专题突破：二次函数的实际应用问题（7大题型）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

专题突破：二次函数的实际应用问题 方法点拨 利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地建立二次函数模型，从而达到利用二次函数的某些性质来解决问题的目的。 题型一 图形问题 【例1】（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；； (2)能， (3)当时，有最大值 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ； ， ， ， ； （2）当时，， ， ， 或（舍去）， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖北荆州·期中）小聪以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用 ．解决本题的关键是根据二次函数的顶点坐标为建立坐标系，又因为可知点的横坐标为，把代入二次函数解析式可以求出，根据顶点坐标为，，可以求出点到轴的距离为，从而得到杯子的高度为． 【详解】解：抛物线的对称轴为，顶点坐标为， 建立如下图所示平面直角坐标系， ， 点的横坐标为， 把代入， 可得：， 顶点坐标为，， 点到轴的距离为， 杯子的高度为． 故选：A． 【变式1-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； (3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)二次 (2) (3)当时，小花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据题意列出二次函数解析式，并根据函数的性质求最值． （1）根据矩形的面积公式即可进行列式写出函数解析，即可得； （2）由（1）可得解析式，再利用墙长得到自变量取值范围； （3）根据函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：矩形小花园边的长为，则边的长为， ， 与之间是二次函数关系， 故答案为：二次； （2）解：由（1）知，， ， ， 与之间的函数关系式为； （3）解：由（1）知，， ，， 当时，有最大值，最大值为， 答：当时，小花园的面积最大，最大面积是． 【变式1-3】（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料． (1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长． (2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值． 【答案】(1)的长为5米； (2)当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米． 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设的长为米，则的长为米，根据菜园的面积为30平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合围墙最长可利用8米，即可得出结论； （2）设矩形面积为S平方米，根据题意表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为5米； （2）解：设矩形面积为S平方米， 根据题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值32， 当时，，符合题意． ∴当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米． 【变式1-4】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度． 【答案】问题1∶ ；问题2：；问题3： 【分析】问题1：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可． 问题2：本题通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解． 问题3：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】问题1： 解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为． 问题2： 解：碗中液面高度（离桌面距离）为，， 这时液面的纵坐标为， 当时，有，解得，， 则液面宽度为．　 问题3： 解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ， 联立方程组， 解得或， ， ． 【变式1-5】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践：利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子 四边形是边长均为的正方形硬纸片，“睿智小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②、图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计、折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察、操作、验证并思考完成该小组提出的问题． 设计方案一：如图①，将正方形硬纸片的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形的包装盒（如图②所示）． （1）若底面积为，求的长． 设计方案二：如图③，将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形的包装盒，设． （2）请直接写出线段的长（用含x的代数式表示）； （3）求长方体盒子的侧面积为与x的函数关系式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设，则，．根据题意可列出关于x的等式，解出x的值，再根据，确定x的范围，即可确定x的值，即的长； （2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出，再根据矩形的面积公式求出，最后根据求解即可． 【详解】解：（1）设，则，． ∵底面积为， ∴， 解得：，． ∵， ∴， ∴； （2）∵将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3）由题意可知为等腰直角三角形，长方体盒子的侧面为4个全等的矩形， ∴， ∴， ∴． 题型二 运动问题 【例2】（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，在正方形中，O为对角线的中点，．动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度和每秒1个单位长度．当点P出发后，过点P作于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为S． (1)当点P在线段上运动时，用含t的代数式表示的长； (2)当点O在的内部时，求t的取值范围； (3)求S与t之间的函数关系式． 【答案】(1)当时；当时， (2)当点O在的内部时，t的取值范围是，且 (3)当时，；当时， 【分析】（1）首先求出，然后根据题意分和两种情况分别表示即可； （2）首先由（1）可得，当时，点P和点O重合，然后求出当时，点O在线段上，然后当线段经过点O时，利用勾股定理和正方形的性质得到，然后求出此时，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况：和时，然后分别根据正方形的性质，等腰直角三角形的性质和三角形面积公式表示即可． 【详解】（1）解：∵O为对角线的中点， ∴ ∵动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度 ∴当点P在线段上运动时，即时时，； 当点P在线段上运动时，即时时，； （2）解：当点P在线段上运动时， 由（1）可得，当时，点P和点O重合， 当时， ∴此时点P和点C重合，点Q和点B重合，点M和点D重合， ∴此时点O在线段上， 如图所示，当点P在线段上运动时，当线段经过点O时， ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 综上所述，当当点O在的内部时，t的取值范围是，且； （3）解：如图所示，当点P在线段上运动时，即时， ∵四边形是正方形 ∴ ∵，将线段绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴四边形是正方形 ∴ ∴正方形的面积 ∴与重叠部分图形的面积为； 如图所示，当点P在线段上运动时，即时， ∵， 同理可得，，，是等腰直角三角形，四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴正方形的面积 ∴的面积 ∴与重叠部分图形的面积为． 【变式2-1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出与，与满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可． 【详解】解：由题意，，，则， 则，， ∴与满足一次函数关系，与满足二次函数关系， 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·北京丰台·期中）如图，在矩形中，与交于点O，M是的中点．