实数和满足的关系式. 26．已知，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． $$专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解集合的概念 · 掌握集合的表示方法：列举法和描述法 · 了解元素与集合的关系 · 理解集合与集合之间的关系 · 理解集合的运算 考点预测 · 集合的三个特征 · 元素与集合、集合与集合间的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件及充要条件 · 理解充要条件、必要条件和充要条件的意义 要点自测 （一）集合的概念及表示方法 集合的相关概念 （1） 集合：一般地，把某些 确定的 对象看成一个整体，就构成了集合. （2） 元素：构成集合的 所有元素 都叫作集合的元素. 集合用大写英文字母表示，元素用小写英文字母表示. 元素与集合的关系 （1） 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a∈A ，读作“a属于A”； （2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a∉A ，读作“a不属于A”. 集合中元素特征 确定性 、 互异性 、无序性 集合的表示方法 列举法 、 描述法 、韦恩图法 集合的分类 按元素的数目分类： 空集 、有限集、 无限集 重点集合：数集、点集 常见数集符号 N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N*或N+（正整数集） （二）集合之间的关系 关系 定义 表示方法 性质 子集 对于两个集合A和B，如果集合B的任一个元素都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集. 或 ①任何一个集合是它本身的 子集 ； ②空集是任何集合的 子集 ； ③若A⊆B，B⊆C，则 A⊆C . 真子集 对于两个集合A和B，如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集. A⫋B或 B⫋A ①空集是任何非空集合的 真子集 ； ②若A⫋B，B⫋C，则 A⫋C . 相等 如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等. 如果A=B，那么A⊆B且B⊆A. 含有n个元素的集合，有 2n 个子集， 2n-1 个真子集， 2n-1 个非空子集， 2n-2 个非空真子集. （三）集合的运算 运算 定义 表示方法 性质 交集 由集合A，B的相同元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B . （1）图示： （2）数学表达式： A∩B={x｜x∈A且 x∈B} ①A∩B= B∩A ； ②A∩A= A ； ③A∩Ø= Ø ； ④如果A⊆B，那么A∩B= A . 并集 由集合A，B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的并集记作A∪B ． （1）图示：（2）数学表达式： A∩B={x｜x∈A且 x∈B} ①A∪B= B∪A ； ②A∪A= A ； ③A∪Ø= A ； ④如果A⊆B，那么A∪B= B . 全集 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． U / 补集 如果集合A是全集U的一个子集，那么，由U中 不属于A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA． （1）图示： （2）数学表达式： CUA={x｜x∈U且 x∉A} ①A∪CUA= U ； ②A∩CUA= Ø ； ③CU(CUA)= A ； ④CUU= Ø ； ⑤CUØ= U ； （四）充要条件 要点 定义 充分条件 如果 p⇒q ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果 q⇒p ，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果 p⇔q ，那么p是q的充要条件. 考点突破 考点1 集合的定义 【例1】下列对象中能构成集合的是（    ） A．高个子的男生 B．平面直角坐标系中的所有点 C．与1很接近的数 D．本班数学成绩优秀的同学 【答案】B 【解析】根据集合中元素的确定性逐个分析即可. 【详解】A中，高个子的男生，其中“高个子”不具有确定性，故A不能构成集合. B中，平面直角坐标系中的所有点可以构成集合，故B能构成集合. C中，与1很接近的数，其中“很接近”不具有确定性，故C不能构成集合. D中，本班数学成绩优秀的同学，其中“成绩优秀”不具有确定性，故D不能构成集合. 故选：B. 【突破训练】下列语句不能组成集合的是（    ） A．大于3小于11的偶数 B．很小的数 C．抛物线上所有的点 D．中国的直辖市 【答案】B 【分析】根据集合中的元素是否具有确定性来判断即可. 【详解】对A，大于3小于11的偶数有4，6，8，10，元素确定，能组成集合，故A正确； 对B，很小的数，小到什么程度，元素不确定，不能组成集合，故B错误； 对C，抛物线上所有的点，即表示的点在抛物线的图像上，元素确定，能组成集合，故C正确； 对D，中国的直辖市有：北京市、上海市、天津市、重庆市，元素确定，能组成集合，故D正确. 故选：B 考点2 元素与集合的关系 【例2】下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据常用数集的符号结合元素与集合之间的关系逐个分析即可. 【详解】为正整数集，不是正整数，所以，故A错误. 为整数集，不是整数，所以，故B错误. 为有理数集，不是有理数，所以，故C错误. 为整数集，是整数，所以，故D正确. 故选：D. 【突破训练】下列关系中表述正确的有（    ）个 ①；②；③；④；⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一进行判断即可. 