P，Q两点沿着方向分别从点B，点M同时出发，并都以的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了矩形的性质，三角形的面积，求出点P、Q到达各转折点时的时间，然后分情况讨论是解题的关键， 根据矩形的性质求出点到的距离等于4，到的距离等于6，求出点到达点的时间为，点到达点的时间为，点到达点的时间为，然后分①时，点、都在上，表示出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②时，点在上，点在上，表示出、，然后根据列式整理即可得解；③时，表示出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵矩形中，与交于点， ∴点到的距离，到的距离， ∵点是的中点， ∴， ∴点到达点的时间为， 点到达点的时间为， 点到达点的时间为， ①时，点都在上，， 的面积； ②时，点在上，点在上，， ， ∴当时，的面积最小，且最小值为10； ③时，， 的面积； 纵观各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． 【变式2-3】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 由平移得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 即只有C选项符合题意， 故选：C． 【变式2-4】（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是动点问题的函数图像，根据题意可得：，，，再由，可得出，运用二次函数的图像和性质即可判断答案．解题的关键是以动点问题为背景，研究三角形面积的变化，利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒（当点与点或点重合时，规定）， ∴，，， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系的图像为抛物线， ∵， ∴当时，． 故选：D． 【变式2-5】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点P作直线的垂线交于点D，当点P与A、C不重合时，作点A关于点D的对称点Q，设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积是． (1)的长为______； (2)当点Q与点C重合，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)4cm (2)当时，点Q与点C重合 (3)当时，，当时；；当时， 【分析】对于（1），根据直角三角形的性质解答； 对于（2），当点Q与点C重合时，即，再求出，进而得出答案； 对于（3），分，，三种情况，再根据面积公式求出答案． 【详解】（1）在中，， ∴， 故答案为：； （2）点Q与点C重合时，即， 根据勾股定理，得， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）当时，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， ∴； 当时， 根据题意可知，则， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴； 当时， 根据题意可知， ∴． 【变式2-6】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 【答案】(1)， (2)或时，的面积为 (3)时， 【分析】本题考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示三角形的面积是解题关键． 利用两点运动的速度表示出的长； 表示出的面积，由此得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出答案； 利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：，， ， ， 解得或， 当或时，的面积为； （3）解：， 故时，． 【变式2-7】（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)直接写出的长（用含的代数式表示）． (2)当落在上时，求的值． (3)当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时， ；当时， 【分析】（1）根据题意表示出，由勾股定理求解； （2）当落在上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （3）根据题意分三种情况：当时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 在等腰直角三角形中中 ． （2）解：当落在上时， 四边形是正方形，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动， 和、是等腰直角三角形. ， ． 为中点，， ， ， ， ． （3）解：当时，如下图，设与交点为． ． ， ， ． 由题意可知是等腰直角三角形， ， ， ， ． 当时，如下图，设与交点为． 等腰直角三角形，， ． 在等腰直角三角形和中 ，， ， ． 【变式2-8】（九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． (1)填空： ； (2)当时，求x的值； (3)当时，求y与x之间的函数关系式； (4)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或4或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求解即可得； （2）先确定当时，点在上，点在上，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先确定当时，点在上，点在上，再过点作于点，然后证出，根据相似三角形的性质可得，利用三角形的面积公式求解即可得； （4）分①当点在上，点在上，即时，过点作于点；②点与点重合时；③当点运动到停止运动，点运动到中点时，利用相似三角形的性质和矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，动点分别从点同时出发，运动速度均为， ∴如图，当时，点在上，点在上， ∴，， ∴，即， ∴， 解得． （3）解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为， 则当时，点在上，点在上， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 又∵， ∴的面积为， 所以当时，与之间的函数关系式为． （4）解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为， 则分以下三种情况： ①如图，当点在上，点在上，即时，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； ②如图，点与点重合时， ∴，， ∵， ∴； ③如图，当点运动到停止运动，点运动到中点时，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时， 综上，的值为或4或． 题型三 营销问题 【例3】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【答案】(1)；自变量的取值范围为，且x为整数 (2)每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元 (3)每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元 【分析】本题是函数应用问题，考查了求函数关系式，二次函数的最值，解一元二次方程等知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据：每件商品的利润销售量销售利润，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据利润为1920元及所列的函数式，得到关于x的一元二次方程，解此方程即可．注意根据自变量的取值范围舍去不合题意的解． 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：， 其中自变量取值范围为，且x为整数； 答：与的函数关系式为，自变量的取值范围为，且x为整数； （2）解：， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当，且x为整数时， ∴当时，最大值（元）， 此时售价为（元）； 答：每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元； （3）解：由题意得：， 整理得：， 解得：； ∵，且x为整数， ∴， 此时售价为（元）； 答：每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元． 【变式3-1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）某公司成功研制出电子产品后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于23元，不高于29元．在销售过程中发现：销售量（万件）与销售价格（元/件）的关系如表，投入成本（万元）与销售量（万件）的关系为二次函数，其图象如图，其中点是图象的顶点． （元/件） 23 23.5 25 27 29 （万件） 7 6.5 5 3 1    (1)求投入成本与销售量之间的函数解析式； (2)应如何定价才能使得销售这种电子产品的利润达到最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)定价为23元时，利润最大，最大利润是155万元 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）设投入成本与销售量之间的函数解析式为，将代入可求得函数关系式； （2）先用待定系数法求出销售量（万件）与销售价格（元/件）的函数关系式为，设销售这种电子产品的利润为元，根据题意得： ，再求出，最后根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：点是图象的顶点， 设投入成本与销售量之间的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， 投入成本与销售量之间的函数解析式为； （2）解：根据表格中的数据可以得出销售量（万件）与销售价格（元/件）是一次函数关系， 设销售量（万件）与销售价格（元/件）的函数关系式为， ，解得：， 销售量（万件）与销售价格（元/件）的函数关系式为， 设销售这种电子产品的利润为元，根据题意得： ； ，且， 当时，取最大值为， 定价为23元时，利润最大，最大利润是155万元． 【变式3-2】（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)销售单价为元； (2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得： 整理得： 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； （2）解：根据题意得： ， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为： ， ∴关于的函数关系式为： 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏南通·期中）海安大公千亩梨园硕果累累，大大提高了广大梨农的生活水平．每千克梨的成本为6元，每千克售价需超过成本，但不高于14元，已知日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，当每千克梨的售价为7元时，日销售量为220千克，每涨价1元日销售量减少20千克，设日销售利润为W元． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； (2)若日销量不低于160千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)当售价定为10元时，每天获取的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得与的函数关系式，根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据日销量不低于160千克，可得，由，可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，当时，， 设，则，得， ∴； 则日销售利润； （2）∵， ∴，即， ， 则，对称轴为直线，该图象开口向下， ∴当时，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时，（元）， 即：当售价定为10元时，每天获取的利润最大，最大利润是640元． 【变式3-4】（24-25九年级上·广东惠州·期中）荔枝是惠州特产之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长做岭南人”的绝句．今年6月，惠州市惠阳区举办“东坡荔乡能量镇隆”的主题活动，同时营销平台在活动直播中推出一款“以荔会友”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒每盒降价x元，同时段每小时的销售量为y盒，每小时的销售利润为w元． (1)写出y与x及w与x的函数表达式； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)，； (2)130元； (3)销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元． 【分析】本题主要考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒，先列出y关于x的函数关系式，再根据利润（售价成本）销售量列出w关于x的关系式即可； （2）根据利润（售价成本）销售量列出方程求解即可； （3）根据（1）所求w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，即； （2）解：由题意得，， 解得，， ∵要让利顾客， ∴， ∴此时售价为元． 答：销售价应定为每件130元； （3）解：， ∵， ∴当，即售价为135元时，w有最大值，， 答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元． 【变式3-5】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）临高县某店经销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需成本及其它费用100元．设每吨材料售价为（元），该经销店的月利润为（元）． (1)求出与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (2)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元． 【答案】(1) (2)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨210元 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先求出当每吨材料售价为元时的月销量，再根据月利润（每吨材料售价每吨建筑材料共需成本及其它费用）月销量建立函数关系式即可得； （2）将二次函数化成顶点式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意，当每吨材料售价为元时，月销量为吨， 则该经销店的月利润，即． （2）解： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 答：该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨210元． 题型四 拱桥问题 【例4】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，明湖公园的石拱桥的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，拱桥最高点到水面的距离为．以水面所在的直线为轴，线段的中点为原点，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)公园里有一种游船高，宽，它能通过该拱桥吗？ (3)如果该拱桥下设双行道，为了安全起见，在双行道正中间设有宽的警示浮标，则这种游船还能通过拱桥吗？ 【答案】(1) (2)游船能通过该拱桥 (3)游船不能通过拱桥 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键． （1）首先写出、、三点坐标，之后设出二次函数的顶点式，将点带入计算即可得到答案； （2）将代入二次函数的解析式中得到的值并且与比大小即可得到答案； （3）当时，（1）中抛物线对应的值就是轮船可通过的最大高度，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得抛物线经过点，，． 设抛物线的解析式为， 将，代入上式得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：能，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 当时，． 因为，所以游轮能通过隧道． （3）不能，理由如下： 当拱桥下设双行道时，游轮只能从轴的左侧或右侧通过， 由于拱桥正中设有的警示浮标，故轴的左右两侧各有m的警示浮标，游轮的宽为， 当时，． 因为，所以游轮不能通过拱桥． 【变式4-1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为米，宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明； 【答案】(1) (2)能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的实际应用． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴自变量x的取值范围为：． （2）解：当时，， 故能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆． 【变式4-2】（24-25九年级上·北京·期中）小明在某景区看到一个标志性建筑物－－拱门观光台（如图1），拱门的形状近似于抛物线的一部分，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米．小明在图2中建立平面直角坐标系．请你结合数据，帮他求出拱门的高度（拱门的最高点到地面的距离）． 【答案】200米 【分析】本题考查了二次函数的应用，设抛物线的解析式为．待定系数法求得解析式，进而求得顶点坐标，即可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为． 抛物线对称轴为轴， ． 由题意可知．       顶点坐标是   拱门的最大高度为200米． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为（最高点到地面的距离），把它放在直角坐标系中，其解析式为． (1)求城门洞最宽处的长（保留根号）； (2)现在有一高，宽的小型运货车，问它能否完全通过此城门？