【详解】对于①，式子中左边是一个空集，右边是一个元素，不能用“⊆”，故①错误； 对于②，元素与集合之间不能“=”表式，故②错误； 对于③，元素与集合之间关系不能用“”，只能表式为，故③错误； 对于④，任何集合是它本身的子集，故④正确； 对于⑤，因，故⑤正确. 综上，以上关系中表述正确的是④⑤ 故选：B. 考点3 集合中元素的特征 【例3】以下说法中，正确的个数有（ ） ①M={(1，2)}与N={(2, 1)}表示同一个集合 ②M={1，2}与N={2，1}表示同一个集合 ③方程x2+x-2=0的解集为{-2,1} ④M={ y｜y = x2+1，x∈R}与N={ x｜x = t2+1，t∈R}表示同一个集合 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【解析】①(1,2)和(2,1)是两个不同的点，所以M和N是两个不同的点集； ②根据集合中元素的无序性，M和N是相同的集合； ③方程x2+x-2=0的解为-2和1，用列举法表示为{-2,1} 【突破训练】数集{2a，a2-a}中a的取值范围是_______________. 【答案】a≠0且a≠3 【解析】考查集合中元素的互异性，由2a≠a2-a，解得a≠0且a≠3. 考点4 集合的表示方法 【例4】用适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的偶数的集合； (2)被3除余1的正整数的集合； (3)一次函数图象上所有点的集合； (4)方程组的解集 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【解析】由题，得出集合中元素的特征，再选择恰当的方法表示集合即可. 【详解】（1）由题，绝对值不大于的偶数有， 故用列举法表示集合为. （2）由题，被3除余1的正整数具有的特征：， 故用描述法表示集合为 （3）由题，一次函数图象上所有的点， 故用描述法表示集合为 （4）由题，方程组，解得， 故用列举法表示解集为. 【突破训练】用列举法表示集合，且为正整数}，结果是 . 【答案】{(1,3),(3,2),(5,1)} 【解析】x、y为正整数，并且满足x+2y=7的点有(1,3),(3,2),(5,1)，所以列举法表示为{(1,3),(3,2),(5,1)}. 考点5 集合之间的关系 【例5】已知集合，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据集合的运算结果即可求解. 【详解】因为. 故选：D. 【例6】集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算集合A和集合B中x的值，再判断集合的关系即可. 【详解】因为集合与集合， 所以集合或， 所以. 故选:C． 【突破训练】某职校街舞社团共有名学生，若这名学生组成的集合记为，该社团内的名男生组成集合记为，则下列文氏图能正确表示集合与集合之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出集合与的包含关系，根据文氏图的表示即可得解. 【详解】根据题意可知为的真子集，对比选项可得C正确. 故选：. 考点6 集合的运算 【例7】设，则集合 ． 【答案】 【分析】根据集合的运算求解. 【详解】∵ ∴， ∴ 故答案为：. 【突破训练】设全集，集合，集合，求 【答案】 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，集合. 所以. 所以. 考点7 求含字母的集合的运算 【例8】设全集，集合，求实数的值． 【答案】 【分析】根据补集的概念得到元素间的关系，列式求解再检验即可. 【详解】由于，故， 解得：，， 当时，，，满足题意， 当时，，，不满足题意， 所以． 【突破训练】设集合，若，求. 【答案】 【分析】由题意知且，把代入集合、求出参数、的值，进而求出集合、，即可求解. 【详解】解：因为， 所以且， 所以， 解得， 所以，， 所以． 考点8 充要条件的判定 【例9】“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要条件和逆否命题的概念即可求解. 【详解】依题意得，设“积小流”为命题，“成江海”为命题. 则“不积小流，无以成江海”，即若非，则非. 其逆否命题为：若，则成立，所以命题是命题的必要条件. 即“积小流”是“成江海”的必要条件. 故选：B. 【突破训练】“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件直接判断即可. 【详解】因为，所以和同号，所以， 所以是的充分条件； 另一方面，因为，所以， 所以是的必要条件； 综上所述，是的充要条件. 故选：C. 模拟演练 一、选择题 1．用列举法表示集合，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法即可求解. 【详解】因为集合． 故选：C． 2．下列元素的全体可以组成集合的是（    ） A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市 C．地球上的四大洋 D．优秀的高中生 【答案】C 【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论. 【详解】由题意， 选项ABD，都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合. 故选：C. 3．满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据条件，列举出满足条件的集合，即可求解. 【详解】由题意可知，,,,,, ，共有6个集合满足条件. 故选：C 4．已知集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元二次不等式求出集合A，根据函数定义域求出集合B，再利用补集与并集的运算，即可得结果． 【详解】由得或， 从而， 由，得集合， 从而． 故选：D 5．已知集合，且，则（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】D 【分析】由并集的概念及运算可知，，分类讨论可求解. 【详解】由题知， ①当时，即； ②当时，即. 