请说明理由． 【答案】(1) (2)能通过，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，截图的关键是： （1）令，求出A、B的坐标，即可求解； （2）把代入函数解析，求出y，然后用减去所求y的绝对值，所得的差与货车高度比较即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 即城门洞最宽处的长为； （2）解：能通过， 理由：当时，， ， ∴能通过． 【变式4-4】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米，现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船． (1)求出抛物线解析式； (2)请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？ 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确确定该抛物线解析式是解题关键． （1）设抛物线解析式为，将点坐标代入求解即可； （2）令，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：如图，设点为原点，根据题意，可知米，米， 则，，， 设抛物线解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）对于抛物线， 令，可得， 解得，， ∵， ∴这艘船能通过这座拱桥． 题型五 实物抛物线问题 【例5】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； (3)直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值 米． 【答案】(1) (2)该运动员的成绩没有达标，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出直线的表达式为，与二次函数解析式联立求出点E的坐标为，即可得到结论； （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为，则，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）该运动员的成绩没有达标，理由如下： 设直线的表达式为，把代入得到， , 解得，， ∴直线的表达式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去） ∴点E的坐标为， 即着陆点与相距， ∵， ∴该运动员的成绩没有达标； （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为， 则 ∴当时，有最大值为， 即该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值， 故答案为： 【变式5-1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）小狗跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只小狗一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答问题： 在小狗起跳点前方处有一条小溪，若小狗跳跃能跃过小溪，则可预估小溪的宽度未超过 m． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．根据表中数据得出抛物线解析式；令，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与比较即可． 【详解】解：由，和，可知， 抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为. 当时，， ， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点米， （米）， ∴小溪的宽度不超过米． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米． (1)如图2，两墙的高度是__________米，抛物线的解析式为__________； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式． 【答案】(1)3， (2)点到地面的距离为2.25米 (3) 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解； （3）设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为，则， 解得：； 抛物线的表达式为，则点，即（米）； （2）解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得，解得， 抛物线的表达式为， 当时，（米， 点到地面的距离为2.25米； （3）解：由题意知，点、纵坐标均为4，则右侧抛物线关于、对称， 抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 整理得． 【变式5-3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点C的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 【答案】(1); (2)本次跳水失误，见解析 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把原点坐标代入解析式，确定a值，结合函数值计算即可； （2）根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，计算对应的纵坐标，结合标准判断即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为， 把原点坐标代入解析式，得， 解得， 故抛物线的解析式为； ∵水面边缘点C的坐标为，C，B在一条直线上， ∴点B的纵坐标为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 故点． （2）解：根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米， 当时，， 由， 根据运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势， 故本次跳水失误． 【变式5-4】（24-25九年级上·广东珠海·期中）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示， (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 【答案】(1)4.5米 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用． （1）将二次函数化简为，即可解出演员弹跳离地面的最大高度； （2）当时代入二次函数可得点的坐标在抛物线上． 【详解】（1）解：将二次函数化成， 当时，有最大值，最大值为， 因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.5米； （2）解：能成功表演．理由是： 当时，， 即点在抛物线上， 因此，能表演成功． 【变式5-5】（24-25九年级上·广东云浮·期中）海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强，罗定海洋公园里的海豚表演吸引了众多家庭前来观看．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运动路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中，以海豚起跳点（出水点）O为原点，点O与海豚落水点（水面）所在直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y（单位：）与距离起跳点O的水平距离x（单位：）之间具有函数关系，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员吊在空中的小球，小球与点O的水平距离为，与水面的高度为． (1)求海豚此次训练中离水面的最大高度； (2)当海豚离水面的高度是时，求与起跳点O的水平距离． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的实际问题，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式然后配方得到最大值即可； （2）令，解一元二次方程方程即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以， 所以海豚此次训练中离水面的最大高度是； （2）解：由题意，得， 解得，， 答：海豚与起跳点O的水平距离是或． 【变式5-6】（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】 “道路千万条，安全第一条”刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离成为刹车距离． 【探究发现】 汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)不会．理由见解析 【分析】此题考查了二次函数的应用． （1）利用抛物线经过原点得到，再设抛物线解析为，把代入得到方程组，解方程组即可得到答案； （2）把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点， ∴， 设抛物线解析为， 将代入得：， 解得 ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）不会．理由如下：∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【变式5-7】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）列车不能安全停车，理由见解析． 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据素材一得，将数据代入计算即可； （2）根据素材三和素材二，将数据代入求出，即可得到； （3）根据“速度＝路程÷时间”建立函数关系式即可； （4）求出安全停车的路程，再与千米比较即可； 正解理解题意，确定各数量的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，千米/小时米/秒，米/秒， ∴（秒）， ∴从静止加速到最高速度所需的时间秒， 故答案为：； （2）由（1）知：，，， ∴（米）， ∵米千米 ∴列车从静止加速到最高速度所需的最小路程千米， 故答案为：； （3）∵加速和减速时间都是秒且加减速路程都是千米， ∴加速和减速的总时间为秒小时， ∴匀速行驶的时间为小时，匀速行驶的路程为千米，速度为千米/小时， ∴， ∴， ∴列车全程行驶的时间的表达式为； （4）∵，千米/小时米/秒， 米/秒， ∴（秒）， ∴（米）（千米）， ∵千米千米 ∴列车不能安全停车． 题型六 投球问题 【例6】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)小强在这次训练中的成绩为分 (3)小朋友有危险，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的运用， （1）根据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）令时，求出点的坐标，进行比较即可求解； （3）当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式， 令，则，整理得， 解得，， ∵点在轴的正半轴上， ∴小强掷的距离为米， ∵， ∴小强在这次训练中的成绩为分； （3）解：小朋友有危险，理由如下， 当时，， ∵， ∴小朋友有危险． 【变式6-1】（24-25九年级上·吉林·期中）投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． (1)第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； ③已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由； (2)第二次训练时，小明出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，求此时小明距篮筐中心的水平距离d． 【答案】(1)①见解析；②篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为；③小明第一次投篮练习成功，见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①描点，作图即可； ②根据图表，可得抛物线关于直线对称，图象开口向下，进而可求最高点距离地面的竖直高度； ③设抛物线的解析式为，将代入，求得，则，将代入得，，则小明第一次投篮练习成功； （2）将代入得，，解得，，则，当时，，求出满足要求的值即可． 【详解】（1）解：①如图所示， ②∵，， ∴抛物线关于直线对称， ∵图象开口向下， ∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为； ③小明第一次投篮练习成功． 理由：设抛物线的解析式为． 将代入得，．解得． ∴． 将代入得，． ∴小明第一次投篮练习成功； （2）解：将代入得，．解得． ∴． 当时，． 解得：，（不合题意，舍去）． ∴此时小明距篮筐中心的水平距离． 【变式6-2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将一小球从斜坡点O以一定方向击出，斜坡可以用一次函数刻画，球飞行的水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表： 飞行时间t/s 0 1 2 3 … 飞行水平距离x/m 0 40 80 120 飞行高度y/m 0 25 40 45 … 探究发现x与t之间成一次函数关系，y与t之间成二次函数关系． (1)直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)小球达到最高点时飞行的水平距离是多少? (3)小球从飞出到落到斜坡上要用多少时间? 【答案】(1)x与t之间的函数关系式为；y与t之间的函数关系式为 (2)小球达到最高点时飞行的水平距离是120米 (3)小球从飞出到落到斜坡上要用 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，从图象和表格中获取数据是解题的关键． （1）运用待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式即可； （2）将二次函数解析式配方后得顶点坐标和的值，再代入一次函数解析式可求出小球达到最高点时飞行的水平距离； （3）联立方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设x与t之间的函数关系式为， 把代入，得，， ∴x与t之间的函数关系式为； 设y与t之间的函数关系式为， 把，代入，得： ， 解得，， ∴y与t之间的函数关系式为； （2）解：∵， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，有最大值为45， ∴米， 即：小球达到最高点时飞行的水平距离是120米； （3）解：联立方程得，， 解得，（不合题意，舍去）或， 即，小球从飞出到落到斜坡上要用． 【变式6-3】（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为．当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小毓建立了平面直角坐标系（1个单位长度表示）．求得该抛物线的表达式为． 根据以上信息，回答下列问题： (1)画出小毓建立的平面直角坐标系； (2)判断此次发球是否有效，并说明理由．（注：排球过球网且落在对方场地内为发球有效） 【答案】(1)建立平面直角坐标系见解析 (2)无效，理由见解析 【分析】本题主要考查了建立二次函数的图象和性质，建立适当的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据该抛物线的表达式，得顶点坐标 ，从而得到建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，即可求解； （2）根据题意得：当时，判定是否过网，根据，判定是都出界，即可求解． 【详解】（1）∵该抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ， ∵当排球飞行到距离球网时达到最大高度． 根据题意得：点A的坐标为， ∴小毓建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴， 如图所示： （2）发球无效．理由： 根据题意得：点B的横坐标为3， 当时，， ∴排球能过球网． 当时，， ∴排球出右边界， ∴发球无效． 【变式6-4】（24-25九年级上·北京西城·期中）小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … (1)求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)①能过网，理由见详解；②的值为 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据表格信息，设抛物线的解析式为，把，，代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据表格信息可得，当时，，即，代入一次函数解析式即可得到解析式，再根据球网高，与发球点的水平距离为，把代入计算即可求解；②根据题意可得，刚好过网时球与网接触的点为，运用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得， ， 解得，， ∴与满足的函数关系式为； （2）解：①能过网，理由如下， 根据表格信息可得，当时，，即， ∵， ∴一次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， ∵球网高，与发球点的水平距离为， ∴当时，， ∵， ∴小胜回击的求能过网； ②，球网高，与发球点的水平距离为，小胜回击的球刚好过网， ∴刚好过网时球与网接触的点为， ∴， 解得，， ∴的值为． 题型七 喷水问题 【例7】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架米处有一棵3米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的应用是解题的关键． （1）由题可知，抛物线的顶点为．设水流形成的抛物线为，将点代入，可求，进而可得抛物线解析式； （2）当x=14时，<3，进而可证水流能碰到这棵果树． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为． 设水流形成的抛物线为， 将点代入，得， 解得，， ∴抛物线为； （2）解：能．理由如下； 当x=14时，<3， ∴水流能碰到这棵果树． 【变式7-1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为． 