综上所述，或. 故选：D 6．已知全集，集合，，则a的值为（    ） A．–3或1 B．2 C．3或1 D．1 【答案】D 【分析】由已知，根据可得，解方程组可求解. 【详解】由已知，根据可知， ，解得. 当时，，符合题意. 所以a的值为1. 故选：D 7．集合的子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据子集的概念写出集合的子集即可得解. 【详解】集合的子集有：，共8个. 故选：B. 8．已知集合，则下列各选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系的表示方法求解. 【详解】∵，且， 故， 故选:B. 9．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，根据，即可得到的取值范围. 【详解】， ， 因为， 所以，解得. 故选：B. 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的几何意义求集合，根据一元二次不等式的解法及自然数集求集合，然后利用集合的交集运算求解即可. 【详解】， ， . 故选：B. 11．“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【分析】根据充要条件定义即可判断. 【详解】若成立，或， 若成立，一定有， 所以“”是“”的必要条件， 故选：B 12．是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】分别举反例说明充分性与必要性都不成立即可得解. 【详解】当时，取，则，即充分性不成立； 当时，取，则，即必要性不成立； 综上，是的既不充分又不必要条件. 故选：D. 二、填空题 13．已知集合，，若，则 ． 【答案】5 【分析】根据集合相等求解即可. 【详解】因为集合，，， 所以， 即. 故答案为：5. 14．已知全集，集合，集合，则 ； ． 【答案】 【分析】求出集合B，再根据并集，补集和交集的定义即可得出答案. 【详解】解：， 所以，， 所以. 故答案为：，. 15．已知集合，，且，那么的子集有 个． 【答案】16 【分析】由交集的运算可求解的值，再由子集的个数计算即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得或1（违反互异性，舍去）， 所以，， 所以， 子集有个. 故答案为:16. 16．已知全集，若，，则实数的 ， . 【答案】 或2 【分析】首先根据补集的概念得到且，由此列方程，解方程求得的值. 【详解】由补集的概念可知：且， 所以且. 解得或. 故答案为（1）或；（2）. 【点睛】本小题主要考查根据补集的元素求参数，属于基础题. 17．设全集，集合，则 . 【答案】{2}. 【分析】由补集的定义即可得解. 【详解】如果集合是全集的子集,那么由中不属于集合的所有元素组成的集合叫做在的补集. 所以,则. 故答案为:. 18．菱形的对角线互相垂直的真假性为 （用“真”“假”填空）． 【答案】真 【分析】根据菱形的性质进行判断. 【详解】菱形的对角线互相垂直，故为真命题. 故答案为：真 19．一次函数的图象不过第三象限的充要条件是 . 【答案】且 【分析】根据一次函数的图象与性质结合充要条件的性质即可求解. 【详解】如图所示，要使一次函数不过第三象限，则需且； 反之，若且时，一次函数不过第三象限； 所以一次函数的图象不过第三象限的充要条件是且. 故答案为：且. 三、解答题 20．设全集.求： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据交集的概念及运算可求解； （2）根据并集的概念及运算可求解； （3）根据交集、补集的概念及运算，先求，再求即可求解； （4）根据并集、补集的概念及运算，先求，再求即可求解； 【详解】（1）， ； （2）， ； （3）， 或， ； （4）， ， . 21．设全集，集合，求实数的值． 【答案】 【分析】根据补集的概念得到元素间的关系，列式求解再检验即可. 【详解】由于，故， 解得：，， 当时，，，满足题意， 当时，，，不满足题意， 所以． 22．已知集合，集合，且，求: (1)的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，进而可得，运算求解即可； （2）根据集合的并集运算求解. 【详解】（1）因为，可知， 则，解得. （2）由（1）可知：集合，且集合， 所以. 23．已知命题“任意”是真命题，求实数a的取值范围？ 【答案】 【分析】将命题转化为不等式在上恒成立问题，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】因为命题“任意”是真命题， 所以不等式在上恒成立， 由二次函数的图象开口向上可知， ，解得，所以实数a的取值范围是. 24．设集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据交集先将元素2代入集合，求出的值再逐一验证； （2）对进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集. 【详解】（1）由题意得． ， 即，化简得：， 即，解得：， 经检验当，满足 当，满足 （2），故 ①当为空集，则，即，得或； ②当为单元素集，则，即，得或， 当，舍去；当符合； ③当为双元素集，则，则有，无解， 综上：实数的取值范围为. 25．已知集合. (1)若，求实数的值及集合； (2)若且，求实数和满足的关系式. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接将代入集合计算即可； （2）求出集合中元素，代入集合计算即可. 【详解】（1）若， 则， 所以， 解得， 所以， 综上：，； （2）若，则，此时， 又，所以， 即， 所以， 所以实数和满足的关系式为. 26．已知，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】根据充要条件的定义求解. 【详解】不存在. ∵， ∴若p是q的充要条件，则， 解得且，故此方程组无解. 所以，不存在实数m，使p是q的充要条件． $$