【变式7-2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）． 素材2 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米． 问题解决 任务1 建立模型 （1）以点为原点，OA所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 （2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉．确定喷水口升高的最小值 任务3 分析计算 （3）喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 【答案】任务1：；任务2：喷水口升高的最小值为米；任务3：建议花卉的种植宽度为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式． 任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的:函数表达式； 任务2：依据题意，由喷泉池的半径为米，令，则，从而可以求出喷水口升高的最小值； 任务3：依据题意，当向上平移个单位，再令，，求出x的值，再减去即可判断得解． 【详解】解：任务1：由题意得，，顶点为， 可设抛物线的函数表达式为， 抛物线过， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 任务2：由题意，喷泉池的半径为米， 令，则， 喷水口升高的最小值为米； 任务3：当向上平移个单位， 则， 令，， 解得：，（舍去）， 米， 建议花卉的种植宽度为米． 【变式7-3】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P距地面的距离）时，水线的跨度． 请你结合所学知识解决下列问题： (1)在图2中建立以为单位长度，点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A与垂直的直线为y轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． (2)若喷水池中心C到A的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内? (3)在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内 (3)王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内 【分析】本题主要考查了抛物线的性质及其在实际问题中的应用，熟练抛物线的解析式、抛物线的对称性和与x轴的交点等性质是解题的关键； （1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，即可得出解析式； （2）表示出水池的半径，在加上水平距离即可； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的x值，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，构造平面直角坐标系如图所示． 由题意可知，，抛物线的顶点， 设抛物线的函数解析式为， 将点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由题可知C为喷水池中心，则为喷水池的半径时，喷出的水都落在水池内， ，， ∴． 答：喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内． （3）解：当时，， 解得， ． 答：王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内． 【变式7-4】（24-25九年级上·全国·期中）周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【答案】(1) (2)当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程求出自变量x的值，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为，将代入得： ， 解得， ， 答：抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 他与小江的水平距离为或， 答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或． 【变式7-5】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水装置的高度？ 素材1 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高为米．                                          素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件： ①不能碰到图2中的水柱； ②落水点G，M的间距为； ③水柱的最高点与点P的高度差为； ④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．                  问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标． 任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度． 【答案】（1）坐标系见解析，；（2）G的坐标为；（3） 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象上点的坐标特征． （1）建立如图所示坐标系，得出顶点R的坐标为，点，设抛物线的表达式为：，将点R和点B代入，求出h和k的值，即可得出右侧抛物线的表达式为；再根据对称性，即可得出左侧抛物线的表达式为． （2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L，求出当时，（不合题意，舍去）．则，进而得出，即可得出G的坐标为． （3）先得出则中间抛物线的表达式为：，根据水柱的最高点与点P的高度差为，和顶点纵坐标的表达水，求出，则抛物线的表达式为，再将点H的坐标代入抛物线表达式求出c的值即可解答． 【详解】解：（1）建立如图所示坐标系， 由题意得，右侧抛物线的顶点R的坐标为，点， 设抛物线的表达式为：， 则， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 则右侧抛物线的表达式为：； 由图象的对称性得，左侧抛物线的表达式为：． （2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L， 由（1）知，右侧抛物线的表达式为：， 当时，即， 解得：（不合题意，舍去）． ∴． 又， ∴． ∴G的坐标为：． （3）由（1）知，右侧抛物线的表达式为：， 则中间抛物线的表达式为：， ∵水柱的最高点与点P的高度差为， 即：该抛物线的最高点， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， 由（2）知，点， 将点H的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即． 【变式7-6】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）【项目式学习】 项目主题：合理设计  智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一  测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二  设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 【答案】（1）；（2）要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米 【分析】本题考查了二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征 （1）设抛物线解析式为，把代入求出的值，即可得抛物线解析式； （2）把代入解析式求出的值，即可求解． 【详解】（1）设，过点 ∴代入，解得， ∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； （2）当时， 解得： ∴第一象限部分的抛物线与轴的交点为， ∴要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米． 【变式7-7】（24-25九年级上·河北张家口·阶段练习）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 【答案】(1)8米 (2)不能，见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． （1）求得顶点，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）当时，根据题意得，，再算出当时，的值即可判定． （3）根据，求出点的坐标，利用题意可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得点A横坐标为2，纵坐标为， 所以上边缘抛物线的顶点为， 设：， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为米； （2）当时，根据题意得，， ∴当时，， ∵， ∴当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． （3）∵， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得(舍去)， ∴的最大值为， 当时，， 解得(舍去)， 当下边缘抛物线经过点时，的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：二次函数的实际应用问题 方法点拨 利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地建立二次函数模型，从而达到利用二次函数的某些性质来解决问题的目的。 题型一 图形问题 【例1】（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【变式1-1】（24-25九年级上·湖北荆州·期中）小聪以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； (3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式1-3】（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料． (1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长． (2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值． 【变式1-4】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度． 【变式1-5】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践：利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子 四边形是边长均为的正方形硬纸片，“睿智小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②、图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计、折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察、操作、验证并思考完成该小组提出的问题． 设计方案一：如图①，将正方形硬纸片的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形的包装盒（如图②所示）． （1）若底面积为，求的长． 设计方案二：如图③，将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形的包装盒，设． （2）请直接写出线段的长（用含x的代数式表示）； （3）求长方体盒子的侧面积为与x的函数关系式． 题型二 运动问题 【例2】（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，在正方形中，O为对角线的中点，．动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度和每秒1个单位长度．当点P出发后，过点P作于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为S． (1)当点P在线段上运动时，用含t的代数式表示的长； (2)当点O在的内部时，求t的取值范围； (3)求S与t之间的函数关系式． 【变式2-1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【变式2-2】（24-25九年级上·北京丰台·期中）如图，在矩形中，与交于点O，M是的中点．P，Q两点沿着方向分别从点B，点M同时出发，并都以的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【变式2-4】（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点P作直线的垂线交于点D，当点P与A、C不重合时，作点A关于点D的对称点Q，设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积是． (1)的长为______； (2)当点Q与点C重合，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【变式2-6】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 【变式2-7】（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)直接写出的长（用含的代数式表示）． (2)当落在上时，求的值． (3)当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 【变式2-8】（九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． (1)填空： ； (2)当时，求x的值； (3)当时，求y与x之间的函数关系式； (4)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 题型三 营销问题 【例3】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【变式3-1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）某公司成功研制出电子产品后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于23元，不高于29元．在销售过程中发现：销售量（万件）与销售价格（元/件）的关系如表，投入成本（万元）与销售量（万件）的关系为二次函数，其图象如图，其中点是图象的顶点． （元/件） 23 23.5 25 27 29 （万件） 7 6.5 5 3 1    (1)求投入成本与销售量之间的函数解析式； (2)应如何定价才能使得销售这种电子产品的利润达到最大？最大利润为多少？ 【变式3-2】（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏南通·期中）海安大公千亩梨园硕果累累，大大提高了广大梨农的生活水平．每千克梨的成本为6元，每千克售价需超过成本，但不高于14元，已知日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，当每千克梨的售价为7元时，日销售量为220千克，每涨价1元日销售量减少20千克，设日销售利润为W元． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； (2)若日销量不低于160千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？ 【变式3-4】（24-25九年级上·广东惠州·期中）荔枝是惠州特产之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长做岭南人”的绝句．今年6月，惠州市惠阳区举办“东坡荔乡能量镇隆”的主题活动，同时营销平台在活动直播中推出一款“以荔会友”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒每盒降价x元，同时段每小时的销售量为y盒，每小时的销售利润为w元． (1)写出y与x及w与x的函数表达式； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润． 【变式3-5】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）临高县某店经销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需成本及其它费用100元．设每吨材料售价为（元），该经销店的月利润为（元）． (1)求出与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (2)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元． 题型四 拱桥问题 【例4】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，明湖公园的石拱桥的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，拱桥最高点到水面的距离为．以水面所在的直线为轴，线段的中点为原点，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)公园里有一种游船高，宽，它能通过该拱桥吗？ (3)如果该拱桥下设双行道，为了安全起见，在双行道正中间设有宽的警示浮标，则这种游船还能通过拱桥吗？ 【变式4-1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为米，宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明； 【变式4-2】（24-25九年级上·北京·期中）小明在某景区看到一个标志性建筑物－－拱门观光台（如图1），拱门的形状近似于抛物线的一部分，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米．小明在图2中建立平面直角坐标系．请你结合数据，帮他求出拱门的高度（拱门的最高点到地面的距离）． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为（最高点到地面的距离），把它放在直角坐标系中，其解析式为． (1)求城门洞最宽处的长（保留根号）； (2)现在有一高，宽的小型运货车，问它能否完全通过此城门？请说明理由． 【变式4-4】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米，现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船． (1)求出抛物线解析式； (2)请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？ 题型五 实物抛物线问题 【例5】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； (3)直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值 米． 【变式5-1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）小狗跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只小狗一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答问题： 在小狗起跳点前方处有一条小溪，若小狗跳跃能跃过小溪，则可预估小溪的宽度未超过 m． 【变式5-2】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米． (1)如图2，两墙的高度是__________米，抛物线的解析式为__________； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式． 【变式5-3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点C的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 【变式5-4】（24-25九年级上·广东珠海·期中）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示， (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 【变式5-5】（24-25九年级上·广东云浮·期中）海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强，罗定海洋公园里的海豚表演吸引了众多家庭前来观看．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运动路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中，以海豚起跳点（出水点）O为原点，点O与海豚落水点（水面）所在直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y（单位：）与距离起跳点O的水平距离x（单位：）之间具有函数关系，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员吊在空中的小球，小球与点O的水平距离为，与水面的高度为． (1)求海豚此次训练中离水面的最大高度； (2)当海豚离水面的高度是时，求与起跳点O的水平距离． 【变式5-6】（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】 “道路千万条，安全第一条”刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离成为刹车距离． 【探究发现】 汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【变式5-7】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法． 题型六 投球问题 【例6】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【变式6-1】（24-25九年级上·吉林·期中）投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． (1)第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； ③已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由； (2)第二次训练时，小明出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，求此时小明距篮筐中心的水平距离d． 【变式6-2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将一小球从斜坡点O以一定方向击出，斜坡可以用一次函数刻画，球飞行的水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表： 飞行时间t/s 0 1 2 3 … 飞行水平距离x/m 0 40 80 120 飞行高度y/m 0 25 40 45 … 探究发现x与t之间成一次函数关系，y与t之间成二次函数关系． (1)直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)小球达到最高点时飞行的水平距离是多少? (3)小球从飞出到落到斜坡上要用多少时间? 【变式6-3】（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为．当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小毓建立了平面直角坐标系（1个单位长度表示）．求得该抛物线的表达式为． 根据以上信息，回答下列问题： (1)画出小毓建立的平面直角坐标系； (2)判断此次发球是否有效，并说明理由．（注：排球过球网且落在对方场地内为发球有效） 【变式6-4】（24-25九年级上·北京西城·期中）小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … (1)求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 题型七 喷水问题 【例7】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架米处有一棵3米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【变式7-1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 【变式7-2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）． 素材2 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米． 问题解决 任务1 建立模型 （1）以点为原点，OA所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 （2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉．确定喷水口升高的最小值 任务3 分析计算 （3）喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 【变式7-3】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P距地面的距离）时，水线的跨度． 请你结合所学知识解决下列问题： (1)在图2中建立以为单位长度，点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A与垂直的直线为y轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． (2)若喷水池中心C到A的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内? (3)在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，，，，，） 【变式7-4】（24-25九年级上·全国·期中）周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【变式7-5】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水装置的高度？ 素材1 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高为米．                                          素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件： ①不能碰到图2中的水柱； ②落水点G，M的间距为； ③水柱的最高点与点P的高度差为； ④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．                  问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标． 任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度． 【变式7-6】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）【项目式学习】 项目主题：合理设计  智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一  测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二  设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 【变式7-7】（24-25九年级上·河北张家口·阶段练习）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$